期中复习06 椭圆的方程-2023-2024学年高二数学上学期期末专项复习（人教A版2019选择性必修第一册）

期中复习专题07：椭圆的方程原卷版 考点一：椭圆的方程 【知识点梳理】 1、椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的方程 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 【典例例题】 例1.（2022·广东省东莞实验中学）设点A，B的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积为． （1）求的轨迹方程； （2）若点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值． 【变式训练】 1. （2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校）下列与椭圆焦点相同椭圆是（ ） A. B. C. D. 2.（2022·广东省东莞实验中学）6. 若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. （2022·广东省东莞实验中学）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是___. 4. （2022·广东省湛江市第二十一中学期中）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上的一点与两个焦点的距离的和等于4，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. （2022·广东省东莞市光明中学期中）已知椭圆与轴交于点A，B，把线段AB分成6等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，，，，是椭圆C的右焦点，则（ ） A. 20 B. C. 36 D. 30 6.（2022·广东省东莞实验中学）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ） A. B. C. D. 考点二：椭圆的性质 【知识点梳理】 椭圆的性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 【典例例题】 例1.（2022·广东省东莞市光明中学期中）椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于________． 【变式训练】 1.（2022·广东省东莞实验中学）（多选）下列说法中，错误的是（ ） A. 椭圆的离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆 D. 若直线：，：，且，则 2.（2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. 3 B. C. 12 D. 2 3. （2022·广东省江门市广东实验中学附属江门学校）设椭圆C：的左､右焦点分别为，，P是C上的点，，，则C的离心率为___________. 4. （2022·广东省惠州市丰湖高级中学期中）已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 5.（2022·广东省东莞实验中学）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市于春分时节举办了油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的离心率为____________． 6.（2022·广东省东莞实验中学）椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 考点三：直线与椭圆的位置关系 【知识点梳理】 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得