精品解析：四川达川中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

达川中学2026年秋季第一次学月考试九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） A 卷（100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程有（ ） ①x2=0；② ax2+bx+c=0；③ x2－3=x；④ a2+a－x=0 ； ⑤（m－1）x2+4x+=0；⑥ ；⑦ =2；⑧（x+1）2=x2－9 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】①x²=0;③x²−3=x是关于x的一元二次方程，共2个，故选A. 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 6. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】先利用中位线定理得、，由两组对边分别平行证四边形是平行四边形，再证，可得四边形是矩形，由四边形的面积得，结合、即可求四边形的面积． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为边，，和的中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据，和菱形对角线的性质可求长，进而求出菱形面积，再用等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，证明，得出，然后利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由翻折的性质得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 假设，则， 由勾股定理得， 即 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． 二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的解是___________． 【答案】0或1 【解析】 【详解】解： 或 ∴，． ∴方程的解是0或1. 10. 已知四条线段、、、是成比例线段，且，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例的性质，列方程求解即可．根据成比例线段的定义，得到比例关系，代入已知值求解． 【详解】解：四条线段、、、成比例线段， ，即 ． 解得 ． 故答案为： 11. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人． 【答案】12 【解析】 【分析】设群内总人数为，根据抢红包规则得到总收到红包数的表达式，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解即可得到结果. 【详解】解：设该群一共有人， 根据规则，每人发1个红包，且自己不能抢自己发的红包，因此总收到红包数为， 依题意，得： 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数为正整数， ∴舍去负根， ∴该群一共有人. 12. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．根据题意得出代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正方形的对角线，交于点O，平分交于点E，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过E作于M，先根据正方形的性质得到，，，由勾股定理求得，再根据角平分线的性质定理得到，然后证明得到，则，根据等角对等边得到，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：过E作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三.解答题（共5个小题，共48分） 14. 用指定方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（十字相乘法）； （4）（十字相乘法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得，则 配方，得 即 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为 这里，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：原方程可化为 ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解：原方程可化为 ∴或 ∴，． 15. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； （2）已知实数a，b满足，试求的值； （3）请利用以上知识解方程：． 【答案】（1）换元，转化 （2）5 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）设，则原方程可化为，再解方程即可； （3） 设，则原方程化为，再解方程即可． 【小问1详解】 解：利用了换元法，体现了转化思想． 【小问2详解】 解：设，则原方程可化为， ∴， ∴，． ∵， ∴的值为5． 【小问3详解】 解：设，则原方程化为 ∴ ∴，， 当时，， ∴． ∴； 当时，， ∴， ∴． 16. 某汽车销售公司2月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率； （2）若该型汽车每辆的盈利为2万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利14万元，每辆车需降价多少？ 【答案】（1）该公司销售该型汽车3月份和4月份的平均增长率为50%．（2）每辆车需降价10000元． 【解析】 【分析】（1）设该公司销售该型汽车3月份和4月份的平均增长率为x．等量关系为：2月份的销售量×（1+增长率）2=4月份的销售量，把相关数值代入求解即可． （2）设每辆车需降价y元，根据该型汽车每辆的盈利为2万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利14万元，可列方程求解． 【详解】解：（1）设该公司销售该型汽车3月份和4月份的平均增长率为x， 根据题意列方程：20（1+x）2＝45， 解得x1＝﹣250%（不合题意，舍去），x2＝50%． 答：该公司销售该型汽车3月份和4月份的平均增长率为50%． （2）设每辆车需降价y元， 据题意得：（20000﹣y）（10+2× ）＝140000， 解得y1＝10000，y2＝﹣15000（舍去）． 因题意要尽快减少库存，所以x取10000． 答：每辆车需降价10000元． 【点睛】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 17. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，连接，，如果．求证：． 【答案】（1）①证明：如图所示，延长交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② （2）证明：如图所示，延长交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，证明，即可． 【小问1详解】 ①略 ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 B卷（共50分） 一.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果． 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为18， ． 为的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形是正方形， ，O为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，利用三角形中位线定理求出及的长，再通过两组相似三角形和分别求出和的长，最后相加即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 在矩形中，，， 为中点， ， 在中，， 为中点，， 为的中位线， ， ∵，， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，为等边三角形，，点是边上的一个动点，过点作于点，将沿翻折得到，再将沿翻折得到．当点恰好落在的对称轴上时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，结合等边三角形的判定与性质，利用翻折变换的性质及含角的直角三角形性质，表示出、的长及、、的度数，再对点落在等边三角形三条不同对称轴上分类讨论：①点落在的垂直平分线上，利用长列方程求解；②点落在的垂直平分线上时，证明点与中点重合；③点落在的垂直平分线上，推导得出角度矛盾，此情况不存在． 【详解】解：设， 为等边三角形， ，， 由第一次翻折可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴，，， 由第二次翻折可知，，，，， ∴， ∵为等边三角形，有三条对称轴，为各边垂直平分线， ∴当点恰好落在的对称轴上时，分三种情况讨论： ①当点在边的垂直平分线上时， 如图，过点作于点，由题意，点在上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即； ②当点在边的垂直平分线上时， 如图，过点作于点，由题意，点在上， ∴， ∵， ∴， 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，因此点和点重合， ∴； ③当点在边的垂直平分线上时， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴垂直平分， 若点在边上，则， 又∵， ∴， 这与相矛盾，故此情况不存在； 综上，线段的长为或． 23. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且满足，连接，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得且∠，证明△，得出结论，从而可得求的最小值，即求的最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且∠ ∴∠， 连接，如图， ∵ ∴ ∴且∠ ∴△ ∴ ∴ ∴ ∴求的最小值，即求的最小值， ∴作B关于AD的对称点，连接，交AD于M，此时与的交点为点E，这时最小 ∴的最小值 ∵∠ ∴∠，∠ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值 即的最小值 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短． 二.解答题（共3个小题，共30分） 24. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 【答案】（1）6 （2）17 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根，②当7为腰长时，设，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，且，， ， ∴ ， ∴， ∴， 或 ， ， 舍去． . 【小问2详解】 解：①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根． ∴， 解得：， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∵， ∴此时三角形不存在； ②当7为腰长时，设． 将代入方程， 得， ∴， 解得：或， 当时，方程变为， 解得或， ∵， ∴此时三角形不存在； 当时，方程变为， 解得：或， ∴的周长为17， 综上，的周长为17． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； （3）直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）把代入确定a值，再代入确定直线的解析式； （2）分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，设点，则点，根据旋转证明，可求得点，即有点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，再利用二次函数的性质即可求得其最小值； （3）分为边、为对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足为G、H，如图， ∵直线的表达式为：， ∴设点，则点， ∵绕点B逆时针旋转度得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴点， ∴，， 故点， 令， ∴． ，当时，， 故最小值为． 【小问3详解】 ∵直线，直线上有任意一点F， ∴设点F的坐标为， ∵点，点， ∴， ∵点，点， ∴， 当点F与点M重合时，为菱形的一边时， 点M沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点M平移后的点都是符合题意的， ∵点， ∴； 当点F在的左侧，为菱形的一边时， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∵点F的坐标为，， ∴， 解得， 故点或， 点F沿着平移5个单位长度，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 得到点N平移后的点都是符合题意的， ∴或， 当是菱形的对角线时， 设与的交点为G，则， ∵轴， ∴， ∴，， 解得， ∴， 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的运用，涉及到待定系数法求解析式、一次函数的性质、三角形全等、二次函数的最值、菱形的判定和性质、平移思想和分类思想，熟练掌握待定系数法、菱形的判定和性质和平移是解题的关键． 26. 按要求完成下列各题： （1）问题背景：如图1，已知，求证：； （2）尝试应用：如图2，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，试证明，并求出的值． （3）拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，则，可证得结论； （2）①根据即可求解； ②证明，再证，转化得到角相等，可证明，结合含直角三角形边长关系，传递相似比例，算出线段比值． （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， 构造含的直角，使它与相似；再利用角的等量代换证明，由相似比例求出；利用角度相加证明，勾股定理求，再利用含直角三角形性质求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：略； ∵， ， 在中， ，，即， ， ∵， ∴， 【小问3详解】 解：如图3，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ∵且， ∴， ， ， 在中，， ，，即． ，， 在中，，． ． 又， ， ∴， 又， ， 即， ∵得， ， ． 已知，代入： ，解得． 由，得． 中，，， ． 又， ， 是直角三角形，． ，， ． 又中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达川中学2026年秋季第一次学月考试九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） A 卷（100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程有（ ） ①x2=0；② ax2+bx+c=0；③ x2－3=x；④ a2+a－x=0 ； ⑤（m－1）x2+4x+=0；⑥ ；⑦ =2；⑧（x+1）2=x2－9 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若四边形的面积为，则四边形的面积等于（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 7. 如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，且，于点E，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 2 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 方程的解是___________． 10. 已知四条线段、、、是成比例线段，且，，，则___________． 11. 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包．若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人． 12. 已知、是方程的两个实数根，则的值是______． 13. 如图，正方形的对角线，交于点O，平分交于点E，若，则的长为_______． 三.解答题（共5个小题，共48分） 14. 用指定方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（十字相乘法）； （4）（十字相乘法）． 15. 阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的根为，，，． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了_______的数学思想； （2）已知实数a，b满足，试求的值； （3）请利用以上知识解方程：． 16. 某汽车销售公司2月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率； （2）若该型汽车每辆的盈利为2万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利14万元，每辆车需降价多少？ 17. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 18. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，连接，，如果．求证：． B卷（共50分） 一.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则＝______． 20. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为的中点，若的周长为18，则的长为____________． 21. 如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 22. 如图，为等边三角形，，点是边上的一个动点，过点作于点，将沿翻折得到，再将沿翻折得到．当点恰好落在的对称轴上时，线段的长为______． 23. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且满足，连接，，则的最小值是__________． 二.解答题（共3个小题，共30分） 24. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的长，求的周长． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； （3）直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 按要求完成下列各题： （1）问题背景：如图1，已知，求证：； （2）尝试应用：如图2，在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，试证明，并求出的值． （3）拓展创新：如图3，D是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $