期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （浙教版九年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：含参数二次函数图像性质分类讨论综合题 2 题型2：抛物线上动点线段、面积最值探究压轴题 4 题型3：二次函数背景下等腰、直角三角形存在性探究题 6 题型4：复杂试验、方案设计类概率综合解答题 8 题型5：圆中动点、动线线段长度、角度动态探究题 11 题型6：圆周角多解、圆内接四边形分类讨论压轴题 12 题型7：圆中线段最值综合探究题 15 题型8：二次函数与圆结合多问综合压轴大题 16 题型9：抛物线上动点与圆联动线段、面积探究压轴题 19 题型10：坐标平面内函数+圆的几何存在性探究压轴题 22 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质单章难点以及多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标浙教版九上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题、动态几何问题与存在性探究问题的能力，攻克二次函数图像综合、圆中动点、多解分类讨论、函数与圆融合等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 二次函数含参数分类讨论；抛物线上动点线段、面积最值探究；二次函数背景下等腰、直角三角形存在性；抛物线与直线交点多解问题；二次函数几何综合多问探究 随机事件的概率 复杂试验概率计算；概率结合方案设计综合问题；概率与函数综合背景探究 圆的基本性质 圆中动点、动线探究；圆周角多解分类讨论；圆内接多边形综合证明与计算；圆背景下线段最值；弧、弦、角多条件综合探究 跨章节压轴综合 二次函数与圆综合压轴；抛物线上动点与圆结合的线段、面积探究；函数与圆背景下图形存在性分类讨论；坐标几何框架下函数+圆多问综合大题 三、压轴与拓展 题型1：含参数二次函数图像性质分类讨论综合题 1．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 2．（2026·广东深圳·二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时，二次函数与轴总有两个交点 B．若，且，则 C．若，则 D．当时，的取值范围为 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________； （2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为__________． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 m ．．． （1）若，求二次函数的表达式及顶点坐标 （2）当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围 （3）若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值． 题型2：抛物线上动点线段、面积最值探究压轴题 1．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 2．（2026·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 4．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．且，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为线段上一个动点，过点作轴于点，连接，，求的面积的最大值． 题型3：二次函数背景下等腰、直角三角形存在性探究题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的最大值及此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型4：复杂试验、方案设计类概率综合解答题 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． （1）则他获得购物券的概率是________； （2）他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 3．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： （1）求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 4．（25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 题型5：圆中动点、动线线段长度、角度动态探究题 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是半圆上的一个三等分点，是的中点，是半径上的动点，若的半径为，求的最小值． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． （1）如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； （2）如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点． （1）如图1，连接，若是圆O的切线， ①求证：； ②设与交于点F，求的长． （2）若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积． 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的直径，点是圆上一点，且，点是弦上一动点，过点作交于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当平分时，求的长． 题型6：圆周角多解、圆内接四边形分类讨论压轴题 1．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 （1）如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ （2）如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； （3）【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 2．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 4．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设． （1）①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． （2） 如图，连接和，若，求证：．      题型7：圆中线段最值综合探究题 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是____________． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 题型8：二次函数与圆结合多问综合压轴大题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，三点，（） （1）求的值； （2）经过A、B、C三点的圆的圆心为M，求M点坐标； （3）在（2）的条件下，求半径及劣弧围成的扇形的面积． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，二次函数图像与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ΔABC的面积； （3）连接CD、BD，求ΔBCD外接圆的半径． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，与轴交于点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点是第一象限内，直线上方任意一点，点在线段上，连接，线段与线段交于点，过点作交抛物线于点，若，时，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H． （1）如图1，若，求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）； （3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值． 题型9：抛物线上动点与圆联动线段、面积探究压轴题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，并将沿y轴对折，得到四边形，是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接．当面积最大时，求P的坐标； （4）如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 4．（2026·山东烟台·一模）如图1，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x，y轴分别交于点A，B，C，已知点A的坐标是（4，0），OA=4OB，动点P在此抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，若动点P在第一象限内（图1中的其它条件不变），过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，当⊙G最小时，求出点P的坐标． 题型10：坐标平面内函数+圆的几何存在性探究压轴题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． （1）对点的“最近覆盖距离”为________； （2）点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，求点P的坐标； （3）若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； 2．（2025·湖南永州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． （1）在点，，中， 是函数的“1倍点”； （2）若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； （3）若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，交x轴于点A（a，0）和点B（b，0），P是第三象限抛物线上一点，直线y＝kx+c经过P、B两点，交y轴于点D． （1）a＝ ，b＝ ． （2）若直线y＝kx+c上存在一点Q，以Q为圆心，QA为半径的圆恰好同时经过B、C两点，请直接写出点Q的坐标，并求k、c的值． （3）聪明的小颖发现，若设P点的横坐标为m，则可直接得到方程x2+2x﹣3＝kx+c的解为x1＝1，x2＝m，再根与系数关系可得：，从而可得到直线PB的解析式为y＝（m+3）（x﹣1）． ①利用小颖发现的结论，当点P在抛物线的对称轴上时，直线PB的函数表达式． ②若直线AP与y轴相交于点E，是否存在常数λ，使λ•OD+OE为定值？如果存在，请求出这个定值，如果不存在，说明理由． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）对y关于x的函数图象做出如下定义：在0≤x≤2时，函数图象最高点A和最低点B满足2yB＞yA且A、B位于x轴上方图象上，则我们称线段AB为“青一•”线段． （1）若函数y＝x+a图象上存在“青一•”线段，求a的取值范围，并求出线段长； （2）判断函数图象上是否存在“青一•”线段，若存在，求出以A，B，O为顶点的三角形外接圆面积；不存在，请说明理由； （3）已知函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上是否存在A，B构成“青一•”线段，若存在，求出满足条件的m的取值范围；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （浙教版九年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、压轴与拓展 2 题型1：含参数二次函数图像性质分类讨论综合题 2 题型2：抛物线上动点线段、面积最值探究压轴题 10 题型3：二次函数背景下等腰、直角三角形存在性探究题 17 题型4：复杂试验、方案设计类概率综合解答题 29 题型5：圆中动点、动线线段长度、角度动态探究题 34 题型6：圆周角多解、圆内接四边形分类讨论压轴题 44 题型7：圆中线段最值综合探究题 59 题型8：二次函数与圆结合多问综合压轴大题 66 题型9：抛物线上动点与圆联动线段、面积探究压轴题 83 题型10：坐标平面内函数+圆的几何存在性探究压轴题 101 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质单章难点以及多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标浙教版九上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理参数问题、动态几何问题与存在性探究问题的能力，攻克二次函数图像综合、圆中动点、多解分类讨论、函数与圆融合等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 二次函数含参数分类讨论；抛物线上动点线段、面积最值探究；二次函数背景下等腰、直角三角形存在性；抛物线与直线交点多解问题；二次函数几何综合多问探究 随机事件的概率 复杂试验概率计算；概率结合方案设计综合问题；概率与函数综合背景探究 圆的基本性质 圆中动点、动线探究；圆周角多解分类讨论；圆内接多边形综合证明与计算；圆背景下线段最值；弧、弦、角多条件综合探究 跨章节压轴综合 二次函数与圆综合压轴；抛物线上动点与圆结合的线段、面积探究；函数与圆背景下图形存在性分类讨论；坐标几何框架下函数+圆多问综合大题 三、压轴与拓展 题型1：含参数二次函数图像性质分类讨论综合题 1．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】（1）；；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． （1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 2．（2026·广东深圳·二模）已知点，在的图象上，下列说法错误的是（    ） A．当时，二次函数与轴总有两个交点 B．若，且，则 C．若，则 D．当时，的取值范围为 【答案】D 【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可． 解：由， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； A.当时，，所以，二次函数与轴总有两个交点，说法正确，故选项A不符合题意； B.当时，对应点为，关于对称轴对称的点为，即；当时，图象在和之间，所以，，故选项B说法正确，不符合题意； C.若，则，当时，则两点连线的中点在对称轴右侧，所以，，故选项C说法正确，不符合题意； D.当 时，，当时，最高点为，所以，，故选项D说法错误，符合题意， 故选：D 【点拨】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，需要利用数形结合思想解决本题． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________； （2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为__________． 【答案】 5 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质． （1）将代入得，再将代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标； （2）当时，总有y随x的增大而减小，则，，由抛物线过点得，代入得，再根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）∵抛物线过点，， ∴抛物线，， 解得， ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）∵抛物线过点， ， ， 当时，总有y随x的增大而减小， ，， ∴，， ∴， ， ∴函数的对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，函数取得最小值为5， 即的最小值是5． 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）某二次函数的部分自变量与函数值的对应数值如下表所示： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 m ．．． （1）若，求二次函数的表达式及顶点坐标 （2）当时，记二次函数对称轴为直线，求的取值范围 （3）若，当时，二次函数最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，运用待定系数法求函数关系式，熟练运用相关知识建立方程（组）是解答本题的关键． （1）先运用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式变形为顶点式即可解答问题； （2）根据题意得，由对称轴得，由得，根据得，从而可求的取值范围； （3）由（2）知，对称轴为，，分①当时，，②当时，，③当时三种情况在范围内求出二次函数最大值和最小值，根据最大值的绝对值与最小值的绝对值之和为列出关于a的方程，求出a的值，代入计算即可得的值． （1）解：设二次函数解析式为， 根据题意，把；；分别代入解析式得 ， 解得， 所以，抛物线的解析式为， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：由得：， ∴， ∴对称轴为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）解：由（2）知，对称轴为，， 分情况讨论：①当时，函数图象开口向上，，在范围内的图象在对称轴右侧， 最小值为，绝对值为2；最大值为，绝对值为， 和为， 解得， ∴ ②当时，，顶点为最小值点，最小值为，绝对值为， 通过比较点和到对称轴的距离可知，离对称轴更远，最大值为，绝对值为， 和为：， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴； ③当时，无符合条件的解， 综上，m的值为或． 题型2：抛物线上动点线段、面积最值探究压轴题 1．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）直线的解析式为；（2）；（3）当时，最大，最大面积为 【分析】（1）由图象知、，利用待定系数法求解即可； （2）设（），则，利用坐标与图形性质可得答案； （3）利用三角形的面积和二次函数的性质求解即可． （1）解：设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设（），则， ∴； （3）解： ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接，如图，先求出A，B坐标，即可判断出为的中位线，得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值． 解：连接，如图， 当时，，解得， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大， ∵， ∴， ∴线段的最大值是． 故选：B． 3．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，动点在线段上（不与端点重合），点绕点顺时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化旋转，二次函数的性质．由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求得的取值． 解：由题意设，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， 时，有最小值为5，时，有最大值9， ， 故答案为：． 4．（26-27九年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴相交于点．且，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点为线段上一个动点，过点作轴于点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）最大值为 【分析】（1）求出点的坐标是，根据求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （2）根据抛物线的函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质求出的最大值． （1）解：当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 将代入中， 可得：， 解得：， 抛物线的函数解析式为；     （2）解：由（1）知函数的解析式为， 点是抛物线的顶点， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则， 轴于点， ， 的面积为， ，， 当时，的面积有最大值，最大值为． 题型3：二次函数背景下等腰、直角三角形存在性探究题 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． （1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，，解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ； （3）解：当时，时， ， ， ， ①当时，； ②当时，； ③当时，设，则， 在中，，即，解得， ， ； 综上，点的坐标为或或． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，直角三角形性质，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，两点的距离，勾股定理，待定系数法等知识，其中（3）根据等腰三角形的判定分情况讨论是本题解题的关键． 2．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 【答案】（1）；（2）存在，最大值为4，P点的坐标为；（3）存在，Q点坐标为或 【分析】（1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，得到，，根据二次函数的性质得到结论； （3）利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线的解析式为，可设，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出即可得到对应的点坐标． （1）解：把，代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在， 抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的横坐标为，过点作轴， ，， ， 当时，线段的值最大，这个最大值为4， 此时点的坐标为； （3）解：由（2）直线的解析式为， 设， 当时，， 解得，（舍去）； ∴， 当时，， 解得：（舍去），（舍去）； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点坐标为或． 【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； （3）在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）点的坐标为；（3）存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． （1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点拨】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 4．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的最大值及此时点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）最大值，此时点；（3）存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）用待定系数法求的解析式，根据解析式用含的式子设出、的坐标、表示的长度，转化为关于的二次函数求最值的问题，求出取最值是的值即可； （3）依据对称轴的解析式，用含的式子设出的坐标，表示出、、，针对直角分三种情况讨论，运用勾股定理的逆定理，求出即可． （1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设直线的计算为，代入，得， 解得： 直线的解析式为：， 设），则）， ， （）， 当时，的长取最大值，此时点（）． （3）存在，对称轴为直线， 设）， 又），） ，，， ①若要点为直角顶点，， ， 解得：，即； ②若要点为直角顶点，， ， 解得：，即； ③若要点为直角顶点，， ， 解得：或，即或； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中线段最长的问题和直角三角形的存在性问题；此题把线段的最值问题转化为二次函数的最值问题，把直角三角形问题借助勾股定理的逆定理，转化为一元二次方程的解的问题，把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 题型4：复杂试验、方案设计类概率综合解答题 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 解：我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． （1）则他获得购物券的概率是________； （2）他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 【答案】（1）；（2）他获得20元购物券的概率最大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由概率公式求出分别获得50元、30元、20元的购物券的概率，再比较即可得出结论． （1）解：由题意可知，他获得购物券的概率是； （2）解：他获得20元购物券的概率最大，理由如下： ∵指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴获得50元的概率，获得30元的概率，获得20元的概率， ∵， ∴他获得20元购物券的概率最大． 3．（25-26九年级下·福建福州·开学考试）小雅和妈妈参加学校组织的“爱心义卖”活动．妈妈看中了一款标价为30元/件的学习用品．摊主提供两种购买方式： 方式A：直接打七折； 方式B：参与一次抽奖决定折扣．规则如下： 在一个不透明袋子里装有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球2个、蓝球2个． 顾客从中随机摸出一个球，不放回，再摸出第二个球．如果两次摸出的球颜色相同，则按标价打六折；如果颜色不同，则按标价打九折． 妈妈觉得“六折很便宜”，于是想选方式B． 请解答下列问题： （1）求妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）小雅说：“如果我们要买很多件，其实方式A可能更省钱．”你同意小雅的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）同意小雅的说法，理由如下： 由（1）可知，按照方式，以六折价格买到该学习用品的概率为，则以九折价格买到该学习用品的概率为， 设共买件学习用品， 则利用方式所花费用为（元）； 利用方式所花费用为（元）； ∵， ∴方式A更省钱． 【分析】（1）列出表格，利用概率公式进行计算即可； （2）分别求出两种方式所需费用，进行判断即可． （1）解：由题意，列表如下： 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 红1，红2 红1，蓝1 红1，蓝2 红2 红2，红1 红2，蓝1 红2，蓝2 蓝1 蓝1，红1 蓝1，红2 蓝1，蓝2 蓝2 蓝2，红1 蓝2，红2 蓝2，蓝1 共12种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有4种， 故妈妈以六折价格买到该学习用品的概率； （2）略 4．（25-26七年级下·山东济南·期中）一个不透明的盒子中装有个形状和大小完全一样的乒乓球，分别标有到九个数字，小颖和小明同学进行摸球游戏． （1）从盒子中任意摸出个乒乓球，标有的数字是奇数的概率是多少？ （2）游戏规则：小明从盒子中任意摸出个乒乓球，若乒乓球上标有的数字是的倍数则小明获胜，否则小颖获胜．这个游戏公平吗？请说明理由； （3）现将个乒乓球分别放入甲、乙两个不透明的盒子中，甲中放入标有到数字的乒乓球，乙中放入标有到数字的乒乓球．游戏开始后，小颖从甲或乙盒子中任意摸出一个乒乓球，再将乒乓球上的数字输入下列程序中，若输出数字大于可获得奖励，请帮她计算选择哪个盒子获得奖励的概率更大． 【答案】（1）；（2）解：游戏不公平，理由如下： 由（）可知，标有的数字是奇数的概率是，所以标有的数字是偶数的概率是，即小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，故小颖获胜的概率大于小明获胜的概率，所以游戏不公平； （3）乙盒子获得奖励的概率更大 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）分别求出两人获胜的概率即可判断求解； （）分别求出甲、乙两个盒子获得奖励的概率即可判断求解； 本题考查了概率，游戏的公平性，掌握概率计算公式是解题的关键． （1）解：从盒子中任意摸出个乒乓球，共有种结果，其中数字是奇数的结果有种， ∴标有的数字是奇数的概率是； （2）略 （3）解：由程序可知，当输入数字，，，，时，甲盒子输出的结果为：，，，，； 当输入数字，，，时，乙盒子输出的结果为：，，，； 甲盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为；乙盒子输出的结果共有种，其中输出数字大于的结果有种，获得奖励的概率为， ∵， ∴乙盒子获得奖励的概率更大． 题型5：圆中动点、动线线段长度、角度动态探究题 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是半圆上的一个三等分点，是的中点，是半径上的动点，若的半径为，求的最小值． 【答案】的最小值为 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弧与圆心角的关系等知识点，确定点P的位置是解题的关键． 如图：作点B关于的对称点E，连接，先说明当A、P、E共线时，此时最小，最小值为；再说明，得，进而得到，再根据勾股定理求出，即可得出的最小值． 解：如图：作点B关于的对称点E，根据圆的对称性，则E必在圆上，连接， ∴，，， ∴， ∴当A、P、E共线时，此时最小，最小值为， ∵是半圆上的一个三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． （1）如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； （2）如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】（1）①连接，如图所示，先由垂径定理得到，再由题中已知条件，有，从而有，最后根据圆周角定理求角度即可得到答案；②由垂径定理可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，如图所示，先由圆内接四边形性质得到，进而证得，再由全等三角形的性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可得到答案． （1）解：①连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 是的直径， ∴， ， ； ②∵， ， 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理可知，即 ， 解得， 的半径为； （2）解：的值为． 延长至点，使，连接，如图所示： 四边形为的内接四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点拨】本题考查圆综合，涉及垂径定理、圆中弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理、圆内接四边形性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记圆的相关性质及几何性质，并灵活运用是解决问题的关键． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知矩形，，，点O是的中点，以为直径作圆，点是圆上的点． （1）如图1，连接，若是圆O的切线， ①求证：； ②设与交于点F，求的长． （2）若动点G从点B向C运动，连接，作四边形关于直线对称图形四边形，如图2．求点G在运动过程中线段扫过的面积． 【答案】（1）①∵矩形，，点O是的中点， ∴， ∴是圆O的切线， ∵是圆O的切线。 ∴； ② （2） 【分析】（1）①易证是圆O的切线，根据切线长定理即可得证； ②连接，证明，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）求出当B、G重合时，G、C重合时点旋转的角度是，再根据线段扫过的面积是计算即可． 解：（1）①略 ②连接，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，，根据勾股定理可得：， 解得：， 即；      （2）当B、G重合时，如图， ∵， ∴，    当G、C重合时，如图， ∵， ∴点旋转的角度是， ∵， ∴线段扫过的面积是．    【点拨】本题考查了矩形的性质、切线长定理、切线的判定、旋转的性质和解直角三角形等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质定理是解题关键． 4．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知的直径，点是圆上一点，且，点是弦上一动点，过点作交于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，当平分时，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，根据圆的性质，平行线的性质，求出，根据锐角三角函数，求出，再根据勾股定理求出，即可； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，勾股定理，求出，根据等角对等边，求出，最后根据，即可解答． （1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴． （2）解：过点作，垂足为点， ∴，（垂径定理）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6：圆周角多解、圆内接四边形分类讨论压轴题 1．（2026·四川达州·中考真题）综合与探究 【方法探究】 （1）如图1，直线，A，B两点在直线上，，，三点在直线上，连接，，，，，，我们发现，，面积的数量关系是______，理由是______ （2）如图2，是的直径，C是上的动点（C不与A重合）、D是的中点，用圆规和无刻度直尺在图2中作出点D的运动路径（不写作法、保留作图痕迹），简要说明理由； （3）【问题解决】如图3，直线，是上一点，，垂足为N，、是射线上的动点，连接，过点在上方作射线，是上的一点，连接，，求线段的最大值． 【答案】（1）相等，等底等高的三角形面积相等；（2） 点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． 证明：连接， ∵是中点，是的中点， ∴是的中位线 ∴． 又∵是直径 ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上． 又∵点、不重合，故点D不与点重合， ∴点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）． （3）8 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等即可得出结论； （2）根据三角形中位线性质可得，由此得出，根据角所对弦是直径，可得点D的运动路径是以线段为直径的圆（不包含点）； （3）过点作，交于，交于，利用（1）可得，根据求得，再由四边形是平行四边形，可得，由可得是直角三角形，取中点，则，根据点到圆上一点的距离最值即可得，即当点在延长上时，最大，最大值为． （1）解：​、​、​面积相等． 理由：它们共底边，且由于，顶点到直线​的距离（即高）相等，故面积相等． （2）略 （3）解：过点作，交于，交于， 由（1）可得：， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，即， ∴， ∴点在以为直径的半圆弧（上方，不含、两点）上运动， 取中点，则，连接、， ∴， 当点在延长上时，最大，最大值为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 即最大值为8． 【点拨】解题关键是利用平行转化三角形面积，抓“定角对定弦”构造辅助圆，化“动”为“静”；利用“圆外一点到圆上点的最大距离”模型，巧解线段最值． 2．（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，休息区面积的最大值为 【分析】本题属于圆的综合题，涉及圆的基本知识，正方形的性质，勾股定理等知识． （1）当过圆心即可求解； （2）连接，，由正方形得到，，则，再根据，得到当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则，先求出，得到，则，点在上运动，，当交于时，面积的最大，求出最大高，最后根据计算即可． 解：（1）如图1，过点作， ∵点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7， ∴，， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，可知此时最大， ∴最大值， 故答案为：12； （2）连接，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵以正方形的边为直径作半圆，圆心为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则， 由题意可得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动，， ∴当交于时，面积的最大， 此时，， ∴， ∴， ∴存在，休息区面积的最大值为． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； （3）存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． （1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 4．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，内接于，是直径上的一点，满足，连结并延长交于点，连结，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点，设． （1）①用含的代数式表示和的大小． ②猜想线段、和满足什么数量关系，并证明． （2） 如图，连接和，若，求证：．      【答案】（1）①，． ②猜想：． 证明：由第（1）问可知 因为 是圆的直径，所以 在直角三角形 中， 又因为 ， 所以 因为 三点共线， 三点共线，且 四点共圆， 所以 因此 于是 即 又因为 是等腰三角形，且 所以 在直角三角形 中， 将这些代入： 因此， 过点 作垂足为． 因为 且 ，所以在直角三角形 中， 又因为 ，得 在直角三角形 中， 所以 同时 由图中 的位置， 因此 所以， 所以 所以 因此． （2）如图，连接和． 由圆周角定理， 弧 所对的圆心角为 因为 与 是相反射线，所以直线 与 的夹角为 另一方面，由（1）可知 因此直线 与 的夹角为 又因为 所以 解得， 于是 在点 处，射线 位于射线 与 之间，所以 因此 即． 由（1）中的结论， 又因为 是 的中点， 所以 在三角形 中， 而 由正弦定理可知，三角形 中 另一方面， 根据图形中 位于 内部， 而前面已经得到 因此． 【分析】（1）①利用 AB 为直径得到，结合得到，再根据等腰内角和，代入底角计算，求出顶角．②利用相似三角形求得 ，再作 求得 ，最后由 得 ． （2）运用圆周角定理得到圆心角，结合条件，通过直线夹角列等式算出，求出；利用（1）的结论得到，结合得到边长比值，在用正弦定理求出，再做角度减法算出，等量代换证明． （1）解：①因为 是圆的直径端点，所以 又因为 ，所以 与 共线；，所以 与 共线． 由于 ，而 三点共线，所以 ． 因此，直线 与 的夹角为 在等腰三角形 中， 所以 而 故 于是 由于 ，所以． ②略． （2）略． 题型7：圆中线段最值综合探究题 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点，可知当点O，P，C共线时，的值最小，据此求解即可． 解：∵交于点P， ∴， ∴点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点， ∵， ∴当点O，P，C共线时，的值最小， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值． 解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ， ， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 3．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在矩形中，为上的一动点，连接，Q为的中点，是上的一点，并满足，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，点到圆的最值距离，勾股定理，得到点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值，利用勾股定理即可解答． 解：如图，取的中点，连接． 为的中点，，即， ， ， ，即 点在以点为圆心，的长为半径的半圆上，当共线时，的最小值为的值． ，四边形是矩形， ，， ， 的最小值是． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值． 解：点的坐标为， 半圆半径． 半圆交轴于点， ． 设轴负半轴与半圆交点为， 则，． 轴， ． 点为和的角平分线交点， 点为的内心． ． 点在的平分线上， ． 在和中， ． ． 点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为． 圆周角为，且点在轴上方， 圆心在轴下方，且． ，为等腰直角三角形， 点的横坐标为，纵坐标为， 即．． 连接， 当三点共线时，取得最小值．． 的最小值为． 故答案为：． 题型8：二次函数与圆结合多问综合压轴大题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，二次函数的图象经过，三点，（） （1）求的值； （2）经过A、B、C三点的圆的圆心为M，求M点坐标； （3）在（2）的条件下，求半径及劣弧围成的扇形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查二元函数与坐标轴的交点，一元二次方程，相似三角形的判定与性质，圆周角，勾股定理，扇形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）将，分别代入二次函数，即可解答； （2）过圆心M作于E，于F，令圆M与y轴正半轴的交点为D，连接，先求出，，，，证明，可求出，即，继而求出，即可解答； （3）根据勾股定理，求出， ，证明为等腰直角三角形，即， 则半径及劣弧围成的扇形的面积为：，即可解答． 解：（1）当时，， ， 当时，， 则, 则 （2）解：过圆心M作于E，于F，令圆M与y轴正半轴的交点为D，连接，如图 由（1）得，，， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，即， ∵于E，，点M为圆心， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． （3）∵， ∴， ， ∴, ∴为等腰直角三角形，即， 则半径及劣弧围成的扇形的面积为：． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，二次函数图像与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是（2，9），且经过D（3，8）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求ΔABC的面积； （3）连接CD、BD，求ΔBCD外接圆的半径． 【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）15；（3） 【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得； （2）先求出A、B、C，即可△ABC的面积； （3）根据B，C，D的坐标判断出△BCD是直角三角形，再根据直角三角形的特点求出外接圆的长度． （1）解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+9， ∵抛物线经过点D（3，8）， ∴（3-2）2•a+9=8，解得a=-1， ∴抛物线的函数解析式为y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5； （2）当y=0时，有-（x-2）2+9=0， 解得x=5或x=-1， ∴A（-1，0），B（5，0）， ∴AB=5+1=6， 当x=0时，有-x2+4x+5=5， ∴C（0，5）， ∴OC=5， ∴△ABC的面积=•AB•OC=×5×6=15； （3）由（2）得A（-1，0），B（5，0），C（0，5），D（3，8）， ∴BC2=50，BD2=68，CD2=18， ∴， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°， ∴△BCD外接圆的半径为=． 【点拨】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，与轴交于点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点是第一象限内，直线上方任意一点，点在线段上，连接，线段与线段交于点，过点作交抛物线于点，若，时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意先得出，，根据得出，代入解析式，即可求解； （2）设，得出的解析式为，则，则；进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3）作交轴于点，设与轴交于点，与轴交于点，先证明，进而得出，，设，则，在中，，勾股定理得出，则，进而得出直线的解析式为，联立抛物线求得点的坐标，得出直线的解析式为，设，勾股定理求得，则，得出直线的解析式为，联立抛物线，即可求解． （1）解：∵二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， 当，则， 解得：， ∴，，则 ∵ ∴ ∴， ∴ 解得： ∴； （2）设， ∵点，设的解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴ 领， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，作交轴于点，设与轴交于点，与轴交于点， ∵ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四点共圆， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，设，则 又∵ ∴， ∵，， ∴, 又∵, ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 设直线的解析式为，则 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设 ∴，, ∵ ∴ 即 ∴ ∴ 设直线的解析式为 将点代入，得 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴ 【点拨】本题考查了二次函数的综合运用，勾股定理，面积问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质以及灵活导角是解题的关键． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，二次函数与x轴相交于点A，B，点A在x轴负半轴，过点A的直线交该抛物线于另一点D，交y轴正半轴于点H． （1）如图1，若，求该抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段上一点，当时，求点P的坐标（用含b的代数式表示）； （3）如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y轴于点C，过A，B，C三点作，经过点Q的直线交于点F，I，交抛物线于点E，G．当时，求的值． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3） 【分析】（1）求出点，把代入，得，得到直线解析式，求出点，把代入，得，解得，即可得到抛物线的解析式； （2）求出，得到是等腰直角三角形，则，，设，过点P作于点K，过点P作轴于点L，则，，显然和均为等腰直角三角形，得到，，和联立得，，求出，由得到，解得，，即可得到答案； （3）由题意得：，则点，求得，由经过A、B、C三点，得到点Q的横坐标为，进一步得到点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数，则，过点Q作轴于点H，连接，得到，，求出，则，由，得到，得到，则，由直线经过点得到，与联立得，则，，再求得，则，即可得到，求得答案． （1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴， 即该抛物线的解析式为； （2）在中，令，得，令，得， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 如图1，设，过点P作于点K，过点D作轴于点L， 则，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， 由和联立， 得：， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为（，）； （3）由题意得：，则点， 当时，， 解得：， ∴， 如图，过点Q作轴于点H，连接，， ∵经过A、B、C三点， ∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q的横坐标为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在第二、四象限角平分线上， ∵点Q也在线段的垂直平分线上， ∴点Q在第二、四象限角平分线上，即点Q的横纵坐标互为相反数， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴，与联立， 得， 整理得： ， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与抛物线交点，一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形性质，圆的性质等，本题综合性较强，涉及知识点较多，难度较大，对学生运算能力要求较高． 题型9：抛物线上动点与圆联动线段、面积探究压轴题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，并将沿y轴对折，得到四边形，是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接．当面积最大时，求P的坐标； （4）如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）当点的坐标为时，的面积最大；（4） 【分析】（1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得于点，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点轴于点，如图，设点的坐标为，根据抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线，得出，结合，再利用二次函数的性质求得最大值即可． （4）取点，连接，证明，得出，则，即可得当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理求出即可解答． （1）解：∵抛物线与轴交于，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点， 即点的纵坐标为， 当时， 解得（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）解：连接，作轴于点轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， ， ∴当时，最大， 此时， 此时点的坐标为， 即当点的坐标为时，的面积最大． （4）解：∵以为圆心，3为半径作，Q为上一动点，抛物线的对称轴是直线， ∴点在上， 如图，取点，连接， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度， ． 最小值是． 【点拨】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】（1）；（2）存在，；（3） 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． （1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， （3）解：把代入，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度． 【答案】（1）；；（2）当为直角三角形时，的值为1或2或5；；（3）经过的路径长度为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可． （1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线， ，， 则、， 抛物线解析式为； （2）解：设点， ， 点， 则、、， ①若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ②若，则， 解得（舍或， ， 则直线解析式为， 当时，，即， ； ③若，则， 整理，得：， ， ， ， ， 则或（舍， ， 直线解析式为， 当时，，即， ； 综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5． （3）为的外接圆， 点在线段的中垂线上， 当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段， 当时，如图1， 由（2）知， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 当时，如图2， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， 、， ； 当时，如图3， 由（2）知，， 此时的外接圆圆心是的中点， ， ； 则点经过的路径长度为． 【点拨】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题． 4．（2026·山东烟台·一模）如图1，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x，y轴分别交于点A，B，C，已知点A的坐标是（4，0），OA=4OB，动点P在此抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，若动点P在第一象限内（图1中的其它条件不变），过点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，当⊙G最小时，求出点P的坐标． 【答案】（1）y=-x2+3x+4；（2）存在．P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；；（3）点P的坐标是（，2） 【分析】（1）首先根据题意得出B点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）分别利用第一种情况，当以C为直角顶点时，第二种情况，当点A为直角顶点时，得出P点坐标即可； （3）根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，进而得出P点坐标即可． （1）解：由A（4，0），可知OA=4， ∵OA=4OB， ∴OB=1． ∴B（-1，0）． 设抛物线的表达式是y=ax2+bx+4， 则 解得 则抛物线的表达式是y=-x2+3x+4； （2）解：存在． 第一种情况，如图1，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1+∠ACO=90°． ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠MCP1=∠OAC． ∵OA=OC， ∴∠MCP1=∠OAC=45°， ∴∠MCP1=∠MP1C， ∴MC=MP1， 设P（m，-m2+3m+4），则m=-m2+3m+4-4， 解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴-m2+3m+4=6， 即P（2，6）． 第二种情况，如图1，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2， 过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F． ∴P2N∥x轴， 由∠CAO=45°， ∴∠OAP=45°， ∴∠FP2N=45°，AO=OF． ∴P2N=NF， 设P2（n，-n2+3n+4），则n=（-n2+3n+4）+4， 解得：n1=-2，n2=4（舍去）， ∴-n2+3n+4=-6， 则P2的坐标是（-2，-6）． 综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）； （3）如图2，连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF． 根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4， 则AC=， 根据等腰三角形的性质，D是AC的中点， 又∵DF∥OC， ∴DF=OC=2， ∴点P的纵坐标是2． 则-x2+3x+4=2， 解得x1=，x2=（不合题意，舍去） ∴当⊙G最小时，点P的坐标是（，2） 【点拨】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质、圆、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 题型10：坐标平面内函数+圆的几何存在性探究压轴题 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移d个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称d的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图，，则对线段的“最近覆盖距离”为3． （1）对点的“最近覆盖距离”为________； （2）点P是函数图象上一点，且对点P的“最近覆盖距离”为2，求点P的坐标； （3）若一次函数的图象上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为，求k的取值范围； 【答案】（1）；（2）或；（3）或 【分析】（1）求出原点到点的距离，再将距离减1即为对该点的“最近覆盖距离”； （2）设点P的坐标为，根据对点P的“最近覆盖距离”为2可列方程求解； （3）根据题意可得，一次函数与x轴的交点为，对和的临界状态进行分类讨论； （1）解：原点到点的距离为，的半径为1， “最近覆盖距离”为， 故答案为：． （2）解：设点， 原点到点的距离为，对点P的“最近覆盖距离”为2， ， ， 解得，，分别代入， 可得点的坐标为或． （3）解：如下图，一次函数分别交x、y轴于E、D点，过O作于点C，考虑临界状态，一次函数上存在点C，使对点C的“最近覆盖距离”为， 时， 中，时，，时，， ， ，， 当时， ，， ， ， ， 设，， 由勾股定理得， 解得，（舍去）， ，， 此时，， 经过分析可知，一次函数图像比临界状态更靠近轴时，则存在点C，即． 同理得，当时，， ∴的取值范围为或． 【点拨】本题主要考查“最近覆盖距离”问题，掌握圆的基本知识，两点间距离公式，一次函数的图像性质，三角形的相似与判定．找到临界状态并分类讨论是解题关键． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：时，点即为函数的“2倍点”． （1）在点，，中， 是函数的“1倍点”； （2）若函数存在唯一的“3倍点”，求b的值； （3）若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【答案】（1）点和；（2）；（3）或2 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“m倍点”的定义是解此题的关键． （1）根据“m倍点”的定义结合反比例函数的定义分析即可得解； （2）当时，，结合题意可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解； （3）由题意可得函数的“m倍点”为，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C，由两点间的距离公式得出，求解即可． （1）解：当时， ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； ∵， ∴点不是函数y的“1倍点”； ∵，， ∴点是函数y的“1倍点”； 综上，点和是函数y的“1倍点”； 故答案为：点和； （2）解：当时，， ∵函数存在唯一的“3倍点”， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴函数的“m倍点”为， 如图所示，直线与交于点B，连接，过点B作轴于C， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数， ∴或2． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3交y轴于点C，交x轴于点A（a，0）和点B（b，0），P是第三象限抛物线上一点，直线y＝kx+c经过P、B两点，交y轴于点D． （1）a＝ ，b＝ ． （2）若直线y＝kx+c上存在一点Q，以Q为圆心，QA为半径的圆恰好同时经过B、C两点，请直接写出点Q的坐标，并求k、c的值． （3）聪明的小颖发现，若设P点的横坐标为m，则可直接得到方程x2+2x﹣3＝kx+c的解为x1＝1，x2＝m，再根与系数关系可得：，从而可得到直线PB的解析式为y＝（m+3）（x﹣1）． ①利用小颖发现的结论，当点P在抛物线的对称轴上时，直线PB的函数表达式． ②若直线AP与y轴相交于点E，是否存在常数λ，使λ•OD+OE为定值？如果存在，请求出这个定值，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）a=-3，b=1；（2）Q（-1，-1），k＝，c=；（3）①PB：y=2（x-1）；②当λ=3时，λ•OD+OE为定值12 【分析】（1）令y=0，解方程即可求得：A（-3，0），B（1，0），进而得出：a=-3，b=1； （2）由圆的半径相等可得：QA=QB=QC，得出：Q在线段AB的垂直平分线，即抛物线对称轴上，设Q（-1，y），利用QA2=QC2，建立方程求得y=-1，再将Q（-1，-1）、B（1，0）代入y=kx+c中，即可求得答案； （3））①根据P在抛物线的对称轴上，可得m=-1，将m=-1代入y=（m+3）（x-1）即可得出答案； ②设直线AP的函数表达式为：y=px+q，可得：x2+2x-3=px+q的解为：x1=-3，x2=m，再利用根与系数关系可得：p=m-1，q=3m-3，进而得出：直线AP的函数表达式为：y=（m-1）x+3m-3，由点P在第三象限的抛物线上，可得出：-3＜m＜0，3m-3＜0，OE=3-3m，再由λOD+OE=λ（m+3）+3-3m=（λ-3）m+3λ+3，令λ=3，得：λOD+OE=（λ-3）m+3λ+3=12即可． （1）解：令y=0，得x2+2x-3=0， ∴（x+3）（x-1）=0， 解得：x1=-3，x2=1， ∴A（-3，0），B（1，0）， ∴a=-3，b=1， 故答案为：-3，1． （2）已知Q为圆心的圆过A、B、C三点，A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）， ∴抛物线对称轴为直线x=-1， ∵QA=QB=QC， ∴Q在线段AB的垂直平分线，即抛物线对称轴上， 设Q（-1，y），则QA2=QC2，即（-1+3）2+（y-0）2=（-1-0）2+（-3-y）2， 解得：y=-1， ∴Q（-1，-1）， 将Q（-1，-1）、B（1，0）代入y=kx+c中， 得：， 解得：； （3）①∵P在抛物线的对称轴上， ∴m=-1， 将m=-1代入y=（m+3）（x-1）有y=2x-2， ∴直线PB的函数表达式为：y=2x-2． ②∵A（-3，0），P（m，0）， 设直线AP的函数表达式为：y=px+q， ∴x2+2x-3=px+q的解为：x1=-3，x2=m， 由根与系数的关系有：x1+x2=p-2=-3+m，x1x2=-3-q=-3m， ∴p=m-1，q=3m-3， ∴直线AP的函数表达式为：y=（m-1）x+3m-3， 令x=0，则y=3m-3， ∴OE=|3m-3|， ∵点P在第三象限的抛物线上， ∴-3＜m＜0， ∴3m-3＜0，OE=3-3m， ∵直线PB的解析式为y=（m+3）（x-1）， ∴D（0，-m-3）， ∴OD=|-m-3|=|m+3|， ∵m+3＞0， ∴OD=m+3， ∴λOD+OE=λ（m+3）+3-3m=（λ-3）m+3λ+3， 令λ=3，得：λOD+OE=（λ-3）m+3λ+3=12， 故当λ=3时，λ•OD+OE为定值12． 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图像和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合一元二次方程根与系数关系及圆的知识综合解题是关键． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）对y关于x的函数图象做出如下定义：在0≤x≤2时，函数图象最高点A和最低点B满足2yB＞yA且A、B位于x轴上方图象上，则我们称线段AB为“青一•”线段． （1）若函数y＝x+a图象上存在“青一•”线段，求a的取值范围，并求出线段长； （2）判断函数图象上是否存在“青一•”线段，若存在，求出以A，B，O为顶点的三角形外接圆面积；不存在，请说明理由； （3）已知函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上是否存在A，B构成“青一•”线段，若存在，求出满足条件的m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a＞2，AB＝；（2）上存在“青一•”线段，三角形外接圆面积为；（3）函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上不存在A，B构成“青一•”线段，理由见解析． 【分析】（1）根据“青一”线段的定义，可直接求出的范围，再由，都在函数图象上，利用两点的距离公式，可求出； （2）先求出的对称轴，再求出，，然后利用“青一”线段的定义即可判断；利用，，到圆心的距离相等求出圆心，然后求出半径，即可算出面积； （3）先算出，的对称轴，然后根据对称轴的位置分情况讨论，求出满足条件的即可． 解：（1）∵y＝x+a， ∴当0≤x≤2时，有yA＝a+2，yB＝a， ∵2yB＞yA， ∴2a＞a+2， ∴a＞2， ∵A，B都在y＝x+a上， ； （2） 上存在“青一•”线段， ， ∴当0≤x≤2时，y随着x的增大而减小， ，， ∴2yB＞yA， ∴ 的图象上存在“青一•”线段； 由题意得A（0，4），B（2，3）， 设以A，B，O为顶点的三角形外接圆的圆心为P（x，y）， 则PA＝PB＝PO， ∴（y﹣4）2+x2＝（y﹣3）2+（x﹣2）2＝y2+x2， 解得：， ， 圆的面积为：； （3）∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1， ∴该抛物线的对称轴为x＝m， ①当m≤0，在0≤x≤2上y随着x的增大而增大， ∴yA＝4﹣4m+1＝5﹣4m，yB＝1， ∴2＞5﹣4m， 解得：，与m＜0矛盾， ∴当m＜0时，不存在A，B构成“青一•”线段， ②当0＜m＜1时，有：yA＝5﹣4m，， 即：2（1﹣m2）＞5﹣4m， 化简得：无解， ∴当0＜m＜1时，不存在A，B构成“青一•”线段， ③当m＝1时，yA＝1，yB＝0， ∵2yB＜yA，不满足要求， ∴当m＝1时，不存在A，B构成“青一•”线段， ④当1＜m≤2时，有yA＝1，， 若2yB＞yA， 则2﹣2m2＞1， 解得：，与1＜m≤2矛盾， ∴当1＜m＜2时，不存在A，B构成“青一•”线段， ⑤当m＞2时，yA＝1，yB＝5﹣4m， 若2yB＞yA， 则10﹣8m＞1， 解得：，与m＞2矛盾， ∴当m＞2时，不存在A，B构成“青一•”线段， 综上，函数y＝x2﹣2mx+1，在其图象上不存在A，B构成“青一•”线段． 【点拨】本题主要考查和二次函数有关的新定义概念，关键是要理解“青一”线段的定义，还有二次函数的基本知识，包括求对称轴，顶点，增减性等，当题目中出现求字母的取值范围时，一般可考虑分情况讨论，找出满足条件的范围即可，也考查了三角形的外接圆的相关知识． 学科网（北京）股份有限公司 $