专题03 直线的相关概念及应用（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 直线的相关概念及应用 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的倾斜角 （1）定义当直线与相交时，我们把轴称为基准， 轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：。当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合. 2、直线的斜率 （1）定义倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． （2）特殊情况：①当直线与轴平行或重合时，，； ②直线与轴垂直时，，不存在. 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在. 3、直线的倾斜角与斜率之间的关系 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 不存在 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系， 在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然． 因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 4、斜率公式：已知点、，且与轴不垂直， 过两点、的直线的斜率公式. 知识点2 两条直线的平行与垂直 1、直线平行的条件 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是： ①两条直线的斜率存在分别为；②不重合； 2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则. 2、直线垂直的条件 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 【注意】1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2、当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 知识点3 直线的方程 1、直线的五种方程形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距，斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点，斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用 2、直线的一般式方程与其他形式方程的互化 3、一般式直线方程的平行与垂直 （1）平行与垂直的充要条件：已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0） 若 若 （2）一般式方程下平行和垂直的直线的设法 平行：与直线垂直的直线方程可设为 垂直：与直线垂直的直线方程可设为 知识点4 直线的交点坐标与距离公式 1、两条直线的交点 （1）点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 （2）直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点5 直线的距离公式 1、两点间的距离公式 （1）距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为： （2）三种特殊距离： ①原点到任意一点的距离为； ②当平行于轴时，； ③当平行于轴时，. 2、点到直线的距离 （1）定义：点到直线的垂线段的长度. （2）距离公式：点到直线的距离. 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离； （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0. 3、两条平行线间的距离 （1）定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长。 （2）距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等。 （3）两平行线间的距离另外一种解法： 转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点）， 此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。 知识点6 直线中的对称问题 1、点关于点的对称问题 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点 （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面