精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2026-2027学年高二上学期10月统一练习数学试题

2026年秋学期金坛一中高二数学10月统一练习 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（     ） A. 相交且相交弦长为 B. 相交且相交弦长为 C. 相切 D. 相离 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 11. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 13. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________. 四、解答题（共77分） 15. 在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点、的坐标； （3）求的面积. 16. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 17. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为． （1）当切线的长度为时，求点的坐标； （2）若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． 19. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期金坛一中高二数学10月统一练习 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得， 所以， 因为，所以即. 2. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 3. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 4. 直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（     ） A. 相交且相交弦长为 B. 相交且相交弦长为 C. 相切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 5. 已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设右焦点为F′，连接PF′，根据已知可推得PF⊥PF′，根据勾股定理可求得，根据椭圆的定义可求得，从而可得答案. 【详解】由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′， 由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′， ∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′， 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49， 于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为， 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了由求椭圆的标准方程.属于基础题. 7. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 8. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线与圆相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最短弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 11. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 13. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分椭圆的焦点在轴或轴上，再结合椭圆的性质及离心率的定义计算可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，由焦距，得， 根据椭圆关系，有，解得， 所以​，离心率. 当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，同理由焦距，得， 由得，解得， 所以，离心率​. 综上，椭圆的离心率为​​或. 14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围； 【详解】设点，由， 根据距离公式得， 两边平方并整理得，即 因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点， 故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足， 计算圆心距，代入得， 解得，所以半径的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在中顶点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点、的坐标； （3）求的面积. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直和经过的点坐标求出直线的方程. （2）联立两直线方程即可求得交点坐标. （3）根据点到直线的距离公式和三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题可设直线的方程为， 把点代入可得，解得. 直线的方程为. 【小问2详解】 设，则，，联立解得，.. 设，则，，联立解得，. . 【小问3详解】 是的中点，，到的距离， 又点到的距离，. 16. 已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出经过切点的圆的半径所在直线方程，再与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）由（1）中信息，求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否分类求出直线方程. 【小问1详解】 圆C与直线相切于点，则直线的斜率为， 直线的方程为，即， 解方程组，得，则圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线被圆C所截得的弦长为8，得圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离为3，则直线的方程可以为，此时直线的斜率不存在,； 当直线斜率存在时，设，由，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 17. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 18. 已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点为． （1）当切线的长度为时，求点的坐标； （2）若的外接圆为圆，试问：当在直线上运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或 （2）圆过定点，． 【解析】 【分析】（1）首先根据圆的方程求解圆心坐标及其半径，然后根据题意设，最后根据勾股定理求解参数，进而求解点的坐标； （2）设，根据，可得：经过三点的圆以为直径，进而求解其方程，最后整理化简方程并求解其所过定点坐标即可. 【小问1详解】 由题意知，圆的半径，，设， 是圆的一条切线，， ，解得，， 或． 【小问2详解】 设，，经过三点的圆以为直径， 其方程为， 即， 由，解得或， ∴圆过定点，． 19. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $