专题01 期中复习压轴23类题型归纳（考试范围：第1章 二次函数～第3章 圆的基本性质）（举一反三讲义）数学新教材浙教版九年级上册

专题01 期中复习压轴23类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 二次函数~第3章 圆的基本性质） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 二次函数系数结论辨析】 1 【题型2 二次函数中参数范围求解】 8 【题型3 几何面积概率综合】 11 【题型4  已知概率反求参数】 14 【题型5 列表法或树状图法求概率】 16 【题型6 圆周角求值问题】 19 【题型7 圆内折叠角度长度计算】 23 【题型8 点到圆距离问题】 30 【题型9 扇形阴影面积计算】 35 【题型10 正多边形圆内角度计算】 39 【解答压轴】 43 【题型11 二次函数线段与面积最值】 43 【题型12 二次函数特殊点存在性探究】 59 【题型13 二次函数的应用】 70 【题型14 两步试验判断游戏公平】 80 【题型15 结合频数频率估算概率】 83 【题型16 概率的应用】 88 【题型17 概率方案设计与说理】 94 【题型18 圆周角综合证明计算题】 99 【题型19 圆内折叠几何综合大题】 108 【题型20 圆动点线段探究题】 117 【题型21 圆与几何图形综合求值】 127 【题型22 弧长或面积综合应用】 135 【题型23 圆中动点存在性探究题】 144 【选填压轴】 【题型1 二次函数系数结论辨析】 【例1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 【变式1-1】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中：下列四个结论：①；②；③、为抛物线上两点，若满足时，则；④若时，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，抛物线的增减性，一元二次方程根的判别式等解答即可. 【详解】解：∵二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴, 故①正确； 根据题意，得，1是方程的两个根， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴， ∴ 故②正确； ∵、为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； 故③错误； 当时，则方程变形为，整理，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故有两个不相等的实数根， 故④正确； 综上所述，正确的序号为：①②④． 【题型2 二次函数中参数范围求解】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于任意实数a，抛物线与x轴至少有一个公共点，则b的取值的范围是______． 【答案】 【分析】根据已知条件可知：一元二次方程有实数根，则，得对任意的实数a都成立，只要求出的最大值，即可得解． 【详解】解：抛物线与x轴至少有一个公共点， 一元二次方程有实数根， ， 对任意的实数a都成立， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图像与系数的关系、配方法求二次函数的最大值是解决此题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有4个公共点． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得离对称轴越远，函数值越大，根据题意可得点A一定在点B的左侧，那么点A和点B不能同时在对称轴右侧，据此可得，当时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足；当时，则的最小值一定要大于的最大值，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A一定在点B的左侧， 又∵， ∴点A和点B不能同时在对称轴右侧（在对称轴右侧y随x增大而增大，此时必定不满足题意）， ∴， ∴； 当，即时，点A和点B都在对称轴的左侧，此时一定满足； 当时，， ∵要恒成立， ∴的最小值一定要大于的最大值， ∴， 解得， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图像经过两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值的范围为___________． 【答案】/ 【分析】先根据已知推导出：，当时，，即可求出，然后再根据抛物线开口向下，最大值为，得判别式，由此得，综合即可得解． 【详解】解：将代入抛物线表达式得：， 整理得， 并整理得：； ， 把代入并解得：， 故， 当时，， ， 故， 又，该二次函数的最大值为， 方程无实数根， ， ， 即， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得与判别式是解答此题的关键． 【题型3 几何面积概率综合】 【例3】（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 【变式3-1】（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 【变式3-2】（2026·四川成都·二模）如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：∵阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积， ∴阴影部分的面积，正方形的面积为1， ∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 【变式3-3】（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 【题型4  已知概率反求参数】 【例4】（2026·四川自贡·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的个红球，个白球，个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则_________． 【答案】 【分析】根据概率的计算公式，列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值. 【详解】解：口袋中球的总个数为， 根据概率公式可得， 去分母得， 移项得， 解得， 经检验是原方程的解． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，熟知摸到红球的概率等于红球的个数除以球的总数是解题的关键．要使摸到红球的概率为，需添加后袋子中红球总数等于黄球总数，据此验证各选项即可． 【详解】要使摸到红球的概率为，需满足添加后红球总数等于黄球总数 ∵原袋中有个红球，个黄球 ∴逐一验证选项： A、添加个黄球后，黄球数为，与红球数相等，符合要求，故不符合题意； B、添加个红球后，红球数为，黄球数为，，不符合要求，故符合题意； C、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意； D、添加个红球、个黄球后，红球数为，黄球数为，两者相等，符合要求，故不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·二模）一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有_______个球． 【答案】10 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设袋子中一共有x个球， 随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中一共有10个球． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 【题型5 列表法或树状图法求概率】 【例5】（2026·山西临汾·二模）周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 【答案】 【分析】利用树状图法求解即可． 找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解． 【详解】解：画出树状图，如图： 总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3， 故小夏和小彦坐在同一排的概率为：． 【变式5-1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 【变式5-2】（2025九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 【变式5-3】（2026·山东菏泽·二模）某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【答案】 【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9个，符合连续传递两次后，任务回到组的结果数为3个，所以概率为． 【题型6 圆周角求值问题】 【例6】（2025·四川自贡·三模）是的内接三角形，，的半径为5，若点P是上的一点，在中，，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接、、，设交于点，根据圆周角定理求出，判定为等边三角形得出，利用线段垂直平分线判定定理得出，结合勾股定理求解． 【详解】解：连接、、，设交于点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ，垂直平分， ，， ， 在中，， ∴． 【变式6-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 【变式6-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-3】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 【题型7 圆内折叠角度长度计算】 【例7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【答案】 / 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 【详解】解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 【变式7-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F，先确定，由勾股定理得，可得，然后根据圆周角定理得到，继而得到点D、E为翻折前后的对应点，然后证明，再由等腰三角形的性质，结合解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长交于点E，连接，过点作于点F， ∵为直径， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴点E为点D关于的对称点， ∴由翻折得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，难度较大，方法不唯一，解题的关键在于辅助线的添加，合理利用圆的有关性质． 【变式7-2】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 【答案】或 【分析】以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，，此时，即为翻折后的线段，分情况讨论：当时和当时，分别作，的角平分线，交上一点为，，利用圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质及解直角三角形等性质作出对应的辅助线，通过计算得出对应的线段长度即可． 【详解】解：如图，以点B为圆心，长为半径画圆，交于点，， 此时，即为翻折后的线段， ①当时， 作的角平分线，交上一点为，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 过点B作交于点N， ∵， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴弦的长度为； ②当时， 作的角平分线，交上一点为，连接，， 同理可得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点M， ∵， ∴，则， 在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，， ∴弦的长度为， 综上所述，这条弦长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的性质，翻折的性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，勾股定理及解含的直角三角形等知识点． 【题型8 点到圆距离问题】 【例8】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值． 【详解】点的坐标为， 半圆半径． 半圆交轴于点， ． 设轴负半轴与半圆交点为， 则，． 轴， ． 点为和的角平分线交点， 点为的内心． ． 点在的平分线上， ． 在和中， ． ． 点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为． 圆周角为，且点在轴上方， 圆心在轴下方，且． ，为等腰直角三角形， 点的横坐标为，纵坐标为， 即．． 连接， 当三点共线时，取得最小值．． 的最小值为． 故答案为：． 【变式8-1】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 【变式8-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 【变式8-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 【答案】 120 【分析】可证明得到，则可证明，再根据即可求；点F的运动路径是以点O为圆心的，且，连接、、、，证明得到，，进而可得，在中，，由勾股定理求出，进而可求、，根据，可得当O、F、C三点共线时，线段的长最小． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； 如答图所示，点F的运动路径是以点O为圆心的，且， 连接、、、． ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， 由勾股定理，得， 即， 解得或（舍）， 此时，， ∵点F在上运动，总有，即， ∴当O、F、C三点共线时，线段的长最小，最小值为． 【题型9 扇形阴影面积计算】 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【变式9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 【变式9-2】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据 即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差. 【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形 作，则           故选：D 【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键 【变式9-3】（2026·重庆江津·三模）如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得：，，因为点是的中点，点是的中点，可得：，，根据三角形中位线定理可以求出，，根据扇形的面积公式和梯形的面积公式可以求出，，再根据求出结果． 【详解】解：，，， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， 是的中位线， ， ，， ， ， ， . 【题型10 正多边形圆内角度计算】 【例10】（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 【变式10-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 【解答压轴】 【题型11 二次函数线段与面积最值】 【例11】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，代入函数解析式求得a、b的值即可； （2）先说明的面积是定值，则要使的面积最大，只需的面积最大即可；如图：过P作于H，过P作于I，设，则，利用割补法可得的面积，再利用二次函数的性质求得最大时p的值，即可确定最大时，点P的坐标；再说明要求周长的最小值，只需求得的最小值，再利用平移和轴对称的性质求最值即可； （3）先求得，新抛物线的解析式为，如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U，利用平行线的性质和等量代换可知点Q为直线与抛物线在第一象限的交点；再想法求得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可；如图：取点M关于的对称点，则，易得点是直线与在第三或第四象限的交点；利用垂直平分线的性质、中点坐标、勾股定理求得，利用待定系数法可得直线的解析式为，再与新抛物线的解析式联立求解，并选择符合题意的点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 过点，， ∴，解得：． ∴抛物线解析式． （2）解：∵抛物线解析式， ∴， ∵点是线段中点， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 如图：过F作于G， ∵， ∴是定值， ∴的面积是定值， ∴要使的面积最大，只需的面积最大即可． 如图：过P作于H，过P作于I， 设，则， ∴，，， ∴的面积为， 整理得：， ∴该函数抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的面积S有最大值， ∴当时，的面积S有最大值，的面积有最大值； ∵，， ∴， ∵将线段沿轴平移，在平移过程中记为， ∴， ∴要求周长的最小值，只需求得的最小值， 如图：将点向上平移一个单位得到点，则， ∴， 如图：作点P关y轴的对称点，连接， 当三点共线时，最小值为,即的最小值为， ∵． ∴的最小值为， ∴周长的最小值． （3）解：由（2）可知直线的解析式为， ∵横坐标为， ∴， ∵直线的解析式为，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，， ∴设新抛物线的解析式为： ， ∵新抛物线经过点， ∴，解得：，（不合题意、舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 如图：过G作交y轴于点M， 过C作交于点U， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即点Q为直线与抛物线在第一象限的交点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴； ∵直线的解析式为， ∴， 如图：取点M关于的对称点，则， ∴，， ∴点是直线与在第三或第四象限的交点， ∵点M关于的对称点， ∴的中点坐标为，且在直线上， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴，整理得：， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（不合题意舍去）， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【变式11-1】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1)①② (2) 【分析】 （1）①先根据平移得，再把，分别代入，解得，即； ②算出，则，证明，再求出直线的解析式为，依题意得，解得，，又因为抛物线上的点E的横坐标为m，且，故，故把代入，得； （2）根据二次函数的图象性质，得，，，过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，，再证明，则，又因为的最小值为，即，再结合勾股定理列式计算，得，解得． 【详解】（1）解：①依题意，抛物线与y轴相交于点C， ∴， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，点D落在该抛物线上， ∴， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ②由①得，，， ∴， 连接，与y轴相交于点，如图所示： 当时，则， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 把，代入， 得， 解得， ∴， 依题意得， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得，， ∵抛物线上的点E的横坐标为m，且， ∴， 故把代入，得， 即； （2）解：∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点， ∴， ∴， 令，则， 解得； ∵抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C， ∴，， ∵将点C水平向右平移2个单位长度得到点D， ∴射线的解析式为 过点作射线交抛物线于点，在射线上取一点G，使．连接，， ∵轴，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵的最小值为 ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴，（舍去） 【变式11-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 【变式11-3】（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设 ，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设 ，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． 【题型12 二次函数特殊点存在性探究】 【例12】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大，此时点 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过P作轴交于E，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴设直线解析式为，把，分别代入，得 ， 解得， ∴直线解析式为， 设，其中，过作轴交于，如图 则， ∴， ∴， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，面积最大． 此时，即； （3）解：存在，理由如下： ①当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； ②当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【变式12-1】（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【变式12-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 【题型13 二次函数的应用】 【例13】（26-27九年级·全国·暑假作业）综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【答案】(1)16，，， (2) (3) 【分析】（1）由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线，的解析式； （2）由和所在抛物线关于点对称可得和，再将代入解析式即可得解； （3）先确定直线与交于最高点时，由此确定此时直线与必有交点，最后再确定和直线有交点时，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，顶点在轴上， ∴即，即， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵和关于原点中心对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：设所在抛物线为， 和所在抛物线关于点对称， ， 且的顶点和顶点也关于点对称， 即， 恰好经过的顶点， ，即， 解得， 在轴左侧， ， 所在抛物线为； （3）解：观察图3可知， 与关于轴对称， 所在抛物线为． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消去得，即， ， 解得， 当时，和直线必有交点， 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一负根． 和直线的交点坐标满足方程组， ， 消得，即， ，解得， 由韦达定理，，至少有一正根． 考虑函数，当时，， 则， ∴． 综上所述，的取值范围为． 【变式13-1】（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 某批发市场销售甲、乙两种水果．根据市场调研，甲种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足一次函数关系，乙种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足二次函数关系． 通过实践得到以下数据： 销售量x/t 1 2 3 甲种水果的销售利润/万元 0.3 0.6 0.9 乙种水果的销售利润/万元 1.4 2.6 3.6 建立模型： (1)分别求，与x的函数关系式． 问题解决： (2)市场计划在某周内销售甲、乙两种水果共．设乙种水果的销售量为，两种水果的销售利润之和为万元．（两种水果均有销售） ①求关于m的函数关系式，并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)在（2）的条件下，实际销售过程中要求总利润为6万元，且甲种水果的销售量大于乙种水果的销售量，请直接写出此时乙种水果的销售量． 【答案】(1)； (2)①；②当时，总利润w最大，最大总利润为6.6万元 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）①设乙种水果的销售量为，则甲种水果的销售量为，再结合（１）中的解析式求出关于m的函数关系式； ②利用配方法，把一般式化为顶点式，根据顶点式得到最值即可； （3）令，再解方程，结合题意确定的值即可． 【详解】（1）解：设， ，解得， ， ， ，解得， ； （2）解：①设乙种水果的销售量为，则甲种水果的销售量为， 则； ②由①可知， 则当时，总利润w最大，最大总利润为6.6万元； （3）解：令， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 则此时乙种水果的销售量为． 【变式13-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】(1)不能 (2) (3)不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【详解】（1）解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． （2）解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． （3）解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【变式13-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 【题型14 两步试验判断游戏公平】 【例14】（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【答案】解：将A盒中的2个白球记为白1、白2，红球记为红1；B盒中的白球记为白3，红球记为红2． 列表如下： 白1 白2 红1 白3 （白1，白3） （白2，白3） （红1，白3） 红2 （白1，红2） （白2，红2） （红1，红2） 可知所有等可能出现的结果共6种，其中摸出的两个球颜色相同的结果有3种，颜色不同的结果有3种． ∴小明获胜的概率为． 小颖获胜的概率为． ∵两人获胜的概率相等， ∴这个游戏公平． 【分析】标记两盒中的球，用列表列出所有等可能结果，分别计算两人获胜的概率，比较概率大小判断游戏是否公平． 【详解】略． 【变式14-1】（2025·浙江宁波·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】此游戏规则不公平，理由为： 列表如下： 3 4 5 6 1 3 4 5 6 2 6 8 10 12 3 9 12 15 18 ∵所有等可能的情况数有12种，其中乘积为奇数的情况有4种，乘积为偶数的情况数有8种， ∴P（甲获胜）＝，P（乙获胜）＝， ∵， ∴此游戏规则不公平． 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出乘积为奇数和偶数的情况数，进而求出甲乙两人获胜的概率，比较即可． 【详解】略 【变式14-2】（2026·云南昆明·模拟预测）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)所有可能结果共9种，分别为 2 1 3 (2) 解：游戏公平，理由如下： 由（1）可知所有等可能的结果共9种， 其中，满足的结果有、、，共3种， 满足的结果有、、，共3种， 甲获得门票的概率： ， 乙获得门票的概率： ， ∵， ∴这个游戏公平． 【分析】（1）根据题意列表，即可得所有可能结果； （2）由所有可能结果，结合题意可得甲获得这张门票的概率和乙获得这张门票的概率，进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-3】（2026·福建漳州·模拟预测）某热播电视剧的主创人员参加电视游戏节目，宣传该剧的同时参加游戏节目所获得的奖金将用于资助贫困山区学生．游戏节目规则如下：现有四扇关闭的门（外观均相同），其中一扇门后有该电视剧的海报，另外三扇门后则没有任何物品，每位主创人员选择其中的一扇门，若选中的门后有该电视剧的海报，则可获得奖金． (1)求每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率； (2)为了提高主创人员的游戏参与度，游戏节目组将规则进行了调整，新的规则如下：现有四扇关闭的门，其中两扇门后面有该电视剧的海报，另外两扇门后面则没有任何物品，每位主创人员可先选择其中的一扇门，之后关闭这扇门并由主持人移动门的位置（此时主创人员背对门），最后由这名主创人员再重新选择一扇门打开，若两次选中的门后均有该电视剧的海报，则可获得奖金．请你判断调整规则后获得奖金的概率有没有提高，若有提高请说明理由，若没有提高，请说明理由并给出一个修改方案使得在调整后的游戏规则下获得奖金的概率比原始规则有所提高（新提出的修改方案不用说明理由）． 【答案】(1) (2)调整规则后获得奖金的概率没有提高．修改方案示例：若两次选门中至少有一次选中有海报的门则获得奖金．（其他符合要求的方案均可） 解：调整规则后，共有4扇门，其中2扇门后有海报，两次选择相互独立， 第一次选门时，选中有海报门的概率为， 主持人移动门位置后，第二次选门时，选中有海报的门的概率仍为， 设两扇有海报的门为，两扇没有有海报的门为，画树状图如下： 所有等可能的情况为16种，两次都选中情况共有4种，两次都选中才能获奖，因此调整规则后的获奖概率为， 与原规则获奖概率相等，因此调整规则后获得奖金的概率没有提高． 修改方案：若两次选门中至少有一次选中有海报的门，则可获得奖金． 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）解：已知共有4扇门，只有1扇门后有海报，选择是等可能的， 总共有4种等可能的选择结果，其中获奖的结果有1种， 因此每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率为． （2）略 【题型15 结合频数频率估算概率】 【例15】（2026·内蒙古通辽·三模）某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】(1)， (2)需再加入铅笔14支 (3) 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系求解即可； （2）根据表格数据可知，随着摸取总次数的增加，摸到限定款的频率在附近波动，可估计摸到限定款的概率约为，故设原盲盒中笔的总数为，则，求得，进而可得答案； （3）设限定款钢笔为x，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表得到所有的等可能结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； （3）解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下：                                                        共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 【变式15-1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【答案】(1) (2)袋中白球有3个 (3) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，利用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式及列表法求概率是解题的关键．（1）根据大量重复试验中频率的稳定值估计黑球概率；（2）设白球个数，利用黑球概率公式列方程求解；（3）按“第一列是第一次、第一行是第二次”的格式列表，统计所有结果及符合“一黑一白”的结果数，计算概率． 【详解】（1）解：观察表格，当试验次数增多时，摸到黑球的频率稳定在0.25附近，故估计从袋中摸出一个黑球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中白球有x个，则球的总个数为个， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴袋中白球有3个； （3）袋中球为1个黑球（记为B）、3个白球（记为、、），小强同学无放回地连续两次摸球，列表如下： 第一次\第二次 B B — — — — 总结果数为12种，其中“一个黑球一个白球”的结果有6种（、、、、、）， 故摸出一个黑球一个白球的概率：． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)小明后来放进了25个黑球 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 【变式15-3】（25-26九年级下·福建漳州·阶段检测）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【详解】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 【题型16 概率的应用】 【例16】（25-26七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：如图， ∴（谢谢），（古灶挂件），（祖庙模型）（电影票）， ∴（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【分析】根据概率公式即可求解； 先列表，然后通过概率公式即可求解； 根据概率公式进行图案设计即可． 【详解】（1）解：一次就抽到“古灶挂件”的概率是； （2）解：列表如下， 谢谢 谢谢 谢谢 古灶挂件 古灶挂件 醒狮恤 国潮狮头 祖庙模型 电影票 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 谢谢 谢谢，谢谢 谢谢，谢谢 古灶挂件，谢谢 古灶挂件，谢谢 醒狮恤，谢谢 国潮狮头，谢谢 祖庙模型，谢谢 电影票，谢谢 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 谢谢，古灶挂件 古灶挂件，古灶挂件 醒狮恤，古灶挂件 国潮狮头，古灶挂件 祖庙模型，古灶挂件 电影票，古灶挂件 醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 谢谢，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 古灶挂件，醒狮恤 国潮狮头，醒狮恤 祖庙模型，醒狮恤 电影票，醒狮恤 国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 谢谢，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 古灶挂件，国潮狮头 醒狮恤，国潮狮头 祖庙模型，国潮狮头 电影票，国潮狮头 祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 谢谢，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 古灶挂件，祖庙模型 醒狮恤，祖庙模型 国潮狮头，祖庙模型 电影票，祖庙模型 电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 谢谢，电影票 古灶挂件，电影票 古灶挂件，电影票 醒狮恤，电影票 国潮狮头，电影票 祖庙模型，电影票 一共有种等可能的结果，第二次抽到“古灶挂件”的结果有种， ∴第二次抽到“古灶挂件”的概率是； （3）略． 【变式16-1】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【答案】乙胜的概率为． 【分析】设进球为1，未进为0，第四轮的甲、乙比分情况为：，，，，所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，， ，，再得出第五轮的比赛得分可能，共12种比分可能，按比赛的规则，乙有7种获胜的可能性，结合两种上述情况即可得到结果． 【详解】解：设进球为1，未进球为0，则第四轮进球情况用列表分析为： 乙 甲 0 1 1 0 所以四轮过后的甲、乙比分情况为：，，，， 第五轮过后的比分情况用列表分析为： 第四轮过后甲乙的比分 第五轮甲乙比分 由表中比分情况，按比赛的规则可知，乙有7种获胜的可能性， 结合四轮过后的甲、乙的比分情况可得乙胜的概率为． 【变式16-2】（26-27九年级上·甘肃·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【答案】(1)解：列表如下，共有种等可能的结果数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2) (3)元 【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可； （3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况． 【详解】（1）共有种等可能的结果数，表略； （2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率为； （3）解：（元）， 答：摊主可能会从这些人身上赚走元． 【变式16-3】（2026·云南楚雄·三模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【答案】(1)1，不放回，1 (2)随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球 【分析】（1）根据树状图即可解答； （2）根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据树状图可知此次摸球的游戏规则是：随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球； （2）解：∵袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个， ∴随机摸出1个球是蓝球的概率为， 若要使两次均摸出蓝球的概率为，则树状图为： 游戏规则应该变为随机摸出1个球后放回袋中，再随机摸出1个球． 【题型17 概率方案设计与说理】 【例17】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)5和6 (3)这个游戏不公平 【分析】（1）先确定5个面标有“6”，然后根据概率公式求解； （2）由于标有“5”和“6”的面最多，从而得到向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）先确定20个数据中奇数与偶数的个数，再计算出小明获胜和小红获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴有5个面标有“6”， ∴任意掷这枚骰子，共有种等可能性的情况，其中向上一面的数字是“6”的有5种， ∴向上一面的数字是“6”的概率； （2）解：∵标有“5”和“6”的面最多，5个面标有“5”，5个面标有“6”， ∴向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）解：∵20个数字中，奇数有9个，偶数有11个， ∴小明获胜的概率，小红获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式17-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)设计方案如图， 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【详解】（1）解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． （2）解：20元对应的圆心角为， ． （3）解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． （4）解：谢谢参与对应的圆心角为， ． （5）解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． 【变式17-2】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）有两个不透明的盒子和3个白球，2个黄球，这5个小球除颜色外完全相同．在第一个盒中放入2个白球和1个黄球，在第二个盒中放入1个白球和1个黄球，并摇匀．分别从每个盒中随机取出1个球，会出现三种情况：①都是白球；②都是黄球；③一个是白球，一个是黄球． (1)求取出的2个球都是黄球的概率； (2)请你在下图中设计一个转盘游戏，使其结果的情况与题干中描述的情况相同，且概率一致． 要求： ①用虚线划分区域，说明划分标准，并用字母，）标注颜色； ②说明转盘的规则：自由转动转盘，当它停止转动时指针所指位置（若多次转动可说明如何组合）如何与题干中的三种情况对应． 【答案】(1) (2)如图所示：将圆六等分， A区域表示（白，白），B区域表示（黄，黄），C区域表示一个黄一个白， 转动转盘，指针所指A区域概率为：；指针所指B区域概率为：；指针所指C区域概率为：． 【分析】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意，利用列表法或树状图法求概率即可； （2）根据（1）中结果，设计转盘即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 白 白 黄 白 （白，白） （白，白） （白，黄） 黄 （黄，白） （黄，白） （黄，黄） 共有6种等可能的结果，其中出现2个球都是黄球的只有1种结果， ∴取出的2个球都是黄球的概率为； （2）由（1）得出现2个球都是白球的概率为；出现一个黄球一个白球的概率为 【变式17-3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1) 解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）略 （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 【题型18 圆周角综合证明计算题】 【例18】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 【变式18-1】（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 【变式18-2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 【变式18-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ， 又∵已知 ， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 【题型19 圆内折叠几何综合大题】 【例19】（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 【变式19-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 【变式19-2】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可； （2）过O作于H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可； （3）利用分割法求面积，得阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． （2）解：中，，， ∴， 过O作于H， 则，， 在中，，即， 解得， ． （3）解：半圆的面积， 扇形的面积， 的面积． 弦与弧围成的弓形面积， 弦与弧围成的弓形面积， 弓形面积弓形面积， ∴阴影面积扇形的面积减去弓形面积． 【变式19-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】 如图1，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】【问题情境】 小红的说法正确， 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴， 即， ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 【直接运用】 【构造运用】 【深度运用】 【分析】【问题情境】：根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 【构造运用】：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图3，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：【问题情境】略 【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； 【构造运用】：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上，如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为2的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴； 【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，直径所对的圆周角为，菱形的性质，勾股定理，三角函数，三角形三边关系定理，等边三角形的性质，最值问题，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【题型20 圆动点线段探究题】 【例20】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 【变式20-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由已知得到，根据圆周角定理证得是的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接，由圆周角定理可得弧弧，从而由垂径定理的推论得到，根据平行线的性质可证，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∴为的直径， 在中，，， ∴， ∴的半径为； （2）解：连接，    ∵， ∴弧弧． 又∵为半径， ∴． ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 【变式20-2】（2025·河北唐山·一模）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， 是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． （2）解：如图中，连接，． ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图中，连接，．    ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 【变式20-3】（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2) 解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）略 （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 【题型21 圆与几何图形综合求值】 【例21】（2026·江苏盐城·三模）如图，在半径为5的中，弦，点C在优弧上，弦于点G．