期中复习专题1——基础知识与基本技能讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

期中复习专题1——基础知识与基本技能 （浙教版九年级上册：期中核心基础考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、必考、常考题型 2 题型1：二次函数概念辨析选择题 2 题型2：抛物线开口、对称轴、顶点识别 2 题型3：抛物线的与坐标轴交点坐标 3 题型4：二次函数的解析式基础求法 4 题型5：事件类型（必然、不可能、随机）辨析 5 题型6：简单等可能事件概率计算 5 题型7：用频率估计概率基础 6 题型8：圆相关概念辨析 7 题型9：垂径定理基础线段计算 8 题型10：圆心角、圆周角基础角度计算 10 一、专题定位 本专题聚焦第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质三章核心基础内容，以概念识记、公式理解、基础运算、图形识别为核心。适配九年级期中第一轮基础复习，面向全体学生，重点夯实教材核心定义、基础性质与常规计算方法，精准扫清选择、填空题型基础易错点。可用于课堂基础过关、课前知识点默写、基础专项训练、基础题型组卷测评，帮助学生稳固知识根基，实现基础题型零失分。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 二次函数定义、一般式、顶点式、交点式；识别二次项、一次项、常数项；二次函数图像抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；自变量取值、函数值基础计算；抛物线与坐标轴交点基础识别 随机事件的概率 区分必然事件、不可能事件、随机事件；概率的定义；简单等可能事件概率计算；列表法、树状图基础概念；用频率估计概率基础理解 圆的基本性质 圆、弦、直径、弧、圆心角、圆周角概念；同圆或等圆半径相等；垂径定理基础理解；圆心角定理；圆周角定理基础结论；弧、弦、圆心角的基础对应关系 三、必考、常考题型 题型1：二次函数概念辨析选择题 1.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 题型2：抛物线开口、对称轴、顶点识别 1.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 2.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的开口方向和对称轴分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 3.（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 4.（26-27九年级上·新疆克孜勒苏·阶段检测）抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 题型3：抛物线的与坐标轴交点坐标 1.（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 3.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 4.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 题型4：二次函数的解析式基础求法 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 4.（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 题型5：事件类型（必然、不可能、随机）辨析 1.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 B．打开电视机，正在播放新闻 C．在标准大气压下，水加热到会沸腾 D．掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 2.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）成语“瓮中捉鳖”描述的事件属于（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 3.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 4.（25-26七年级下·广东揭阳·期中）“若是有理数，则”是______事件． 题型6：简单等可能事件概率计算 1.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 2.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 4.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 题型7：用频率估计概率基础 1.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 2.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 3.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 4.（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 题型8：圆相关概念辨析 1.（24-25九年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角等于 D．过圆心的线段是直径 2.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列命题中是真命题的为（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．任何三角形有且只有一个内切圆 D．相等的圆周角所对的弧相等 3.（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是直径所在的直线，且平分，，，则：①；②；③；④，其中结论正确的是________（填写序号）． 题型9：垂径定理基础线段计算 1.（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 2.（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 4.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 题型10：圆心角、圆周角基础角度计算 1.（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，为的直径，点在上，且，若，则_____°． 4.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题1——基础知识与基本技能 （浙教版九年级上册：期中核心基础考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、必考、常考题型 2 题型1：二次函数概念辨析选择题 2 题型2：抛物线开口、对称轴、顶点识别 4 题型3：抛物线的与坐标轴交点坐标 5 题型4：二次函数的解析式基础求法 8 题型5：事件类型（必然、不可能、随机）辨析 11 题型6：简单等可能事件概率计算 12 题型7：用频率估计概率基础 14 题型8：圆相关概念辨析 16 题型9：垂径定理基础线段计算 20 题型10：圆心角、圆周角基础角度计算 24 一、专题定位 本专题聚焦第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质三章核心基础内容，以概念识记、公式理解、基础运算、图形识别为核心。适配九年级期中第一轮基础复习，面向全体学生，重点夯实教材核心定义、基础性质与常规计算方法，精准扫清选择、填空题型基础易错点。可用于课堂基础过关、课前知识点默写、基础专项训练、基础题型组卷测评，帮助学生稳固知识根基，实现基础题型零失分。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 二次函数定义、一般式、顶点式、交点式；识别二次项、一次项、常数项；二次函数图像抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标；自变量取值、函数值基础计算；抛物线与坐标轴交点基础识别 随机事件的概率 区分必然事件、不可能事件、随机事件；概率的定义；简单等可能事件概率计算；列表法、树状图基础概念；用频率估计概率基础理解 圆的基本性质 圆、弦、直径、弧、圆心角、圆周角概念；同圆或等圆半径相等；垂径定理基础理解；圆心角定理；圆周角定理基础结论；弧、弦、圆心角的基础对应关系 三、必考、常考题型 题型1：二次函数概念辨析选择题 1.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是否为二次函数，必须满足二次项的系数不为这一核心条件，本题结合二次函数的定义即可完成判断． 解：选项，当时，二次项系数，函数的最高次项为二次项，符合二次函数的定义要求，故符合题意； 选项，仅限制，无法排除的情况，若，二次项系数为，函数就不再是二次函数，故不符合题意； 选项，若，代入后二次项系数为，原函数化为，属于一次函数，故不符合题意； 选项，若，当时，会让二次项系数消失，函数化为一次函数，故不符合题意． 2.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）若关于的函数是二次函数，则须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵关于的函数是二次函数， ∴. 3.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 【答案】1 解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得：或且， ∴． 4.（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 【答案】 3 0 【分析】将给定二次函数整理为标准一般形式，对应即可得到各系数． 解： 将原二次函数整理为一般形式：， 对比二次函数一般式， 可得二次项系数为，一次项系数为3，常数项为0． 题型2：抛物线开口、对称轴、顶点识别 1.（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 2.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线的开口方向和对称轴分别是（     ） A．向上，直线 B．向上，直线 C．向下，直线 D．向下，直线 【答案】C 【分析】根据二次项系数判断开口方向，根据二次项系数和一次项系数求对称轴； 解：抛物线解析式， 可得，，． ， 抛物线开口向下． 对称轴：，即直线． 3.（2026九年级上·全国·专题练习）抛物线 的开口方向为___________，对称轴为___________，顶点坐标为___________． 【答案】 向下 直线 【分析】本题给出抛物线顶点式，可根据二次项系数判断开口方向，直接得到对称轴和顶点坐标． 解：将抛物线解析式整理为标准顶点式，其中，，， ∵ ， ∴ 抛物线开口方向向下， ∵ 顶点式的对称轴为直线， ∴ 抛物线对称轴为直线， ∵ 顶点式的顶点坐标为， ∴ 抛物线顶点坐标为． 4.（26-27九年级上·新疆克孜勒苏·阶段检测）抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 【答案】 直线 【分析】根据抛物线顶点式的性质，可直接得出对称轴和顶点坐标． 解：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 题型3：抛物线的与坐标轴交点坐标 1.（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）若抛物线（a、c为常数，且）与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求抛物线的对称轴，再利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质计算另一个交点坐标． 解：∵抛物线的对称轴为直线， 且抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为， 设另一个交点为， ∴． 解得． ∴另一个交点坐标为． 2.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数，下列说法正确的是（） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线与x轴没有交点 D．抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐个分析求解即可． 解：由，得，，． 抛物线开口向下，故A错误． 抛物线顶点坐标为，故B错误， 抛物线开口向下，顶点纵坐标为，即抛物线最高点的纵坐标为，图象全部在轴下方 抛物线与轴没有交点，故C正确． 当时， 抛物线与轴交点坐标为，故D错误． 3.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．则图象与轴的另一个交点坐标为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 解：∵二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点坐标为，即． 4.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 题型4：二次函数的解析式基础求法 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 2.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 3.（26-27九年级上·上海·阶段检测）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表，则该二次函数图像的对称轴是________． 【答案】直线 【分析】先使用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出对称轴即可． 解：将，；，；，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线． 4.（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）抛物线，经过两点，则这条抛物线的解析式为______________，它的对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质，先根据两点式求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求出对称轴即可． 解：抛物线的解析式为，即， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为，直线． 题型5：事件类型（必然、不可能、随机）辨析 1.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列事件中属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 B．打开电视机，正在播放新闻 C．在标准大气压下，水加热到会沸腾 D．掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 【答案】C 解：A、抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，属于随机事件，故本选项不符合题意； B、打开电视机，正在播放新闻，属于随机事件，故本选项不符合题意； C、在标准大气压下，水加热到会沸腾，属于必然事件，故本选项符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，点数为6，属于随机事件，故本选项不符合题意 2.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）成语“瓮中捉鳖”描述的事件属于（     ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 【答案】A 解：“瓮中捉鳖”表示在瓮中捕捉鳖，鳖无法逃脱，该事件一定发生，属于必然事件． 3.（25-26八年级下·江苏扬州·期末）诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 【答案】随机 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义对题干描述的事件进行判断. 解：根据定义，一定条件下必然发生的事件是必然事件，一定条件下一定不发生的事件是不可能事件，一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件. “晚来天欲雪”描述傍晚即将下雪的情况，下雪可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，因此该事件是随机事件. 4.（25-26七年级下·广东揭阳·期中）“若是有理数，则”是______事件． 【答案】必然 【分析】先根据绝对值的性质判断命题的真假，再结合事件的分类定义判断事件类型． 解：根据绝对值的性质可知：对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，根据定义，在一定条件下必然发生的事件称为必然事件，因此该事件是必然事件． 题型6：简单等可能事件概率计算 1.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）一个不透明的礼盒中装有8个八宝粽，若干个肉粽，它们除标签名称不同外其余均相同，若从中随机拿出1个粽子为八宝粽的概率为，则肉粽的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】先根据八宝粽及其概率求出肉粽和八宝粽的总个数，再用肉粽和八宝粽的总个数减去八宝粽的个数即可得到肉粽的个数． 解：由题意可得，肉粽和八宝粽的总个数为：（个） ∴肉粽的个数为（个）． 2.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由图可知，小狗在如图所示的方砖上走来走去，随意停在黑色方砖上的概率为． 3.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 4.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）从，0，1，2中任取一个数作为m，使得二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再根据二次函数与轴有两个不同交点的条件找出符合要求的的个数，最后计算概率． 解：从，，，中任取一个数，共有种等可能的结果． 二次函数的图象与轴有两个不同交点，需满足根的判别式． 对于，，，， 可得：， 令，即， 解得． 在给出的个数中，满足的数为，，共种符合条件的结果． 因此所求概率为． 题型7：用频率估计概率基础 1.（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 2.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）投壶是我国古代的一种投掷游戏．某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为（     ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【分析】观察折线统计图，分析随着试验次数（投壶次数）的增加，事件发生的频率（投中频率）的变化趋势．当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，该常数即为概率的估计值． 解：观察折线统计图，横轴代表投壶次数，纵轴代表投中频率．随着投壶次数的不断增加，投中频率的折线波动幅度逐渐减小，呈现出逐渐稳定的趋势． 观察折线在试验次数较多时（如400次至500次）的位置，可以看出频率数值始终在0.40附近波动． 因此，估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为0.4． 3.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【分析】大量的试验后，频率约等于概率，利用红色卡片的数量除以其频率即可求出总的卡片数量． 解：根据题意有：． 4.（25-26八年级下·陕西西安·期末）数学课上，王老师与同学们进行“用频率估计概率”的试验．在一个不透明的箱子中装有8个型公仔和4个型公仔，它们除图案不同外，大小、质地都完全相同．试验要求每次从箱子中随机取出一个公仔，记录结果后放回，重复多次．如图为某种公仔出现频率的折线统计图．根据图中频率的稳定趋势判断，该折线图所反映的频率最有可能是___________型公仔．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式分别求出取出两种公仔的概率，再观察折线图中频率的稳定值，将两者进行对比即可得出结论． 解：由题意可知，箱子中共有公仔（个）， 则取出A型公仔的概率为，取出B型公仔的概率为 观察折线统计图可知，随着试验次数的增加，该种公仔出现的频率在至之间波动并趋于稳定， ∵在至之间，而不在该范围内， ∴该折线图所反映的频率最有可能是型公仔． 题型8：圆相关概念辨析 1.（24-25九年级上·云南玉溪·期中）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，反之弦也是直径 B．长度相等的弧是等弧 C．直径所对的圆周角等于 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可． 解：A、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，原选项说法错误，不符合题意； C、直径所对的圆周角等于，原选项说法正确，符合题意； D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，原选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 2.（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列命题中是真命题的为（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．任何三角形有且只有一个内切圆 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧”、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．根据等弧的定义、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论逐项判断即可得． 解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧，则此项是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题，不符合题意； C、因为三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的角平分线的交点，只有一个，所以任何三角形有且只有一个内切圆，则此项是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 3.（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 【答案】①②③④ 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点拨】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是直径所在的直线，且平分，，，则：①；②；③；④，其中结论正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查圆综合，涉及角平分线性质、三角形全等的判定与性质、弦和弧的关系、垂径定理、圆周角定理等知识，灵活运用圆的性质进行证明是解决问题的关键． 解：是直径所在的直线，且平分，，， ， 连接，如图所示： 在和中， ， ， ，， ，， 由垂径定理可得， ，①正确； ， ，则，②正确； 连接，如图所示： 由题意可知，， ， ， ， ，③正确； 对于④，题中条件无法给予证明，故④不正确； 故答案为：①②③． 题型9：垂径定理基础线段计算 1.（26-27九年级上·天津·期中）如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（     ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可． 解：连接，如图所示： ∵半径于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 解：由题意可得：， ∵经过圆心， ∴， 如图，连接， ， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径是． 3.（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 4.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． 题型10：圆心角、圆周角基础角度计算 1.（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解． 解：如图，连接， 根据作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 3.（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，为的直径，点在上，且，若，则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，三角形的内角和定理，由，则，所以，由圆周角定理可得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，内接于，，，为的直径，________ ． 【答案】 【分析】由内接于，，，可得等腰三角形中； 由直径所对的圆周角为直角，可得中；再由同弧所对的圆周角相等可得，进而得出；再由，即可求得的度数． 解：∵内接于，，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴在中， 又∵， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $