精品解析：四川省南充市白塔中学2026-2027学年九年级上学期数学“摘星之旅”挑战赛

初2024级2026年（下）数学“摘星之旅”挑战赛 （全卷满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（　　） A. 1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和﹣2 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 5. 神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标为 7. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 10. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 11. 抛物线与轴公共点个数为__________． 12. 抛物线的顶点坐标为________． 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是________． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程． （1）； （2）． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 16. 综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 17. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 18. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． B卷 （共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 20. 如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为______． 21. 已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为________． 22. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是______（填序号） 23. 若二次函数在时的最小值为6，那么m的值是______． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）的“”点是________； （2）若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 25. 在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 12 13 14 15 16 日销售量y（千克） 1000 900 800 700 600 （1）求y关于x的函数表达式． （2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%） 26. 已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级2026年（下）数学“摘星之旅”挑战赛 （全卷满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（　　） A. 1 B. 2 C. 1和2 D. ﹣1和﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 即， 故选：D． 4. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. 36 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根 ∴ 解得 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5. 神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，10月份该网站的浏览量为100万人次，第四季度总浏览量为600万人次，如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确第四季度包含3个月，总浏览量为三个月浏览量之和． 【详解】解：10月份浏览量为100万人次，11月份浏览量为万人次，12月份浏览量为万人次， ∵第四季度总浏览量为600万人次， ∴列方程为． 6. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴有两个交点 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合根的判别式逐一判断各选项． 【详解】解：． ∵， ∴抛物线开口向上，A错误． ∵抛物线顶点式为， ∴对称轴为直线，B错误． 顶点坐标为，D正确． 当时，， ∴抛物线与轴无交点，C错误． 7. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 8. 如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 点的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意； C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意； D、根据可知，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 10. 设，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得，， ∴ ． 11. 抛物线与轴公共点个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、一元二次方程根的判别式．抛物线与轴的交点对应的纵坐标为，所以抛物线与轴相交时可得一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式可知方程有两个相等的实数根，所以抛物线与轴只有一个交点． 【详解】解：把代入， 可得：， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有个交点． 故答案为： ． 12. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键是将a，b，c的值代入二次函数顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：抛物线 中，，，，顶点横坐标 ，代入解析式得 ，所以顶点坐标为 ， 故答案为：． 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据对称轴公式求出m的值，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用十字相乘法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 16. 综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 （1）确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【答案】（1）直角坐标系见详解， （2）， 【解析】 【分析】（1）以拱顶为原点建立平面直角坐标系，这样抛物线的顶点就是，已知水面宽，拱顶离水面，那么抛物线过点，据此求解即可； （2）分析安全条件，该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，分析悬挂点的纵坐标需满足的条件即可． 【小问1详解】 解：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：，把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：． 17. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， 抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 18. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，利用分割法表示出的面积，利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. B卷 （共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 20. 如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，过作轴于点，则，由题意可知，所以，则，从而求得，然后代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， 由题意可知， ∴， ∴， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上坐标点的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质． 根据题干条件可以得到关于两点横坐标的关系式，进行求解即可． 【详解】解：点,都在二次函数上， ， 即 解得 故答案为： ． 22. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是______（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识．利用图象信息以及二次函数的性一一判断即可． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，故②错误； ∵抛物与x轴的交点在原点与之间，对称轴为直线， ∴抛物与x轴的另一个交点在原点与的左边， 当时，， ∴，故③正确； ∵当时，，当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，是函数的最大值， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤ 23. 若二次函数在时的最小值为6，那么m的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，则有该二次函数的最小值为4，然后由题意可分当m＜0时，则有y随x的增大而减小，当m＞1时，则y随x的增大而增大，进而根据函数的性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线， ∴当x=1时，二次函数有最小值，最小值为， ∵二次函数在时的最小值为6， 然后可分①当m+1＜1时，即m＜0，则有y随x的增大而减小， ∴当x=m+1时，函数有最小值，即为， 解得：（正根舍去）， ②当m＞1时，则y随x的增大而增大， ∴当x=m时，函数有最小值，即为， 解得：（负根舍去）， ∴综上所示：m的值是或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）的“”点是________； （2）若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求出方程的根，根据新定义即可得出结果； （2）根据根与系数的关系进行求解即可； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 25. 在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 12 13 14 15 16 日销售量y（千克） 1000 900 800 700 600 （1）求y关于x的函数表达式． （2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于50%，该平台应如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润w最大？（利润=售价－成本，利润率=利润÷成本×100%） 【答案】（1）y关于x的函数表达式为；（2）当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大． 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数表达式为，然后由表格任取两个数据代入求解即可； （2）由（1）及题意易得，然后根据“规定这种农产品利润率不得高于50%”及二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：（1）设y关于x的函数表达式为，则把和代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）由（1）及题意得： ， ∴-100＜0，开口向下，对称轴为直线， ∵这种农产品利润率不得高于50%， ∴， 解得：， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值； 答：当销售价格为15元时，才能使日销售利润最大． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用，解题的关键是得到销售量与销售价格的函数关系式． 26. 已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)． （1）求抛物线L1的函数表达式． （2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． （3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）的值为4 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入即可解得抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线，顶点为，关于原点的对称点为，代入可解得的值为4； （3）把抛物线向右平移个单位得抛物线为，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线上，当y1＞y2时，可得，即可解得的取值范围是． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得， ； 答：抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的顶点为， 将抛物线向上平移个单位得到抛物线，则抛物线的顶点为， 而关于原点的对称点为， 把代入得： ， 解得， 答：的值为4； 【小问3详解】 解：把抛物线向右平移个单位得到抛物线，抛物线解析式为， 点，都在抛物线上， ， ， y1＞y2， ， 整理变形得：， ， 解得， 的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $