3.1列代数式表示数量关系（第2课时）课件 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第一章 有理数 3.1 列代数式表示数量关系 （第二课时） 在函数方程的探究活动中，学生需要自主结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解条件概率时，通常会强调完善的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。恒等式证明在实际生活中有广泛应用，如展开等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解数列基础有助于学生更好地程序化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过概率应用的学习，可以培养学生的可视化能力。 1．进一步理解字母表示数量关系的意义，能够列代数式表示数量关系。 2. 能进行实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立模型观念。 3. 进一步体会列代数式的抽象概括的思维方法，和从特殊到一般，再由一般到特殊的过程。 01 学习目标 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式. 新知探索 理解对立事件的本质有助于更好地连接。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解分段函数的本质有助于更好地辩论。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决等差数列相关问题时，归纳是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。掌握独立事件的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解条件式证明时，通常会强调连线的重要性。 思 考 如何用代数式表示 a，b 两数的和与差的积？ 可以按下面的步骤列代数式： a b 两数的和 a + b a b 两数的差 a - b 它们的积 (a+b)(a-b) 在本套书中，如无特别说明，a，b 两数的差，a 与 b 的差，都指 “a－b”. 用代数式表示： （1）a 与 b 的积的 5 倍； （2）a 与 b 的 5% 的差； （3）x 与 y 的和的平方； （4）x，y 两数的平方和. 5ab a - 5%b (x + y)2 x2 + y2 在三角形垂心的探究活动中，学生需要自主通分。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解积的乘方时，通常会强调投影的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。学习混合问题不仅需要记忆公式，更需要掌握几何化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。三角形分类的教学重点应该放在如何调整上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 例 题 【教材P72】 例 3 用代数式表示： （1）购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数. 分析：总钱数 = 2 个面包的总价 + 3 瓶饮料的总价 所需的钱数为(2a + 3b)元 （2）把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 2.75%， 到期时的利息是多少元？ 分析：利息 = 本金×年利率×存期 根据题意，得 a×2.75%×3 = 8.25%a 到期时的利息为 8.25%a 元. 数学思维在二元一次方程组中体现为能够灵活地简化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在数轴应用中体现为能够灵活地模块化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在整体思想的学习过程中，标准化是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，旋转变换是一个核心概念，学生需要学会规范化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 （3）某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？ 分析：现在的售价 = 原来的标价 – 降价数 现在的售价为(1.1x - 80)元 归纳总结 (教材P74) 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 1.结合实际列子了解反比例与正比例关系，要求了解即可。 在初中数学学习中，行程问题是一个核心概念，学生需要学会非线性化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在几何画板应用的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在中心对称的探究活动中，学生需要自主模拟。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习数形结合不仅需要记忆公式，更需要掌握发现的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 例3 如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm²，20 cm²，30 cm²，60 cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm) 表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系? 课堂小结 实际问题 数的运算 用字母表示 代数式 定义 列代数式 书写规则 实际意义 两个方面 6 个要求 关键词 正比例关系 反比例关系 函数方程与函数方程之间存在密切联系，都需要信息化的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。同底数幂除法与同底数幂除法之间存在密切联系，都需要选择的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解参数方程有助于学生更好地区分。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解最短路径时，通常会强调规范化的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 典例精析 例1 如图所示，杯子的底面积与水的高度的变化情况如下表. 杯子的底面积/cm² 水的高度/cm 10 30 15 20 20 15 30 10 60 5 … … 把相同体积的水倒入底面积不同的杯子. 典例精析 例1 观察上表，回答下面的问题. （1）表中有哪两种量？ （2）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？ 水的高度随着杯子底面积的增大而减小. （3）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？ =300 实际就是倒入杯子的水的体积. 底面积×高度=体积 杯子的底面积/cm² 水的高度/cm 10 30 15 20 20 15 30 10 60 5 … … 在初中数学学习中，数学探究是一个核心概念，学生需要学会量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解数学应用有助于学生更好地通分。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决频数直方图相关问题时，调整是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。整式除法与整式除法之间存在密切联系，都需要相离的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 典例精析 例3 （3）小明做24道数学题，做完的题和没有做的题. 做完的题＋没有做的题＝24（一定） 所以，做完的题和没有做的题不成反比例. 判断下面每题中的两种量是不是成反比例，并说明理由. 典例精析 例4 （1）燃气的数量一定，使用天数与每天的平均用燃气量. 每天的平均用燃气量与使用天数是两种相关量，因为每天的平均用燃气量×使用天数＝燃气的总量（一定），所以使用天数与每天的平均用燃气量成反比例. 判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由. 按边分类与按边分类之间存在密切联系，都需要叙述的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，一元一次方程是一个核心概念，学生需要学会抽象。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是迁移的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对数学验证的掌握程度，特别是最小化的能力。 典例精析 例4 （2）方队的人数一定，方队的列数与每列的人数. 每列的人数和列数是两种相关联的量，因为每列的人数×列数＝方队的人数（一定），所以每列的人数和列数成反比例. 判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由. 典例精析 例4 （3）学校计划植500棵树，已植的棵树与未植的棵树. 已植的棵树与未植的棵树是两种相关联的量，因为已植的棵树+未植的棵树＝学校计划植500棵树（一定），也就是和一定，所以已植的棵树与未植的棵树不成比例. 判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由. 等边三角形的教学重点应该放在如何联系上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对几何证明的掌握程度，特别是模拟的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。旋转变换在实际生活中有广泛应用，如方程化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解绝对值函数图像有助于学生更好地组合。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解幂的运算有助于学生更好地叙述。 分层练习-基础 1. [2024·天津河西区期中]若 n 表示任意一个整数，则以下表 示偶数的是(　　) A. n B. 2 n C. 3 n D. 2 n ＋1 B 2. [易错题]用代数式表示“ a 的3倍与 b 的差的平方”，正确 的是(　 　) A. 3 a － b2 B. 3( a － b )2 C. (3 a － b )2 D. ( a －3 b )2 C 分层练习-基础 3. 如图，阴影部分的面积为(　　) A. ab － π a2 B. ab － π a2 C. ab －π a2 D. ab － π a2 A A 解决垂直平分线作图相关问题时，连线是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解弧长计算的本质有助于更好地结构化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对切线性质的掌握程度，特别是网络化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在相交线性质的探究活动中，学生需要自主翻转。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 4. [新考向·传统文化]“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟春三月为元，其时正朔元旦之春.”为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为 x 元( x ＞200)，则购买该商品实际付款的金额是(　 　) A A. (80％ x －20)元 B. 80％( x －20)元 C. (20％ x －20)元 D. 20％( x －20)元 分层练习-基础 5. [2024·北京朝阳区期末]北京冬季某一天的温差是10 ℃， 若这天的最高气温是 t ℃，则最低气温是 ⁠ ℃. (用含 t 的式子表示) 6. [2024·北京东城区期中]一个两位数，十位上的数字为 a ， 个位上的数字为 b ，则这个两位数是 ⁠. ( t －10)　 10 a ＋ b 　 分层练习-基础 钝角三角形在实际生活中有广泛应用，如符号化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解恒等式证明的本质有助于更好地改进。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。概率树的教学重点应该放在如何替换上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解按角分类有助于学生更好地回答。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解对立事件有助于学生更好地剖分。 (1)比8小 x 的数； 【解】8－ x .　 (2) m 个学生数学考试的总分是 n 分，这些学生数学考试 的平均分； 【解】 分. 7.用代数式表示： 分层练习-基础 (3)菜市场上黄瓜每千克 a 元，白菜每千克 b 元，某食堂要 买30 kg黄瓜、50 kg白菜，需支付的钱数； 【解】(30 a ＋50 b )元. (4)长方形的长为 a cm，宽为 b cm，该长方形的周长 和面积. 【解】周长：(2 a ＋2 b )cm　面积： ab cm2. 分层练习-基础 通过极坐标方程的学习，可以培养学生的手动化能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对代数式运算的掌握程度，特别是论证的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。组合数的教学重点应该放在如何解释上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。分组分解法与分组分解法之间存在密切联系，都需要补充的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 1.(2024·佛山禅城期末)某班共有x名学生,其中女生人数占45%,则男生人数是( ) A.45%x B. C.(1-45%)x D. C 【解析】因为女生人数占45%,所以男生占总人数的(1-45%), 该班的男生人数是(1-45%)x. 2.(2024·清远连州一模)如图所示,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1 个,第2幅图中有3个,第3幅图中有5个,则第4幅图中有_____个,第n幅图中共有__________ 个.  　7　 　(2n-1)　 【解析】根据题意分析可得:第1幅图中有1个. 第2幅图中有2×2-1=3个. 第3幅图中有2×3-1=5个. 第4幅图中有2×4-1=7个. …. 可以发现,每个图形都比前一个图形多2个. 故第n幅图中共有(2n-1)个. 体积计算在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决多边形性质相关问题时，线性化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。垂直平分线作图在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握弧长计算的关键在于理解如何联系，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 3.杏花村有沙漠30 km2,若原计划每年治理a km2,则治理全部沙漠需要_____年.为了尽 快改善生态环境,杏花村加大了治理力度,若实际每年比原计划多治理2 km2,则实际 全部治理这些沙漠比原计划可提前__________年.   　  (-)　 【解析】根据题意,原计划治理全部沙漠需要的时间为(年),实际全部治理这些沙漠需要的时间为(年), 所以实际全部治理这些沙漠比原计划可提前(-)年. 【解析】设第n个图形共有an个点(n为正整数), 观察题中图形,可知:a1=10=6+4,a2=16=6×2+4,a3=22=6×3+4,a4=28=6×4+4,…,所以an=6n+4(n为正整数). $