专题七 直线与圆综合《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题七 直线与圆综合 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 弦长与切线问题 弦长与切线 · 直线与圆综合 2026华中师大一附中期中 7 题 切点弦与相关弦 直线与圆综合 · 弦长与切线 2026玉溪一中期中 5 题 直线与圆最值 直线与圆综合 2026长郡中学期中练习 6 题 直线与圆参数范围 直线与圆综合 · 直线与圆位置关系 · 圆与圆位置关系 2026长郡中学期中 6 题 直线与圆综合（定点与存在性） 直线与圆综合 2026苏州中学期中 5 题 位置关系与轨迹综合多选 直线与圆综合 · 圆的方程 2027唐河一高月考 6 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 直线与圆的综合问题：以位置关系为载体，综合考查弦长、切线、最值、参数范围、定点与存在性，几何意义优先是本册主线。 2. 圆的几何意义： 型是点到原点距离的平方、 型是点与原点连线的斜率、 型是两点距离——代数式都对应几何量。 ▍二、法则与公式 1. 弦长：；一般曲线弦长 。 2. 切线长：；圆上两点间距离不超过 。 3. 圆上点到直线距离的最值：圆心到直线距离 加减半径，即最大 、最小 。 ▍三、方法技巧 1. 最值三招：几何意义直接读（距离型、斜率型）、参数化后用二次函数（设圆上点 ）、转化后再用均值不等式。 2. 参数范围：由位置关系的临界条件（相切、过定点、恰有公共点）列等式或不等式，端点能否取到逐一检验。 3. 定点与存在性：先用特殊直线（水平、竖直）猜定结论，再对一般情形联立验证；存在性最后必须回应。 ▍四、易错警示 1. 几何意义看错： 的最值是圆心距与半径的运算，误用圆上坐标直接平方展开会繁且易错。 2. 参数范围丢端点：相切是相交与相离的临界，端点是否可取要依位置关系类型判断。 3. 多选题逐项独立：圆的对称性可以加速判断，但每项结论必须有计算或图形依据。 　弦长与切线问题 方法要领　弦长 （垂径定理）；切线用圆心到直线距离等于半径，过圆上一点只有一条、过圆外一点有两条（注意斜率不存在情形）。 【例】（2026华中师大一附中期中 15）已知圆 与直线 相切于坐标原点，且 为圆 与 轴的一个交点. (1) 求圆 的方程； (2) 求与圆 相切且在两坐标轴上截距相等的直线的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 16）已知圆 过点 和 ，且圆心 在 轴上. (1) 求圆 的标准方程； (2) 若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长郡中学期中练习 18）已知圆 ，点 . (1) 求过点 的圆 的切线 的方程； (2) 若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026东北育才学校期中 15）已知圆 . (1) 已知点 在圆 的外部，求 的取值范围； (2) 若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025钱塘联盟期中 13）已知直线 与圆 交于 ， 两点，若 的面积为 2，则实数 的值为______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2027唐河一高月考 16）已知圆 . (1) 若直线 与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； (2) 过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练6】（2026长郡中学期中 14）已知 是圆 内一点，若过点 恰好可以作 7 条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 构成的区域（忽略边界）面积为______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　切点弦与相关弦 方法要领　切点弦方程用构造圆（以圆心和切点间线段为直径的圆）与已知圆联立；公共弦由两圆方程相减。 【例】（2026玉溪一中期中 9）已知点 在圆 上，点 、，则（　　）（多选） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026杭州二中期中 6）自点 发出的光线 经过 轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025广州天河外国语期中 7）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，直线 分别与圆 相切于点 ，则四边形 的面积的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭州学军中学期中 16）已知圆 ，圆 . (1) 求圆 与圆 的公共弦长； (2) 已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点 ，求线段 的中点 的轨迹方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026南京五校共同体期中 10）已知圆 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．当 时，直线 被圆截得的弦长为 B．当 时，圆上到直线 的距离为 的点有 个 C．当 时，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形 面积最小值为 D．当 时，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 恒过定点 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线与圆最值 方法要领　最值转化为圆心到直线的距离加减半径，如 型看圆心到原点距离、 型看斜率； 型先配方化为圆上动点到定点距离平方的倍数再求。 【例】（2026长郡中学期中练习 17）已知实数 ， 满足方程 . (1) 求 的最大值和最小值； (2) 求 的最大值和最小值； (3) 求 的最大值和最小值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025三明二中期中 7）已知点 ， 为圆 上两点，，点 为线段 的中点，点 为直线 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027唐河一高月考 6）直线 被圆 所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026宁波六校联盟期中 17）已知圆 外有一点 ，过点 作直线 . (1) 当直线 与圆 相切时，求直线 的方程； (2) 点 为圆上任意一点，已知 ，求 的最小值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025钱塘联盟期中 8）已知直线 与 相交于点 ，线段 是圆 的一条动弦，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026哈尔滨三中期中 14）已知直线 （）恒过定点 ，圆 上的两点 ， 满足 （），则 的最小值为______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线与圆参数范围 方法要领　参数范围由位置关系的临界条件（相切、相交的 、距离恰等、到定直线距离为定值的点分布于平行线）列不等式（组），注意端点能否取到、多条件取交集。 【例】（2026长郡中学期中 18）设 ，，，圆 过 ，， 三个点. (1) 求圆 的方程； (2) 设点 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使得 成立，求实数 的取值范围； (3) 设斜率为 的直线 与圆 相交于 ， 两点（， 均不与原点 重合），直线 ， 的斜率分别为 ，，且 ，证明：直线 恒过定点. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026雅礼教育集团期中 7）若直线 与圆 交于 ， 两点，则 的取值不可能为（　　） A． B．3 C． D．4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025安岳中学期中 8）若圆 上存在两个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026南京五校共同体期中 16）设 ，，，，圆 的圆心在 轴的正半轴上，且过 中的三个点. (1) 求圆 的方程； (2) 若圆 上存在两个不同的点 ，使得 成立，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026辽宁七校协作体期中 18）已知圆 ，圆 的圆心在直线 上，且过点 ，. (1) 求圆 的标准方程； (2) 已知第二象限内的点 在圆 上，过点 作圆 的切线 恰好与圆 相切，求 的斜率； (3) 判断是否存在斜率为 的直线 与圆 交于点 ，与圆 交于点 ，且 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2026山东省实验中学期中 17）已知圆 的圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切. (1) 求圆 的标准方程； (2) 若直线 与圆 相交于两个不同的点 ，，且满足 ，求实数 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　直线与圆综合（定点与存在性） 方法要领　定点问题先由特殊位置猜测定点，再对一般情形验证；存在性假设存在后化为方程有解问题。 【例】（2026苏州中学期中 16）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 . (1) 求动直线 经过的定点 的坐标； (2) 当直线 与圆 相交，截得的弦长等于 时，求直线 的方程； (3) 当直线 与圆 相离时，求直线 的斜率 的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027唐河一高月考 18）已知圆 ，直线 的斜率为 ，与圆交于 、 两点. (1) 若直线 经过圆 的圆心，求出直线的方程； (2) 当直线 平行移动的时候，求 面积的最大值以及此时直线 的方程； (3) 是否存在直线 ，使以线段 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026玉溪一中期中 18）已知圆 经过 ，， 三点. (1) 求圆 的方程. (2) 若经过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程. (3) 已知直线 与圆 交于 （异于 点）两点，若直线 的斜率之积为 ，试问直线 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2025抚顺四方高中期中 17）已知圆 ，直线 . (1) 求证：直线 与圆 恒有两个交点； (2) 若直线 与圆 交于点 ，，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026苏州中学期中 18）在平面直角坐标系 中，记二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，经过 ，， 三点的圆记为圆 . ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　位置关系与轨迹综合多选 方法要领　多选题逐项独立判断：先求直线系定点并看点与圆位置关系定恒相交与最短弦；公切线条数与公共弦由两圆位置关系定；含绝对值的组合曲线先分象限去绝对值化为圆弧，再用对称性与弧长公式数形结合。 【例】（2027唐河一高月考 10）以下四个命题中表述正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过定点 B．圆 与圆 恰有三条公切线 C．两圆 与 的公共弦所在直线方程为 D．已知圆 ， 为直线 上一动点，过点 向圆 引一条切线 （ 为切点），则 的最小值为 2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026成都石室中学期中 9）元素 ，， 属于集合 ，，其中 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 中元素个数不定 B． 表示在 轴、 轴上的截距相等的直线时，直线方程为 或 C．设 ，若点 ，则直线 的方程为 D．若 中有两个元素 ，，则线段 中点的轨迹长度为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026山东省实验中学期中 9）已知直线 与圆 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 恒相交 C．直线 被圆 截得的最短线段长为 D．圆 与圆 恰有 条公切线 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026长郡中学期中 10）已知圆 ，圆 ， 为坐标原点，动点 在 轴上，动点 在圆 上，线段 的中点为 . 则下列选项正确的是（　　）（多选） A． 的轨迹方程为 B．过点 作圆 的一条切线，则切线长最短为 C．圆 和圆 有两条公切线 D． 的最大值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025钱塘联盟期中 11）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一，下列几个结论正确的是（　　）（多选） A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练5】（2025安岳中学期中 11）已知曲线 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 关于原点对称 C．曲线 的周长为 D．直线 与曲线 恰有 个交点 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025广州天河外国语期中 5）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026巴蜀中学期中 7）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（　　）条. A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026东北育才学校期中 5）点 在单位圆上运动，则 点到直线 （ 为任意实数）的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026玉溪一中期中 6）已知圆 ，直线 ，若 与圆 交于 ， 两点，设坐标原点为 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026大连二十四中期中 10）已知过点 的直线 与圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，则（　　）（多选） A． 的最大值为 4 B． 的最小值为 C．点 到直线 的距离的最大值为 D． 的面积为 3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026华中师大一附中期中 10）已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．直线 经过定点 B．圆 上的点到直线 的距离的最大值为 C．若圆 上有且仅有一个点到直线 的距离等于 1，则这样的直线 有 2 条 D．若 ，过直线 上一点作圆 的两条切线，切点分别为 ，，则 的中点到点 的距离的最小值为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2026重庆一中期中 9）已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．直线 和圆 总有公共点 B．直线 被圆 截得的最短弦长为 C．若圆 与圆 有且只有一条公切线，则实数 D．当 时，圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026山东省实验中学期中 12）直线 与圆 交于 ， 两点，则 ______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2025安岳中学期中 13）已知圆 ， 是 轴上动点， 分别是圆 的切线，切点分别为 两点，则直线 恒过定点 ______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2026东北育才学校期中 13）已知圆 ，直线 ， 为 上的动点. 过点 作圆 的切线 ，，切点为 ，，当 最小时，直线 的方程为 ______. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025广州中学期中 17）已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上. (1) 求圆 的标准方程及过点 的切线方程； (2) 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2026大连二十四中期中 19）已知圆 和圆 . (1) 若圆 与圆 相交，求 的取值范围； (2) 若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值； (3) 若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题七 直线与圆综合 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 弦长与切线问题 弦长与切线 · 直线与圆综合 2026华中师大一附中期中 7 题 切点弦与相关弦 直线与圆综合 · 弦长与切线 2026玉溪一中期中 5 题 直线与圆最值 直线与圆综合 2026长郡中学期中练习 6 题 直线与圆参数范围 直线与圆综合 · 直线与圆位置关系 · 圆与圆位置关系 2026长郡中学期中 6 题 直线与圆综合（定点与存在性） 直线与圆综合 2026苏州中学期中 5 题 位置关系与轨迹综合多选 直线与圆综合 · 圆的方程 2027唐河一高月考 6 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 直线与圆的综合问题：以位置关系为载体，综合考查弦长、切线、最值、参数范围、定点与存在性，几何意义优先是本册主线。 2. 圆的几何意义： 型是点到原点距离的平方、 型是点与原点连线的斜率、 型是两点距离——代数式都对应几何量。 ▍二、法则与公式 1. 弦长：；一般曲线弦长 。 2. 切线长：；圆上两点间距离不超过 。 3. 圆上点到直线距离的最值：圆心到直线距离 加减半径，即最大 、最小 。 ▍三、方法技巧 1. 最值三招：几何意义直接读（距离型、斜率型）、参数化后用二次函数（设圆上点 ）、转化后再用均值不等式。 2. 参数范围：由位置关系的临界条件（相切、过定点、恰有公共点）列等式或不等式，端点能否取到逐一检验。 3. 定点与存在性：先用特殊直线（水平、竖直）猜定结论，再对一般情形联立验证；存在性最后必须回应。 ▍四、易错警示 1. 几何意义看错： 的最值是圆心距与半径的运算，误用圆上坐标直接平方展开会繁且易错。 2. 参数范围丢端点：相切是相交与相离的临界，端点是否可取要依位置关系类型判断。 3. 多选题逐项独立：圆的对称性可以加速判断，但每项结论必须有计算或图形依据。 　弦长与切线问题 方法要领　弦长 （垂径定理）；切线用圆心到直线距离等于半径，过圆上一点只有一条、过圆外一点有两条（注意斜率不存在情形）。 【例】（2026华中师大一附中期中 15）已知圆 与直线 相切于坐标原点，且 为圆 与 轴的一个交点. (1) 求圆 的方程； (2) 求与圆 相切且在两坐标轴上截距相等的直线的方程. 【答案】(1) ；(2) 或 或 【分析】(1) 设圆的标准方程，由过点 、过原点、圆心与切点连线的斜率为 列方程组求解；(2) 按直线是否过原点分类，利用圆心到切线的距离等于半径求解。 【详解】(1) 解：设圆 的标准方程为 ， ∵ 圆 过点 且过切点原点，又圆心与切点连线垂直于切线 ， ∴ 可列方程组 ， 解得 ，且半径 ， ∴ 圆 的标准方程为 。 (2) 当切线过原点时，设切线方程为 ，即 ， 则圆心到切线的距离 ，解得 ，此时切线为 ； 当切线不过原点时，由两截距相等设切线方程为 ，即 ， 则 ，即 ，解得 ， 此时切线为 或 . 综上，所求切线方程为 或 或 . 【练1】（2026武汉部分重点中学期中 16）已知圆 过点 和 ，且圆心 在 轴上. (1) 求圆 的标准方程； (2) 若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】(1) 设圆心 ，把 ， 两点代入标准方程联立求 与半径；(2) 由垂径定理求出圆心到直线 的距离，按斜率存在与否分类求直线方程。 【详解】(1) 解：∵ 圆心 在 轴上，设圆 的标准方程为 ， 将 ， 代入得 ， 两式相减得 ，即 ，解得 ， ∴ ，即 ， ∴ 圆 的标准方程为 。 (2) 解：由 (1) 知圆心 ，半径 ， ∵ 直线 被圆 截得的弦长为 ， 由垂径定理得圆心 到直线 的距离 ， ① 当直线 的斜率不存在时，直线 为 ，圆心 到它的距离为 2，符合题意； ② 当直线 的斜率存在时，设 ，即 ， 由点到直线的距离公式得 ，即 ， 两边平方得 ，解得 ，此时直线 的方程为 ， 综上，直线 的方程为 或 。 【练2】（2026长郡中学期中练习 18）已知圆 ，点 . (1) 求过点 的圆 的切线 的方程； (2) 若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程. 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】(1) 点 在圆上，切线只有一条，由 或圆心到直线距离等于半径求解；(2) 由垂径定理求出弦心距，按斜率存在与否分类求直线。 【详解】(1) 解：∵ ，∴ 点 在圆 上（点与圆的位置关系）。 ∴ 过 的切线只有一条，且 。 ∵ （斜率公式），∴ 切线斜率 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）。 由点斜式得 ，即 。 (2) 解：圆心 ，半径 。 当直线 的斜率不存在时，直线为 ，圆心到它的距离为 ， 弦长为 （垂径定理），符合题意。 当斜率存在时，设 ，即 ， 则圆心到直线的距离 （点到直线的距离公式）。 由垂径定理得弦长 ，解得 。 ∴ ，两边平方得 ，解得 ， 此时直线为 ，即 。 综上，直线 的方程为 或 。 【练3】（2026东北育才学校期中 15）已知圆 . (1) 已知点 在圆 的外部，求 的取值范围； (2) 若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程. 【答案】(1) ；(2) 或 【分析】(1) 方程表示圆需 ，点在圆外等价于把点代入方程左边大于 ，联立求解；(2) 按切线斜率存在与否分类，由圆心到切线的距离等于半径求解。 【详解】(1) 解：∵ 方程 表示圆， ∴ ，即 ，解得 （二元二次方程表示圆的条件）。 又点 在圆 外部，∴ （点在圆外的代数判别法）， 即 ，解得 。 ∴ 的取值范围为 。 (2) 解：当 时，圆 即 ，圆心 ，半径 （配方法）。 当切线斜率不存在时，直线 ，圆心到它的距离为 ，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为 ，即 。 由圆心到切线的距离等于半径得 （点到直线的距离公式）， 两边平方得 ，解得 ， 此时切线方程为 ，即 。 综上，切线的方程为 或 。 【练4】（2025钱塘联盟期中 13）已知直线 与圆 交于 ， 两点，若 的面积为 2，则实数 的值为______. 【答案】 【分析】设圆心到直线的距离为 ，由垂径定理得 ，代入三角形面积公式解出 ，再用点到直线的距离公式求 。 【详解】解：由圆 得圆心 ，半径 ， 设圆心 到直线 的距离为 ， 由垂径定理得 ， ∵ ，取 中点为 ，则 ，， ∴ 的面积 ， 由 得 ，两边平方得 ， 即 ，解得 ， 又由点到直线的距离公式得 ， ∴ ，即 ，解得 。 【练5】（2027唐河一高月考 16）已知圆 . (1) 若直线 与圆 相切，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程； (2) 过点 的直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，求点 的轨迹方程. 【答案】(1) 或 或 或 ；(2) 【分析】(1) 把圆化为标准方程，按相等截距是否为 0 分类设直线，由圆心到切线的距离等于半径求解；(2) 由垂径定理得 ，结合 ，，， 共线得 ，故点 的轨迹是以 为直径的圆。 【详解】(1) 解：圆 配方得 ，圆心 ，半径 ， ① 当相等的截距为 0 时，切线过原点，设 ，即 ， 由圆心到切线的距离等于半径得 ， 两边平方整理得 ，解得 ， 此时切线方程为 或 ； ② 当相等的截距不为 0 时，设 ， 由 得 ，解得 或 ， 此时切线方程为 或 ， 综上，所求切线方程为 或 或 。 (2) 解：∵ 为弦 的中点，由垂径定理得 ， 又 ，，， 四点共线，∴ ，即 ， ∴ 点 的轨迹是以 为直径的圆（依据：直径所对的圆周角为直角）， ∵ ，，∴ 圆心为 的中点 ，半径为 ， ∴ 点 的轨迹方程为 。 【练6】（2026长郡中学期中 14）已知 是圆 内一点，若过点 恰好可以作 7 条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 构成的区域（忽略边界）面积为______. 【答案】 【分析】先分析过点 的最短弦长的取值范围，由垂径定理转化为 的范围，进而确定点 构成的圆环区域，再求面积。 【详解】解：圆 的半径 ，点 在圆内，直径是最长的弦，长度为 8， 由垂径定理，过点 的弦长 ，其中 为圆心 到弦 的距离， 要使弦最短，则 最大，由 知当 时 最大、弦长最短， 根据圆的对称性，这 7 条长度为正整数的弦的长度分别为 5，6，7，8，7，6，5， 要使得有两条长度为 5 的弦且没有长度为 4 的弦，则最短弦长 满足 ， 由垂径定理构造直角三角形得 ， ∴ ，即 ， ∴ 点 落在以 为圆心、半径分别为 和 的两圆所夹的圆环内（忽略边界）， ∴ 所求区域的面积为 。 　切点弦与相关弦 方法要领　切点弦方程用构造圆（以圆心和切点间线段为直径的圆）与已知圆联立；公共弦由两圆方程相减。 【例】（2026玉溪一中期中 9）已知点 在圆 上，点 、，则（　　）（多选） A．点 到直线 的距离小于 B．点 到直线 的距离大于 C．当 最小时， D．当 最大时， 【答案】ACD 【分析】求出圆心到直线 的距离，得圆上点到直线距离的取值范围判断 AB； 最大或最小时 与圆相切，由切线长（勾股定理）判断 CD。 【详解】解：圆的圆心为 ，半径 。 直线 的方程为 ，即 （截距式）。 圆心 到直线 的距离 （点到直线的距离公式）， ∴ 直线与圆相离，圆上点 到直线 的距离的取值范围为 ， 即最小值 ，最大值 ，∴ A 正确，B 错误。 当 最大或最小时， 与圆 相切（圆的切线性质：切线与过切点的半径垂直，视角的临界在切线处取得）。 此时连接 、，则 ， ，。 由勾股定理得 ，∴ C、D 正确。 故选：ACD。 【练1】（2026杭州二中期中 6）自点 发出的光线 经过 轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反射原理，反射光线所在直线即过点 关于 轴的对称点的圆的切线，设斜率写出直线系，由圆心到直线距离等于半径得斜率的二次方程，用韦达定理求斜率之积。 【详解】解：点 关于 轴的对称点为 （关于 轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数）。 由光的反射原理，反射光线所在直线即过 且与圆 相切的直线。 圆 配方得 ，圆心 ，半径 （配方法）。 设切线方程为 ，即 。 由圆心到切线的距离等于半径得 （点到直线的距离公式）， 两边平方整理得 ，即 。 由韦达定理，两切线斜率之积 。 故选：D。 【练2】（2025广州天河外国语期中 7）已知圆 ，直线 ，点 在直线 上运动，直线 分别与圆 相切于点 ，则四边形 的面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】四边形面积等于两个直角三角形面积之和，切线长 ，当 时 最小，面积最小。 【详解】解：圆心 ，半径 。 ∵ 、 是圆的切线，∴ ，且 （切线长定理）。 四边形 的面积 。 由勾股定理，（半径与切线垂直）。 当 时， 最小（垂线段最短），此时 （点到直线的距离公式）。 ∴ 。 ∴ 。 故选：A。 【练3】（2026杭州学军中学期中 16）已知圆 ，圆 . (1) 求圆 与圆 的公共弦长； (2) 已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点 ，求线段 的中点 的轨迹方程. 【答案】(1) ；(2) ， 【分析】(1) 两圆方程相减得公共弦所在直线，用垂径定理求弦长；(2) 由垂径定理得 ，用 或参数法求中点轨迹，并按直线与圆相交的条件确定范围。 【详解】(1) 解：两圆方程相减（消去二次项）得 ，即公共弦所在直线为 。 圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 。 圆心到公共弦直线的距离 （点到直线的距离公式）。 ∴ 公共弦长 （垂径定理）。 (2) 解：设直线 的方程为 ，，，。 联立 ，消去 得 。 由韦达定理得 ， ∴ 。 ∴ 中点 满足 （中点坐标公式）。 ∵ ，∴ ，得 。 又 ，代入得 ，即 ， 亦即 （消参求轨迹方程）。 再由直线与圆 相交得 ，即 。 ∴ ，∴ ，结合 得 。 ∴ 中点 的轨迹方程为 ，。 【练4】（2026南京五校共同体期中 10）已知圆 和直线 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．当 时，直线 被圆截得的弦长为 B．当 时，圆上到直线 的距离为 的点有 个 C．当 时，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形 面积最小值为 D．当 时，过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则直线 恒过定点 【答案】ACD 【分析】A 由垂径定理求弦长；B 由圆心到直线的距离与 及半径比较确定点的个数；C 切线长用勾股定理表示， 最小时面积最小；D 用切点弦方程（或以 为直径的圆与圆 的公共弦）求出 恒过的定点。 【详解】解：由圆 的方程得圆心 ，半径 。 对于 A：当 时，圆心到直线 的距离 （点到直线的距离公式）， ∴ 弦长为 （垂径定理），A 正确。 对于 B：当 时，。与 平行且距离为 的两条直线到圆心的距离分别为 与 ，均小于半径 ， ∴ 这两条平行线都与圆相交，各贡献 个点，圆上到 距离为 的点共有 个，B 错误。 对于 C：当 时，。∵ ， ∴ 切线长 （勾股定理）， 四边形 的面积 。 当 时 最小，为 。 ∴ ，C 正确。 对于 D：设 ，切点 ，。 以 为直径的圆过 、（∵ ，，直径所对的圆周角为直角）， 该圆的方程为 ， 与圆 相减得切点弦 的方程：（两圆公共弦方程）。 ∵ 在 上，∴ ，代入得 ， 整理为 。 由 解得 （直线系过定点）， ∴ 直线 恒过定点 ，D 正确。 故选：ACD。 　直线与圆最值 方法要领　最值转化为圆心到直线的距离加减半径，如 型看圆心到原点距离、 型看斜率； 型先配方化为圆上动点到定点距离平方的倍数再求。 【例】（2026长郡中学期中练习 17）已知实数 ， 满足方程 . (1) 求 的最大值和最小值； (2) 求 的最大值和最小值； (3) 求 的最大值和最小值. 【答案】(1) 最大值为 ，最小值为 ；(2) 最大值为 ，最小值为 ；(3) 最大值为 ，最小值为 【分析】方程配方后表示圆， 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率， 可看作直线 的纵截距， 是圆上的点到原点距离的平方，分别利用斜率、截距、距离的几何意义，结合直线与圆相切及点与圆的位置关系求解。 【详解】(1) 解：原方程 配方得 ， 表示以 为圆心、 为半径的圆， 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 ，即直线 ， 当直线 与圆相切时，斜率 取得最大值或最小值， 由圆心到切线的距离等于半径得 ， 两边平方得 ，解得 ， ∴ 的最大值为 ，最小值为 。 (2) 解： 可看作直线 在 轴上的截距， 当直线 与圆相切时，纵截距 取得最大值或最小值， 由点到直线的距离公式得 ，即 ， 解得 ， ∴ 的最大值为 ，最小值为 。 (3) 解： 表示圆上的点 与原点距离的平方， 由圆的几何性质，最值在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得， 圆心到原点的距离为 ， ∴ 圆上的点到原点距离的最大值为 ，最小值为 ， ∴ 的最大值为 ， 最小值为 。 【练1】（2025三明二中期中 7）已知点 ， 为圆 上两点，，点 为线段 的中点，点 为直线 上的动点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理得弦心距，从而确定中点 的轨迹圆，再把 的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值。 【详解】解：圆的圆心 ，半径 。 ∵ 为弦 的中点，由垂径定理得 ， ∴ （垂径定理）。 ∴ 点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。 圆心 到直线 的距离 （点到直线的距离公式）。 ∴ 圆上动点 到直线上动点 的距离的最小值为 。 故选：A。 【练2】（2027唐河一高月考 6）直线 被圆 所截得的弦中，最短弦所在的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线系恒过的定点并判定定点在圆内，最短弦与定点和圆心的连线垂直，由斜率关系求弦所在直线。 【详解】解：将直线方程按 整理为 （分离参数法）。 由 解得 ，∴ 直线恒过定点 。 圆心 ，， ∴ 点 在圆 内（点与圆的位置关系）。 ∵ 过圆内一点的各弦中，与 垂直的弦最短（弦心距最大时弦最短，而弦心距不超过 ）。 由 （斜率公式），得最短弦所在直线的斜率为 （垂直 ⟺ 斜率之积为 ）。 由点斜式得 ，即 。 故选：B。 【练3】（2026宁波六校联盟期中 17）已知圆 外有一点 ，过点 作直线 . (1) 当直线 与圆 相切时，求直线 的方程； (2) 点 为圆上任意一点，已知 ，求 的最小值. 【答案】(1) 或 ；(2) 【分析】(1) 按斜率存在与否分类，由圆心到切线的距离等于半径求解；(2) 设 ，把 配方为 ，转化为圆上动点到定点距离的最小值。 【详解】(1) 解：圆心 ，半径 。 当直线 的斜率不存在时，直线为 ，圆心到它的距离为 ，符合题意； 当斜率存在时，设 ，即 ， 由圆心到切线的距离等于半径得 （点到直线的距离公式）， 两边平方得 ，解得 ， 此时切线为 ，即 。 综上，直线 的方程为 或 。 (2) 解：设 ，则 ，（两点间距离公式）， ∴ （配方法）。 设 ，则 表示圆 上的点 到定点 的距离的平方（距离的几何意义）。 ∵ ，∴ 点 在圆 外（点与圆的位置关系）， ∴ 圆上的点 到 的距离的最小值为 （在 连线与圆的交点处取得）， ∴ 。 【练4】（2025钱塘联盟期中 8）已知直线 与 相交于点 ，线段 是圆 的一条动弦，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线系过定点且两直线垂直，得 的轨迹为圆；设 为弦 的中点，将数量积化为 ，由 与两圆位置关系求 的最小值。 【详解】解：依题意圆心 ，半径 ， 直线 恒过点 ，直线 恒过点 ， 且两直线斜率之积为 ，∴ ，∴ ，即 ， 设 ，得 ， 即 （除去点 ），即 在以 为圆心、 为半径的圆上， 设 为弦 的中点，由垂径定理 ， 且 ， ∵ 为 中点，∴ ， ∴ ， ∵ ， 由三角形不等式 （共线时取等）， ∴ . 故选：B. 【练5】（2026哈尔滨三中期中 14）已知直线 （）恒过定点 ，圆 上的两点 ， 满足 （），则 的最小值为______. 【答案】 【分析】由 知 ，， 三点共线，即 是过定点 的弦；设 的中点为 ，由垂径定理得 ，故 在以 为直径的圆上；圆 整体在直线 的同一侧，绝对值可去掉，所求式化为中点 到该直线距离的倍，进而求最小值。 【详解】解：由 得 ，∴ 直线恒过定点 （直线系过定点）。 ∵ ，∴ ，， 三点共线，即 为过点 的圆 的弦。 ∵ ，∴ 点 在圆 内，过 的直线与圆必交于两点（点与圆的位置关系）。 设弦 的中点为 ，则 ，（中点坐标公式）。 由垂径定理得 ，又 ， 均在弦 上，∴ ，即 ， 得 ，即 （， 在以 为直径的圆上）， ∴ 中点 在以 为圆心、 为半径的圆上。 设 ，圆心 到 的距离为 （点到直线的距离公式）， ∴ 整个圆 位于 的同一侧，∴ ，，绝对值可直接去掉， ∴ （ 为 到 的距离）。 圆 的圆心到 的距离为 ， ∴ （圆上点到直线距离的最小值为圆心距减半径）， ∴ 所求最小值为 。 　直线与圆参数范围 方法要领　参数范围由位置关系的临界条件（相切、相交的 、距离恰等、到定直线距离为定值的点分布于平行线）列不等式（组），注意端点能否取到、多条件取交集。 【例】（2026长郡中学期中 18）设 ，，，圆 过 ，， 三个点. (1) 求圆 的方程； (2) 设点 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使得 成立，求实数 的取值范围； (3) 设斜率为 的直线 与圆 相交于 ， 两点（， 均不与原点 重合），直线 ， 的斜率分别为 ，，且 ，证明：直线 恒过定点. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 直线 恒过定点 【分析】(1) 由 与 关于 轴对称知圆心在 轴上，由 求圆心与半径；(2) 设 ，将 化为动点轨迹圆，依题意该圆与圆 相交，由圆心距与半径的和差列不等式；(3) 联立直线与圆的方程，用韦达定理表示 ，解出截距与斜率的关系得定点。 【详解】(1) 解：∵ 与 关于 轴对称，∴ 圆心 在 轴上，设 ， 由 得 ， 展开整理得 ，解得 ， ∴ 圆心 ，半径 ， ∴ 圆 的方程为 。 (2) 解：设 ，由 得 ， 整理得 ，故 ， ∴ 点 在以 为圆心、 为半径的圆 上， 依题意圆 与圆 相交（有两个不同的公共点）， 又 ， 由两圆相交的充要条件得 ， 由右边不等式得 ，即 ，解得 ， 由左边不等式得 ，即 ，解得 ， ∴ 实数 的取值范围是 。 (3) 证明：设直线 的方程为 ，，， 联立 ，消去 得 ， 由韦达定理得 ，， ∵ ， 均不与原点重合，∴ ， ∴ ， 其中 ， ∴ ， 由 得 ，即 ， ∴ 直线 的方程为 ，恒过定点 ， ∴ 直线 恒过定点 。 【练1】（2026雅礼教育集团期中 7）若直线 与圆 交于 ， 两点，则 的取值不可能为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】将直线方程按 整理求恒过定点 ，并判断斜率为 的直线能否取到；弦长由圆心到直线的距离决定，距离最大对应最短弦，据此得 的范围。 【详解】解：圆 的圆心为 ，半径 ， 将直线 的方程按 整理为 ， 直线过定点与 无关，由 解得 ， ∴ 直线 恒过定点 ， 由 无解知直线 不能表示直线 （即过 且斜率为 的直线取不到）， ∵ （两点间距离公式）， 当直线 经过圆心 时，圆心到直线的距离最小为 0，弦长最长为直径 ， 当 时，圆心到直线 的距离最大为 ， 由垂径定理，此时弦长最短为 ， ∵ ，∴ 最短弦所在直线斜率为 ，即直线 ， 而直线 不能表示该直线，∴ 最短弦长 取不到， ∴ 的取值范围是 ， ∴ 的取值不可能为 。 故选：A。 【练2】（2025安岳中学期中 8）若圆 上存在两个点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】圆上到 距离为 的点必在与 平行且距离为 的两条平行线上，问题转化为这两条平行线与圆恰有两个公共点，由直线与圆位置关系的临界条件列出 的不等式组。 【详解】解：圆 的圆心为 ，半径 （由标准方程读出）。 与 平行且距离为 的两条直线为 与 （平移量 满足 ）， 这两条平行线之间的距离为 ，故它们不可能同时与圆相切（两平行线都与圆相切时其间距应为 ）。 圆上到 距离为 的点即圆与 ， 的公共点， 要使这样的点恰有 个，只能一条平行线与圆相交（贡献 个点）、另一条与圆相离（贡献 个点）（直线与圆位置关系的交点个数）。 圆心到两条平行线的距离分别为 ，（点到直线的距离公式）。 ① 若 与圆相交且 与圆相离，则 且 ， 即 且 ，解得 且 或 ，故 ； ② 若 与圆相交且 与圆相离，则 且 ， 即 且 ，解得 且 或 ，故 。 综上，实数 的取值范围是 或 。 故选：C。 【练3】（2026南京五校共同体期中 16）设 ，，，，圆 的圆心在 轴的正半轴上，且过 中的三个点. (1) 求圆 的方程； (2) 若圆 上存在两个不同的点 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 由对称性确定圆经过的三个点，再由垂直平分线求圆心与半径；(2) 设 ，把条件化为动点轨迹圆，两圆有两个公共点等价于相交，由圆心距与半径列不等式求 。 【详解】(1) 解：若圆 同时经过 ，则圆心在 的垂直平分线 上，与圆心在 轴正半轴矛盾；同理圆 不能同时经过 。 ∴ 圆 不经过点 ，只能过 三点。 的中垂线方程为 ，即 ； 的中垂线方程为 （中垂线方程）。 联立解得圆心 ，半径 。 ∴ 圆 的方程为 。 (2) 解：设 ，由 得 ， 化简得 （两点间距离公式并整理），故 。 ∴ 点 在以 为圆心、 为半径的圆 上。 依题意圆 与圆 有两个不同的公共点，∴ 两圆相交。 圆心距 （两点间距离公式）。 由两圆相交的充要条件得 。 由右边得 ，即 ，解得 ； 由左边得 ，即 ，解得 。 ∴ 实数 的取值范围是 。 【练4】（2026辽宁七校协作体期中 18）已知圆 ，圆 的圆心在直线 上，且过点 ，. (1) 求圆 的标准方程； (2) 已知第二象限内的点 在圆 上，过点 作圆 的切线 恰好与圆 相切，求 的斜率； (3) 判断是否存在斜率为 的直线 与圆 交于点 ，与圆 交于点 ，且 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 不存在，理由见详解 【分析】(1) 设圆心 ，由 求 ；(2) 设 ，由切线过 且圆心距为 得切点弦方程 ，再由圆 到切线的距离等于 求 ；(3) 由直线与两圆分别相交的条件确定截距范围，再由弦长条件解出截距并检验范围。 【详解】(1) 解：设圆心 ，由 得 ，两边平方解得 。 ∴ 圆心 ，半径 ， 圆 的标准方程为 。 (2) 解：设 （），则 。 过 的切线 的方程为 （过圆 上一点 的切线方程）。 ∵ 与圆 相切，∴ 圆心 到 的距离等于 ， 即 （点到直线的距离公式）。 ∴ 或 。 若 ，与 联立解得 ，与 矛盾，舍去； 若 ，联立解得 或 （舍去），∴ 。 ∴ 的斜率 。 (3) 解：不存在。理由如下： 设 。由 与圆 相交得圆心 到 的距离小于 ：，即 ； 由 与圆 相交得 ，即 。 ∴ 需满足 。 由垂径定理，， 解得 ，即 或 。 ∵ 且 ，均不满足 。 ∴ 不存在满足条件的直线 。 【练5】（2026山东省实验中学期中 17）已知圆 的圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切. (1) 求圆 的标准方程； (2) 若直线 与圆 相交于两个不同的点 ，，且满足 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 设圆心 ，由过点 与圆心到切线的距离等于半径列方程组；(2) 联立直线与圆的方程，由 得相交条件，用韦达定理表示 ，再由 解出 ，与相交条件取交集。 【详解】(1) 解：由圆心在 上，设圆心 ，半径为 （待定系数设标准方程）。 ∵ 圆 过点 ，∴ （点在圆上的代数表示）； ∵ 圆 与直线 相切，∴ （圆心到切线的距离等于半径）。 联立并两边平方，整理得 ， 展开得 ，即 ， ∵ ，∴ ， ∴ 圆心 ，半径 ，圆 的标准方程为 。 (2) 解：设 ，。 联立 ，消去 得 。 由直线与圆交于两个不同点得 ，整理得 （根的判别式）。 由韦达定理得 ，（韦达定理）。 ∵ ，∴ ，（圆心为原点时向量的坐标）， ∴ （代入韦达定理并整理）。 由 得 ， ∵ ，∴ ，即 ，解得 ， 即 ，且 自动满足相交条件， ∴ 实数 的取值范围是 。 　直线与圆综合（定点与存在性） 方法要领　定点问题先由特殊位置猜测定点，再对一般情形验证；存在性假设存在后化为方程有解问题。 【例】（2026苏州中学期中 16）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 . (1) 求动直线 经过的定点 的坐标； (2) 当直线 与圆 相交，截得的弦长等于 时，求直线 的方程； (3) 当直线 与圆 相离时，求直线 的斜率 的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 【分析】(1) 以 为主元整理直线方程，令参数项与常数项同时为零求定点；(2) 由垂径定理求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式求 ；(3) 设点斜式，由圆心到直线距离大于半径列不等式，并剔除取不到的斜率。 【详解】(1) 解：将直线 的方程按 整理为 ， 直线过定点与 无关，故 ， 解得 ，∴ 动直线 恒过定点 . (2) 由圆 的方程知圆心 ，半径 ， 设圆心 到直线 的距离为 ， ∵ 直线 被圆 截得的弦长为 ， 由垂径定理得 ，解得 ， ∴ ，即 ， 解得 或 ， ∴ 直线 的方程为 或 . (3) 由 (1) 知直线 恒过点 且与圆相离时斜率存在，可设 ，即 ， ∵ 直线 与圆 相离，∴ 圆心到直线的距离大于半径，即 ， 两边平方整理得 ，解得 ， 又由直线 的方程知斜率 ， ∴ 直线斜率 的取值范围为 . 【练1】（2027唐河一高月考 18）已知圆 ，直线 的斜率为 ，与圆交于 、 两点. (1) 若直线 经过圆 的圆心，求出直线的方程； (2) 当直线 平行移动的时候，求 面积的最大值以及此时直线 的方程； (3) 是否存在直线 ，使以线段 为直径的圆过原点？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) ；(2) 最大值 ，此时 或 ；(3) 存在， 或 【分析】(1) 配方求圆心，点斜式写方程；(2) 设 ，面积用弦心距表示后配方求最值；(3) 假设存在，以 为直径的圆过原点等价于 ，联立用韦达定理求解。 【详解】(1) 解：圆 配方得 ，圆心 ，半径为 （配方法）。 ∵ 直线斜率为 且过圆心，∴ 的方程为 ，即 。 (2) 解：设 ，圆心到 的距离为 ，则弦长 （垂径定理）。 ∴ （配方法求最值）。 当且仅当 即 时取等号。 由 ，解得 或 。 ∴ 面积最大值为 ，此时直线 的方程为 或 。 (3) 解：假设存在直线 满足条件，设 ，。 以 为直径的圆过原点等价于 ，即 ，也就是 （直径所对圆周角为直角）。 联立 ，消去 得 。 由 得 ，且 ，（韦达定理）。 ∴ 。 代入 得 ， 即 ，解得 或 ，均满足 。 ∴ 存在直线 ，其方程为 或 。 【练2】（2026玉溪一中期中 18）已知圆 经过 ，， 三点. (1) 求圆 的方程. (2) 若经过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程. (3) 已知直线 与圆 交于 （异于 点）两点，若直线 的斜率之积为 ，试问直线 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 经过定点 【分析】(1) 设圆的一般方程代入三点求系数；(2) 按斜率存在与否分类，由圆心到切线距离等于半径求斜率；(3) 设 联立圆的方程，把斜率之积用韦达定理表示，解出 与 的关系得定点。 【详解】(1) 解：设圆 的方程为 。 代入三点得 ， 解得 （待定系数法）。 ∴ 圆 的方程为 。 (2) 解：圆心 ，半径 。 当 斜率不存在时，直线为 ，圆心到它的距离为 ，不合题意； 当斜率存在时，设 ，即 。 由圆心到切线的距离等于半径得 （点到直线的距离公式）， 即 ，解得 。 ∴ 直线 的方程为 。 (3) 解：当 斜率不存在时，设 ，，， 则 ，结合 解得 ，此时 经过点 ，不合题意，舍去。 当斜率存在时，设 ，联立圆的方程得 。 由韦达定理 ，。 ∴ （韦达定理代入整理）。 整理得 ， 即 ，分解得 。 ∴ 或 （舍去，此时 过点 ）。 ∴ ，恒过定点 。 综上，直线 经过定点 。 【练3】（2025抚顺四方高中期中 17）已知圆 ，直线 . (1) 求证：直线 与圆 恒有两个交点； (2) 若直线 与圆 交于点 ，，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程. 【答案】(1) 见详解；(2) 最大值 ，此时 为 或 【分析】(1) 先证直线恒过定点，再说明定点在圆内；(2) 为等腰三角形，夹角为 时面积最大，由弦心距条件求对应的 。 【详解】(1) 证明：将直线方程按 整理为 （分离参数法）。 由 解得 ，∴ 直线恒过定点 。 ∵ ，∴ 点 在圆 内部（点与圆的位置关系）。 过圆内一点的直线与圆必有两个交点，∴ 直线 与圆 恒有两个交点。 (2) 解：由 (1) 知 （两点间距离公式）。 ∵ ，∴ 为等腰三角形， 其面积 。 当 时，面积最大为 （等腰直角三角形）。此时弦心距 。 ∵ ，∴ 该情形可以取到。 此时圆心 到 的距离为 ，即 （点到直线的距离公式）。 两边平方整理得 ， 即 ，解得 或 。 当 时 ；当 时 。 ∴ 面积最大值为 ，此时直线 的方程为 或 。 【练4】（2026苏州中学期中 18）在平面直角坐标系 中，记二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，经过 ，， 三点的圆记为圆 . 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1) 由对称性设圆的一般方程，利用 时圆的方程与 同解定常数项，代入 求 项系数；(2) 先求 的轨迹圆，两圆有公共点等价于公共弦所在直线与轨迹圆有公共点，由圆心到直线的距离列不等式；(3) 由圆周角定理把圆心角转化为圆周角，在两个直角三角形中用二倍角正切公式构造 ， 的方程。 【详解】(1) 解：当 时，，其图象关于直线 对称，且 ，∴ ， 圆 过 ，，且 ， 关于 对称，∴ 圆心 在直线 上， 设圆 的方程为 （一般式）， 令 得 ，它与 同解，∴ ， 将点 代入得 ，解得 ， ∴ 圆 的方程为 。 (2) 解：仿照 (1) 可得圆 ， 其圆心 ，半径 ， 设 ，由 得 ， 整理得 ，即点 在以 为圆心、2 为半径的圆 上， ∵ 圆 上存在点 满足 ，∴ 圆 与圆 有公共点， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 ， 而两圆有公共点等价于该直线与圆 有公共点（公共点必在公共弦直线上）， ∴ 圆心 到该直线的距离不大于 2，即 ， 两边平方得 ，整理得 ，即 ， ∴ 实数 的取值范围是 。 (3) 解：设 ，则 ， ∵ ，∴ ， 位于原点两侧， 由圆周角定理，，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， 在 中，，在 中，， 由二倍角正切公式 得 ， 整理得 ， ∵ ， 是方程 的两根，∴ ，即 ， ∴ ，解得 ，∴ ， ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ，解得 ， ∴ 。 　位置关系与轨迹综合多选 方法要领　多选题逐项独立判断：先求直线系定点并看点与圆位置关系定恒相交与最短弦；公切线条数与公共弦由两圆位置关系定；含绝对值的组合曲线先分象限去绝对值化为圆弧，再用对称性与弧长公式数形结合。 【例】（2027唐河一高月考 10）以下四个命题中表述正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过定点 B．圆 与圆 恰有三条公切线 C．两圆 与 的公共弦所在直线方程为 D．已知圆 ， 为直线 上一动点，过点 向圆 引一条切线 （ 为切点），则 的最小值为 2 【答案】ABD 【分析】A 令 求 即得定点；B 两圆配方后求圆心距，与半径之和比较判定外切；C 两圆方程相减得公共弦所在直线方程，验证所给方程；D 由勾股定理用切线长公式把 的最小值转化为圆心到直线的距离的最小值。 【详解】解：对于 A，令 ，得 ，解得 ， ∴ 无论 取何值，直线都经过定点 ，故 A 正确； 对于 B，圆 配方得 ，圆心 ，半径 ， 圆 配方得 ，圆心 ，半径 ， 圆心距 ， ∵ ，∴ 两圆外切（两圆位置关系的判定）， 外切的两圆恰有 3 条公切线，故 B 正确； 对于 C，两圆方程相减（消去二次项）得 ， 即公共弦所在直线的方程为 ，不是 ，故 C 错误； 对于 D，∵ 为圆 的切线，∴ 由勾股定理得 ， 要使 最小，只需 最小，其最小值为圆心 到直线 的距离， 即 （点到直线的距离公式）， ∴ ，故 D 正确。 故选：ABD。 【练1】（2026成都石室中学期中 9）元素 ，， 属于集合 ，，其中 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A． 中元素个数不定 B． 表示在 轴、 轴上的截距相等的直线时，直线方程为 或 C．设 ，若点 ，则直线 的方程为 D．若 中有两个元素 ，，则线段 中点的轨迹长度为 【答案】ABC 【分析】先由三点确定圆 ，再把 化为过定点的直线系；A 由定点与圆的位置关系判断；B 由截距相等列方程；C 两圆方程相减得公共弦；D 由垂径定理求中点轨迹并判断轨迹长度。 【详解】解：把三点代入圆 的方程得 ， 解得 ，，（待定系数法）。 ∴ 表示圆 ，圆心 ，半径 。 又 即 ，∴ 表示过定点 的直线（直线系过定点）。 对于 A：，∴ 定点 在圆外，直线与圆可能相离、相切或相交， 中元素个数不定，A 正确。 对于 B：令 得 ；令 得 。 由截距相等得 ，即 ，解得 。 当 时直线为 ；当 时直线为 ，B 正确。 对于 C：圆 的圆心 ，半径 。∵ ，且 ，∴ 两圆相交， 两圆方程相减（消去二次项）得 （公共弦方程），∴ 直线 ，C 正确。 对于 D：设 的中点为 ，由垂径定理 ，且 过 ，∴ ， 即 ，得 ， 整理得 （相关点法求轨迹）。 ∵ 圆心距 （ 为轨迹圆的圆心），满足 ，∴ 两圆相交， ∴ 轨迹是两段优弧的一部分而非整个圆，其长度不等于圆周长 ，D 错误。 故选：ABC。 【练2】（2026山东省实验中学期中 9）已知直线 与圆 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．直线 恒过定点 B．直线 与圆 恒相交 C．直线 被圆 截得的最短线段长为 D．圆 与圆 恰有 条公切线 【答案】BC 【分析】将 的方程按参数整理求定点，由定点与圆的位置关系判断 与圆是否恒相交；最短弦与定点、圆心连线垂直，由垂径定理求弦长；两圆位置关系由圆心距与半径的和差判定，进而确定公切线条数。 【详解】解：对于 A：将 写成 （分离参数法）， 令 且 同时成立，得 ，∴ 直线 恒过定点 ，A 错误。 对于 B：圆 配方得 ，圆心 ，半径 （配方法）。 ∵ （两点间距离公式），∴ 定点 在圆 内部（点与圆的位置关系）， 过圆内一点的直线与圆必有两个交点，∴ 直线 与圆 恒相交，B 正确。 对于 C：过圆内定点 的弦中，弦心距最大为 （此时弦与 垂直）， 由垂径定理得最短弦长为 ，C 正确。 对于 D：圆 的圆心 ，半径 ， 圆心距 （两点间距离公式）， ∵ ，∴ 两圆相交（两圆位置关系的判定）， 相交的两圆恰有 条公切线（内公切线因相交而不存在），D 错误。 故选：BC。 【练3】（2026长郡中学期中 10）已知圆 ，圆 ， 为坐标原点，动点 在 轴上，动点 在圆 上，线段 的中点为 . 则下列选项正确的是（　　）（多选） A． 的轨迹方程为 B．过点 作圆 的一条切线，则切线长最短为 C．圆 和圆 有两条公切线 D． 的最大值为 【答案】BCD 【分析】A 用相关点法求中点轨迹；B 切线长用勾股定理化为二次函数最值；C 判断两圆位置关系得公切线条数；D 把分式看作定点与动点连线的斜率，由切线的临界斜率求最值。 【详解】解：对于 A：设 ，由 为 中点得 （中点坐标公式）。 代入 得 ，即 ，A 错误。 对于 B：圆 配方得 ，圆心 ，半径 。 设 ，切线长 （勾股定理）。 当 时切线长最短为 ，B 正确。 对于 C：圆 的圆心 ，半径 ，圆心距 。 ∵ ，∴ 两圆相交，有两条公切线（两圆位置关系与公切线条数），C 正确。 对于 D： 表示定点 与动点 连线的斜率（斜率的几何意义）。 ∵ 在圆 上，∴ 也在圆 上（圆关于原点对称）。 设过 的直线 与圆 相切，则 （点到直线的距离公式）， 两边平方得 ，解得 或 。 结合图形，斜率的最大值为 ，D 正确。 故选：BCD。 【练4】（2025钱塘联盟期中 11）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 就是其中之一，下列几个结论正确的是（　　）（多选） A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 恰好经过 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C．曲线 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 【答案】ABD 【分析】A 用 代入检验；B 分 、 讨论整点并结合对称性计数；C 取特殊值找反例；D 由基本不等式放缩得 。 【详解】解：对于 A：将 代入方程得 ，与原方程相同，∴ 曲线关于 轴对称，A 正确。 对于 B：当 时，，得点 、。 当 时，方程化为 ，视为 的二次方程， 判别式 ，解得 （根的判别式），∴ 整数 只能取 。 当 时 ，得 或 ，即点 、。 由关于 轴的对称性，还有点 、，∴ 共经过 个整点，B 正确。 对于 C：取 ，方程化为 ， 解得 ，其中 （反例否定）， ∴ 第一象限内纵坐标的最大值大于 ，C 错误。 对于 D：当 时，（基本不等式）， ∴ ，即 。 由对称性，曲线上任意一点到原点的距离都不超过 ，D 正确。 故选：ABD。 【练5】（2025安岳中学期中 11）已知曲线 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．曲线 关于 轴对称 B．曲线 关于原点对称 C．曲线 的周长为 D．直线 与曲线 恰有 个交点 【答案】ABC 【分析】A、B 用对称点代入方程检验；C 按象限去绝对值，知曲线由四段圆弧对称组成，用圆心角与弧长公式求周长；D 由直线过曲线内部的点，结合对称性数交点个数。 【详解】解：对于 A：将 代入方程得 ，与原方程相同，∴ 曲线 关于 轴对称，A 正确。 对于 B：将 代入方程仍得同一方程（绝对值消除符号影响），∴ 曲线 关于原点对称，B 正确。 对于 C：当 ， 时，方程为 ，配方得 （配方法）， 表示以 为圆心、 为半径的圆在第一象限内的部分。 令 得 ，解得 或 ，∴ 这段弧的两个端点为 与 ， ，，由余弦定理 ， ∴ 圆心角 ，这段弧长为 （弧长公式）。 由对称性，曲线 由四段这样的弧组成，∴ 周长为 ，C 正确。 对于 D：直线 过点 ， 而 且 ， ∴ 点 在右侧两段弧所围封闭图形的内部（点与圆的位置关系），直线与右侧两段弧各有一个交点； 又当 时，直线上点 到圆心 的距离的平方为 ，在左侧图形内部， ∴ 直线与左侧两段弧也各有一个交点，共 个交点，D 错误。 故选：ABC。 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2025广州天河外国语期中 5）一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】由反射原理，反射光线的反向延长线过光源关于 轴的对称点，设斜率写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径列方程求斜率。 【详解】解：点 关于 轴的对称点为 ，由光的反射原理，反射光线的反向延长线必过该对称点， 设反射光线所在直线的斜率为 ，则其方程为 ，即 ， ∵ 反射光线与圆 相切，圆心 ，半径为 1， ∴ 圆心到直线的距离等于半径，即 ， 整理得 ，两边平方得 ， 即 ，解得 或 . 故选：D. 2．（6分）（2026巴蜀中学期中 7）已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（　　）条. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线恒过圆内定点 ，弦长随弦心距变化，求出弦长的取值范围，确定整数值并逐一数出对应直线的条数。 【详解】解：将 整理为 ，恒过定点 （分离参数法）。 ∵ ，∴ 点 在圆内（点与圆的位置关系）。 设圆心 到直线 的距离为 ，则 （弦心距不超过定点到圆心的距离）， ∴ 弦长 （垂径定理）。 整数值只能为 和 。 当 时 ，直线过圆心 ，由 得 ，对应 条直线。 当 时 ，解得 。 由 得 ，即 ， 判别式 ，有 个不同实根，对应 条直线。 ∴ 共 条。 故选：B。 3．（6分）（2026东北育才学校期中 5）点 在单位圆上运动，则 点到直线 （ 为任意实数）的距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线系恒过定点 ，圆心到直线的距离在 时最大为 ，再加上半径即得圆上点到直线的距离的最大值。 【详解】解：将直线方程按 整理为 （分离参数法）。 由 解得 ，∴ 直线恒过定点 。 圆心为原点 ，半径 。 圆心到直线 的距离的最大值为 （此时 ）， 而 （两点间距离公式）。 ∴ 圆上点 到直线 的距离的最大值为 。 故选：B。 4．（6分）（2026玉溪一中期中 6）已知圆 ，直线 ，若 与圆 交于 ， 两点，设坐标原点为 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线恒过圆心 ，故 为直径；由 求出 为定值，再用均值不等式放缩求 的最大值。 【详解】解：把 代入直线方程： 恒成立， ∴ 直线 恒过定点 ，而 恰为圆心（直线系过定点）。 ∴ 是圆 的直径，，。 ∴ （向量运算）。 由 得 ， 即 ，∴ （定值）。 ∵ （均值不等式的变形放缩）， 当且仅当 即 时取等号（此时 ，，满足条件）。 ∴ 。 故选：C。 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026大连二十四中期中 10）已知过点 的直线 与圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，则（　　）（多选） A． 的最大值为 4 B． 的最小值为 C．点 到直线 的距离的最大值为 D． 的面积为 3 【答案】ACD 【分析】判定点 在圆内，弦长最值为直径与 ；点 到直线 距离的最大值为 ；由斜率判定 后求三角形面积。 【详解】解：圆 的圆心 ，半径 ， ∵ ，∴ 点 在圆 内部， 过圆内一点的弦中最长的是直径，∴ 的最大值为 ，故 A 正确； 当 时弦 最短， 由垂径定理得 ，故 B 错误； 当 时，点 到直线 的距离取得最大值 ，故 C 正确； ∵ ，，∴ ，即 ， ∴ 的面积为 ，故 D 正确. 故选：ACD. 6．（6分）（2026华中师大一附中期中 10）已知圆 ，直线 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．直线 经过定点 B．圆 上的点到直线 的距离的最大值为 C．若圆 上有且仅有一个点到直线 的距离等于 1，则这样的直线 有 2 条 D．若 ，过直线 上一点作圆 的两条切线，切点分别为 ，，则 的中点到点 的距离的最小值为 【答案】AB 【分析】A 按 整理直线方程，令参数项与常数项同时为零求定点；B 圆上点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加半径；C 由条件得圆心到直线的距离为 3，再由距离公式求 判断条数；D 先求切点弦 所在直线恒过的定点，得中点轨迹圆，再由点与圆的位置关系判断最小值能否取到。 【详解】解：对于 A，将直线 的方程按 整理为 ， 直线过定点与 无关，由 解得 ， ∴ 直线 恒过定点 ，故 A 正确； 对于 B，圆 的圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离的最大值为 （此时 ）， ∴ 圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ，故 B 正确； 对于 C，由圆 上有且仅有一个点到直线 的距离等于 1， 知圆心 到直线 的距离等于 ， 即 ， 两边平方得 ，整理得 ， 解得 ，∴ 满足条件的直线 只有 1 条，故 C 错误； 对于 D，当 时，直线 为 ， 设直线 上一点 ，则 ， ∵ ，，∴ 切点 ， 在以 为直径的圆 上， 该圆与圆 的方程相减，得切点弦 所在直线的方程为 ， 又 ，消去 得 ， 由 解得 ， ∴ 直线 恒过定点 ， 设 的中点为 ，由垂径定理得 ，即 ， ∴ 点 的轨迹是以 为直径的圆（除去点 ），圆心为 ，半径为 ， 设 ，则 ， ∵ 点 恰为该轨迹圆上离 最近的点但取不到， ∴ ，即距离的最小值 取不到，故 D 错误。 故选：AB。 7．（6分）（2026重庆一中期中 9）已知直线 ，圆 ，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．直线 和圆 总有公共点 B．直线 被圆 截得的最短弦长为 C．若圆 与圆 有且只有一条公切线，则实数 D．当 时，圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 【答案】ABD 【分析】A 求直线恒过的定点并判断其在圆内；B 最短弦与过定点的直径垂直；C 一条公切线等价于两圆内切；D 由圆心到直线的距离与 比较判断点的个数。 【详解】解：对于 A：将 整理为 ，由 得定点 （分离参数法）。 ∵ ，∴ 定点 在圆内，∴ 直线与圆总有公共点，A 正确。 对于 B：最短弦与 垂直，此时弦心距 ， 最短弦长为 （垂径定理），B 正确。 对于 C：圆 配方得 （），圆心 ，半径 。 有且只有一条公切线等价于两圆内切，圆心距 。 ∴ ，即 ，解得 ，C 错误。 对于 D：当 时，直线 ，圆心 到它的距离 。 ∵ （点到直线距离介于 与 之间时恰有两点）， ∴ 圆 上恰有两个点到 的距离等于 ，D 正确。 故选：ABD。 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026山东省实验中学期中 12）直线 与圆 交于 ， 两点，则 ______. 【答案】 【分析】圆的方程化为标准方程求圆心与半径，由圆心到直线的距离结合垂径定理求弦长。 【详解】解：圆的方程配方得 ，圆心为 ，半径 （配方法）。 圆心到直线 的距离 （点到直线的距离公式）。 ∴ 由垂径定理得 。 故答案为：。 9．（6分）（2025安岳中学期中 13）已知圆 ， 是 轴上动点， 分别是圆 的切线，切点分别为 两点，则直线 恒过定点 ______. 【答案】 【分析】设 ，由切线的垂直关系用向量数量积写出 满足的公共方程，即切点弦 所在直线，再由直线系求定点。 【详解】解：设 ，切点 ，，圆心 ，半径为 。 ∵ 是切线，∴ ，∴ （切线与半径垂直，数量积等于模的乘积）。 其中 ，。 ∴ ，同理 。 ∴ 点 、 都在直线 上，即切点弦 所在直线的方程为 。 该直线恒过定点 （直线系过定点：令 的系数为 ）。 故答案为：。 10．（6分）（2026东北育才学校期中 13）已知圆 ，直线 ， 为 上的动点. 过点 作圆 的切线 ，，切点为 ，，当 最小时，直线 的方程为 ______. 【答案】 【分析】由切线性质得 四点共圆且 ，把 转化为 ，故 最小时乘积最小；再以求 为直径的圆与圆 的公共弦得直线 。 【详解】解：圆 配方得 ，圆心 ，半径 。 ∵ 是切线，∴ ，， ∴ 四点共圆（以 为直径），且 ，（切线长定理）。 设 与 交于点 。四边形 的对角线 ，且 、，为筝形， 其面积 （对角线互相垂直的四边形面积公式）。 ∴ 。 又 （勾股定理）， ∴ 当 最小，即 时，乘积取得最小值。 此时 的方程为 ，即 ，与 联立得 。 以 为直径的圆的方程为 （直径式圆方程）， 即 。 切点弦 是该圆与圆 的公共弦，两圆方程相减（消去二次项）得 。 故答案为：。 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025广州中学期中 17）已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上. (1) 求圆 的标准方程及过点 的切线方程； (2) 直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求实数 的值. 【答案】(1) ；切线为 或 ；(2) 或 【分析】(1) 由圆心在已知直线上设出圆心坐标，由 求圆心与半径；按切线斜率存在与否分类，由圆心到直线距离等于半径求切线；(2) 由等腰三角形 求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式求 。 【详解】(1) 解：由圆心 在直线 上，设圆心 ， 由 得 ， 两边平方整理得 ，解得 ， ∴ 圆心 ，半径 ， ∴ 圆 的标准方程为 ； 当切线斜率不存在时，过 的直线为 ，圆心到它的距离为 3 等于半径，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ， 由圆心到切线的距离等于半径，得 ，解得 ， 此时切线方程为 . 综上，所求切线方程为 或 . (2) 由 (1) 知圆心 ，半径 ， ∵ 且 ， ∴ 圆心 到直线 的距离 （等腰三角形中的弦心距）， 由点到直线的距离公式得 ， ∴ ，即 ，解得 或 . 12．（15分）（2026大连二十四中期中 19）已知圆 和圆 . (1) 若圆 与圆 相交，求 的取值范围； (2) 若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值； (3) 若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标. 【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 【分析】(1) 化为标准方程得圆心与半径，由两圆相交的充要条件 求 ；(2) 联立直线与圆得韦达定理，将 用 与 表示后解方程；(3) 设 ，由弦长相等得两圆心到直线的距离相等，再由 有无穷多解得方程组恒成立，解出 。 【详解】(1) 解：圆 配方得 ，圆心 ，半径 ， 圆 配方得 ，圆心 ，半径 ， ∴ ， ∵ 圆 与圆 相交，∴ ， 即 ，解得 . (2) 联立 ，消去 得 ， 由直线与圆交于两点，得 ，即 ， 由韦达定理 ，， 设 ，，则 ，， ∴ ， 即 ， 由 ，得 ， 整理得 ，解得 ， ∵ 不满足 ，舍去， ∴ . (3) 设点 的坐标为 ，由 ，可设 ，， 即 ，， ∵ 两圆半径相等且弦长相等，由垂径定理，圆心 到直线 的距离与圆心 到直线 的距离相等， ∴ ， 去分母化简得 或 ， ∵ 过点 存在无穷多对互相垂直的直线满足条件， ∴ 关于 的方程有无穷多解，从而 或 ， 解得 或 ， ∴ 满足条件的点 的坐标为 或 . 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $