广东省深圳实验学校高中园2026-2027学年度高二第一学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷参考答案及评分标准 一、 选择题（单选题5分，多选题6分，共58分） 题号 4 5 7 8 9 10 11 答案 B B B C ACD BCD ACD 二、填空题（每题5分，共15分) 12. 3 13. 3x-2y=0或x+y-5=0 20 14 3 答案解析 4.【解析】解：①若a.b=·元=0，则只能说明a1b,b1c,不能说明=c,故错误； ②若三个向量(，，两两共面，假设这三个向量分别是空间直角坐标系x轴，y轴和z轴上的三个向量，则向量(，万，元 不共面，故②错误： ③若a,,为空间的一个基底，则+=-(a-可+￠+，故a-万，石+，c+不能构成空间的另一基底， 故③错误； ④设a=(x1y1),石=(x2,y2,元=(x3,3),所以d·而·=(x12+y1y2)x号+y号≠、 x好+y x好+妇： √号+喔故@错误 5.【解析】解：因为CD=C0+0D=20C-x0A-y0B,所以0D=30元-x0A-y0B, 因为A,B,C,D四点共面，所以3-x-y=1,即x+y=2,因为x>0,y>0, 所以呢+号0+02+的)=4+是+护)≥4+2×3=2+3， 当且仅当=多即x=3-V3,y=V3-1时取等. 6.两点间距离转化为点线距 7.【解析】解：因为平面的方程为3x-5y+z-7=0,故其法向量为i=(3,-5,1), 因为直线的方程为=兰=导子故其方向向量为m=(3,2-1), 故直线与平面a所成角的正弦值为as优网1-周--=需 &【解析】由题意知FE=FA+AA+E,所以FE2=(F+AA+rE}', 展开得FE=F+AA+AE2+2FA.AA+2FAAE+2AM.AE, 异面直线a,b所成角为60°，代入得23=9+AA+4+0±2×2×3cos60°+0， 所以AA=4或AA=2, 11.【解析】解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设CP=a(0≤a≤2)， 则P(a,2,0),E(2,1,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2), 所以AC1=(-2,2,2),D1P=(a,2,-2), D1P.ACi=-2a+4-4=-2a, 当a=0时，即P点与C点重合时，D1P1AC1,故A正确； 因为PE=D1E, 所以√(a-2)2+12+22=√22+12+02，解得a=2, 此时P点与B点重合，故B错误： 因为g-PG=V,-c1D,e=×2SacD,e=×2××2×2=钓定值，故C正确： 又因为D1E=(2,1,0),D1P=(a,2,-2), 设平面D1EP的法向量=（化y2,由P:正·元=2x+y=0 “(D1P.i=ax+2y-2z=0 令x=1,则y=-2,2=-2,所以元=(1，-2，-2)， 又因为平面D1EC1的一个法向量为=(0,0,2)， 所以cos<,>1=a- 12-引 1 2×J5+写22V5+(22 1+ 5 又因为0≤a≤2，所以cos<元店>1∈[誓， 14.【解析】：将几何体补成正方体0HLl-01H1L1l1, 以点0为坐标原点，0H,O1,O01所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的 空间直角坐标系.A(1,0,0),B(2,1,0),E(2,0,1),F(2,2,1), 该二十四等边体是在正方体0HLI-01H1L1l1上截去8个全等的三棱锥 而成，且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1， 故该二十四等边体的体积V=23-8××1××12-”, 1 易知平面EBFN的一个法向量为7=(1,0,0)，P(1,2,2),N(2,1,2),所以P示= H (1,-1,0) 所以os<元，网>高织-这行-号故PN与平面EBFN所成角的正切值为1 15.【答案】解：(1)因为直线L1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,l1/l2时， 则号=四≠子解得m=2。此时直线，的方程为2x+3y+1=0,所以两条直线间的距离d=-3, √22+32 13: (2)当m=1时，则直线l2的方程为：x+y+1=0, 联化件，1.0，解得x一5y=4即两条有线的交点P的标为(5利 又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0,设所求的直线方程为2x+y+Q=0, 将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0,解得a=6.所以直线的方程为2x+y+6=0. 16.【答案】(1)在直三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面AB,C,且AC⊥AB,则AC⊥AB 以点A为坐标原点，AA、AB,、AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则42a0、B220.ca2y4aao.8a20叭、GQ0.2、p010、BLao叭、F则 F=2 易知平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0),则EFm=0,故EF⊥m, :EF丈平面ABC,故EF∥平面ABC (2)解：CC=(2,0,0),CD=(0,1,-2),EB=(1,2,0), iCC=2x=0 设平面CCD的法向量为i=(x,y,z),则 B i.CD=y-2z1=01 取片=2，可得i=(0,21）,c0s(EB,=Bi-4 E.团5·因此，直线BE与平面CCD夹角的正弦值为 (3)解：AC=(2,0,2),AD=(0,1,0), 设平面4CD的法向量为=(6，，2)，则4C=2%+2=0。 ·AD=2=0 政6l.可得=0-小，则o似列=g s、v0 同√5xV2=-10, 因此，平面4CD与平面CCD夹角的余弦值为10 10 17.【答案】(1)证明：PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,·.PA L BC, 由∠ACB=90°，知BC⊥AC, 又PA∩AC=A,PA、ACC平面PAC,·.BC⊥平面PAC. (2)解：设AP=(>0),取CD的中点E,连接AE,则AE1CD, A 声y B AB/CD,AE⊥AB, 又PA⊥底面ABCD,AE、ABC平面ABCD,·PA⊥AE,PA⊥AB, 故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A00,0),P00,)c(5,0,D(5，-0),B(0,20), ∴4P-=(00,)4C=(受0)P元=(5，-)P历=(9--)c=(9,-0) (i,AP=五z=0 设平面PAC的法向量为元=(x,y,z),则 元Ac=5x+y=0 2 取x=,则y=-V3,z=0,…i=(6,-√3,0)， 设平面PAC的法向量为=(a,b,c),则 元元-9a+b-Ac=0 mP历=9a-b-c=0 取a=方，则b=0,c=m=(a,0), 二面角D-PC-A的余弦值为5，“cos<元，元>1=m=2 厂同同262+ =5,解得=√3， Pc=(55-V③：P=00,V3) 设平面PBC的法向量为元=(x1,y1,z1), a:元-9x1+1-V32,=0 (立·BC=5x 3 2x1-2y1=0 取21=2，则x1=3,y1=V3,“元=6，√3,2)，点A到平面PBC的距离为=25 1 V9开 2 18.【答案】(1)a3; (2)(1)以C为坐标原点，CO,CB,CC'为x,y,3轴建立空间直角坐 标系，如图： AE=BF=m,则A(a,a,a),F(0,a-m,0),C(0,0,a), E(a-m,a,0), ∴AF=(-a,-m,-a）,CE=(a-m,a,-a), 由AF.C"E=-a2+am-m+a2=0,.A'F⊥CE 2))Va二3S·BB,若三校锥B-BEF的体积取得最 大值，则S照F取得最大值， SsF-号amm 1 a-m+m d 22 B 当且仅当a-m=m时，即m=C时取等号， 2 即E,F分别是棱AB,BC上中点， 过B作BG⊥EF,连接BG,由三垂线定理可得出∠B'GB为平面BEF与平面BEF的夹角， BB=a,G=B0=5a,所以n∠BGB=BB-2N2 4 4 BG 19.【答案】解：(1)~l1、2是一组“0-3共轭线对”，且知直线L1:y=2x, k,k2=-3,k,=2,k2=-子直线2过原点，直线2的方程y=-x (2)设直线PR,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3, 直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直线RP、RQ是“Rg共轭线对”， k1k2=1 kk3=4,得k1=k2=,k3=6(负值舍去)， (k3k1=9 当k1=3k2=子，k3=6时， 直线PR的方程为y=(x-1),直线PQ的方程为y=子x+1,联立得P(3,3): 故所求为P3,3): 3)设1：y+V2=k(x+1),l2:y+V2=是(x+1),其中k≠0， 故dd2--.回 =√2 1k2-2 V1+k2 √k2+1)k2+4 a4+4=√2：1 =V2·+52+4 9k2 k4+5k2+4 =V2, 1、9 k2++5 由于k2+是+5≥9（等号成立的条件是k2=2), 故1-5e101dd,eoV,深圳实验学校高中园2026-2027学年度第一学期第一阶段考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：张树军审题人：龙潇 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知直线mx+y+3=0与x-2y+8=0平行，则实数m的值为() A.2 B.-2 c D-黄 2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等 分点，设AB=元，AC=万，AA=元，则用元，五，表示WM为() A拉+五-c B.五+五+正 c.a-五-c D.-a-3+c 3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AD=1,AA1=1, D ∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则线段AC1的长为() A.5 B.3 A C.√5 D.3 4.在以下4个命题中，正确的命题的个数为() ①若a:b=b,则a=; ②若三个向量元，，c两两共面，则向量d,,c共面； ③若a,五，为空间的一个基底，则d-五，b+c,c+构成空间的另一基底： ④a.b·=ab·. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足CD=2OC-xOA-y0B,且x>0, y>0,则+的最小值为() A1+号 B.2+V3 C.4+V3 D.4+23 3 6.己知点A(2,1),点B为两条直线y=kx-2k+1与x+y-1=0交点，则|AB|的最小值为() A.1 B.2 C.V3 D.2 7.空间直角坐标系0-xyz中，经过点P(xo,yo,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x-xo)+ B(y-y0)+C(z-zo)=0,经过点P(xo,yo,zo)且一个方向向量为元=(4，)，ω)(ww≠0)的直线的方程 高二数学试卷第1页（共4页） 为二=一0=二0，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为3x一5y+z-7=0, 经过(0,0,0)的直线的方程为号=名=吾则直线与平面α所成角的正弦值为() A细 B需 c D.9 8.如图，两条异面直线α，b所成角为60°，在直线a,b上分别取点A,E A 和点A,F,使AA⊥a且AA⊥b.已知AE=2,AF=3,EF=√23.则线 段AA的长为() A.2或√10 B.4 C.2或4 D.4或√10 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是() A.如果A·C<0,B·C>0,则直线Ax+By+C=0不通过第二象限 B.向量=(2，-3)是直线2x+3y+4=0的一个方向向量 C.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则两平行线间的距离是号 D.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充分不必要条件 10.下列四个命题中真命题有() A.任意一条直线都有倾斜角和斜率 B.直线6x+my+4m-12=0(m∈R)必过定点 C.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1) D.直线2x-y-1=0与直线x-2y+4=0关于直线x-y+1=0对称 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，P D 为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是() 9 A.存在点P,使D1PIAC1 A E B B.不存在点P,使PE=D1E D C.四面体EPC1D1的体积为定值 ⊙ D.二面角P-D1B-C:的余弦值的取值范围是[，引 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线的方向向量元=(2,2v3),则直线的倾斜角为 高二数学试卷第2页（共4页) 13.求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方 0 程 N 14.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多 边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半 正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方 形构成（如图所示）若它的所有棱长都为2，则该二十四等边体的体 积为：PN与平面EBFN所成角的正切值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知直线l1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,其中m为实数. (1)当l1/儿2时，求直线l1,l2之间的距离： (2)当m=1时，求过直线l1,l2的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程 16.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥AB,点D、E、F分别为AB,AA,CD的中点， AB=AC=AA=2. (1)求证：EF∥平面ABC; (2)求直线BE与平面CCD所成角的正弦值： (3)求平面ACD与平面CCD夹角的余弦值. 17.(本小题15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD,AB/CD,AD=CD=1,∠BAD=120°，∠ACB=90°. (1)求证：BC1平面PAC: (2②若二面角D-PC-A的余弦值为号，求点A到平面PBC的距离 B 高二数学试卷第3页（共4页) 18.(本小题17分) 如图，在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E,F分别是棱AB,BC上的动点， (1)若EFAC,当E从A运动到B,求A'C'FE截面扫过的几何体的体积： (2)若AE=BF=m,则 (i)求证：AF⊥CE; (11)当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求平面B'EF与平面BEF的夹角正切值. B 19.(本小题17分) 已知点P和非零实数，若两条不同的直线L1、L2均过点P,且斜率之积为，则称直线L1、l2是一组“P共 轭线对”，如直线1：y=2x和2：y=-x是一组“0-1共轭线对”，其中0是坐标原点. (1)已知l1、l2是一组“0-3共轭线对”，且知直线l1:y=2x,求直线l2的方程： (2)如图，已知点A(O,1)、点B(-1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ、QR、RP上的点(A、 B、C与P、Q、R均不重合)，且直线PR、PQ是“P1共轭线对”，直线QP、QR是“Q4共轭线对”，直 线RP、RQ是“Rg共轭线对”，求点P的坐标： (3)已知点Q(-1,-V②，直线L1、2是“Q-2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点0到直线l1、2 的距离之积的取值范围. 高二数学试卷第4页（共4页）