连接，过点A作弦于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若点C在优弧上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度． 【答案】(1)证明：连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． (2)是，6 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质以及圆周角定理等知识． （1）连接，先证明，再根据，推出，结合等腰三角形的性质可证明； （2）过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接，在中，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，即有，结合（1）的结论，设，分别表示出，，问题得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过O作、的垂线段，垂足分别为M、N，连接， 则，， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 结合（1）的结论，设， ∴， ∴， ∴， ∴的长为定值． 【变式21-1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1) ＜； 证明：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， (2) （1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 【变式21-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1) 证明：点是的内心， ，． ，，， ， ； (2)． 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识． （1）由点是的内心，得出，，再结合圆周角定理得：，，，进而得出，由此得证； （2）由题意可得，从而得出，再结合，可推出，可以证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到在中，，根据直角三角形中所对的边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 是的直径， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【变式21-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图1，求点的坐标和的度数； (2)如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． (3)如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据勾股定理可得，即可得点的坐标，证明，可得是等边三角形，可得，由圆周角定理可得的度数； （2）连接，由（1）得，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由角平分线的定义，结合三角形外角的性质，可得，由等角对等边可得，即可求解； （3）在的延长线上截取，连接，则，证明，可得，，由圆内接四边形对角互补，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，由勾股定理可得，，即可得的值． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）解：当点在运动时，线段的长度始终不发生变化， 证明：连接， 由（1）可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在运动时，线段的长度始终不发生变化． （3）解：在的延长线上截取，连接，则， 由（1）可知， ∵，点在上，交轴于、两点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、、、在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作于，则， ∴， ∴， ∴． 【题型22 弧长或面积综合应用】 【例22】（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【答案】(1)证明：∵，分别是两个等圆和的弧，且， ∴， 又∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据等弧对等弦得出，进而根据证明； （2）连接，设交于点，证明四边形是菱形，进而求得其面积，再求得扇形的面积，进而求得风筝的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴所需风筝纸的面积为． 【变式22-1】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵，则，    ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，    ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式22-2】（2026·安徽阜阳·三模）如图，是等腰三角形的外接圆，，点D是上一点，点E是上一点，，且，连接． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，当的长与的长之比为时，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，则，证明得到，则可证明得到，据此可证明是等边三角形，则．    （2）连接，设的半径为r．根据弧长公式可证明，由圆周角定理可得，则，由勾股定理可得，再由弧长公式可得答案． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴．    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：如图2，连接，设的半径为r． ∵的长与的长之比为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为． 【变式22-3】（2026九年级上·广东广州·专题练习）如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为上的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【答案】(1) (2) ①， 证明：作于点，交的延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）由是的直径，得，而，，所以，则； （2）①作于点，交的延长线于点，因为平分，所以，可证明四边形是正方形，则，再证明 ，得，则，由，得，所以； ②作的外接圆，圆心为点，连接、、，由，，得，再证明，延长交于点，连接，可证明是等边三角形，则，由，得，求得，所以点的运动路径长为． 【详解】（1）解：是的直径， ， ，， ， ， 的长为； （2）解：① 略 ②如图2，作的外接圆，圆心为点，连接、、，则， ，， ， ，， ， ， 延长交于点，连接，则，， 是的直径， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 点从点开始沿着运动至点，则点从点开始沿着运动至点， 点运动过程中，点的运动路径为上的一段弧，即， 点的运动路径长为． 【点睛】此题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、圆周角定理、正方形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型23 圆中动点存在性探究题】 【例23】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）【问题初探】 (1)如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； (2)如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【答案】(1)14 (2)存在，的最小值为 (3)米 【分析】（1）由线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点作于点，连接，利用三角形内角和定理以及圆周角定理可得；设的半径为，则，易得，进而得到，即，从而确定的最小值； （3）如图，过点作于点，易得，进而得到，如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得，易得的周长，即当最小时，的周长最小；如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，由易得，即；设的半径为，求得，再求得r的最小值即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即的周长为14． （2）解：存在，的最小值为（或），理由如下： 如图，过点作于点，连接， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 的最小值为． （3）解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，在射线上取一点，使得，在射线上取一点，使得， 的周长， 当最小时，的周长最小， ， ， ， 如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点， 由易得， ， 设的半径为， ， ， 当最小时，最小， ， ， ， 的最小值为100， 的最小值为， 周长的最小值为米． 【变式23-1】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值． （1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数； （2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值． 【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接， 四边形为的内接四边形， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． ， 即 （2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下： 如图4所示，延长至F，使，连接， ∵ ∴ ， 从而， 又， 在中，因，， ∴，故， 从而可得，故为直径，， 即，则， 四边形周长 ， 当最大时即为直径时，四边形周长最大值为 【变式23-2】（2025·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ， 四边形是平行四边形． (2)存在，1； (3)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H． 设，则． 由，得， ． ， ， ， 是定值． 【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理： （1）道德证明四边形是矩形，得，同理可证，得出四边形是平行四边形． （2）根据点A是上的点，，得出，由得出； （3）过点作于点．设，则，求出，，计算出，进一步可得出结论 【详解】（1）略 （2）解：存在，线段的长度不变． ∵点A是上的点， 在矩形中，． ， ． （3）略 【变式23-3】（2026·黑龙江绥化·三模）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，过点A作，垂足为点M，可得的长，求出，可得的长，即得的长，即可得到结论； （2）延长交圆于点N，连接，则，可得，，得，得，即得结论； （3）过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接，可得是等腰直角三角形，得，证明，得．由，得．即得结论. 【详解】（1）解：如图，连接，过点A作，垂足为点M，则， ，， 是等腰直角三角形，则． ，， 是等腰直角三角形． ． 在中，， ． （2）证明：如图，延长交圆于点N，连接，则． ， ． ， ， ． ， ． 点P为该圆的圆心． （3）证明：如图，过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接， ， ，． 是等腰直角三角形， ． ，， ． 是直径， ． ． ． ． ． ． ． 必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴23类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 二次函数~第3章 圆的基本性质） 【新教材浙教版】 题型归纳 【选填压轴】 1 【题型1 二次函数系数结论辨析】 1 【题型2 二次函数中参数范围求解】 3 【题型3 几何面积概率综合】 4 【题型4  已知概率反求参数】 5 【题型5 列表法或树状图法求概率】 5 【题型6 圆周角求值问题】 6 【题型7 圆内折叠角度长度计算】 7 【题型8 点到圆距离问题】 8 【题型9 扇形阴影面积计算】 9 【题型10 正多边形圆内角度计算】 11 【解答压轴】 12 【题型11 二次函数线段与面积最值】 12 【题型12 二次函数特殊点存在性探究】 13 【题型13 二次函数的应用】 15 【题型14 两步试验判断游戏公平】 18 【题型15 结合频数频率估算概率】 19 【题型16 概率的应用】 21 【题型17 概率方案设计与说理】 22 【题型18 圆周角综合证明计算题】 24 【题型19 圆内折叠几何综合大题】 26 【题型20 圆动点线段探究题】 28 【题型21 圆与几何图形综合求值】 29 【题型22 弧长或面积综合应用】 31 【题型23 圆中动点存在性探究题】 32 【选填压轴】 【题型1 二次函数系数结论辨析】 【例1】（25-26九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于正半轴，其中：下列四个结论：①；②；③、为抛物线上两点，若满足时，则；④若时，则方程有两个不相等的实数根．其中正确的是________（填写序号）． 【题型2 二次函数中参数范围求解】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）对于任意实数a，抛物线与x轴至少有一个公共点，则b的取值的范围是______． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有4个公共点时，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知点、为抛物线上的两点，当，时，都有，的范围为______． 【变式2-3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知二次函数的图像经过两点．若该二次函数的最大值为，当时，，则的取值的范围为___________． 【题型3 几何面积概率综合】 【例3】（2026·广东湛江·模拟预测）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·福建福州·模拟预测）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·四川成都·二模）如图，正方形纸片的边长为1，以各边为直径在正方形内作四个半圆，中间阴影部分形成了一朵花瓣的形状．小明利用这张纸片做“投针实验”：随机向这张纸片投掷一枚钢针，针尖扎在纸片上完成一次实验，未扎中则重投．钢针扎在花瓣上的概率为______． 【变式3-3】（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【题型4  已知概率反求参数】 【例4】（2026·四川自贡·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有除颜色外其他都相同的个红球，个白球，个黄球．任意从口袋中摸出一个球，摸到黄球的概率为，则_________． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的个红球和个黄球，从中随机摸出一个，要使摸到红球的概率是，需要向袋子中加入除颜色外其余均相同的小球，则下列方案不正确的是（    ） A．添加黄球个 B．添加红球个 C．添加红球个，黄球4个 D．添加红球个，黄球个 【变式4-2】（2026·内蒙古通辽·二模）一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有_______个球． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【题型5 列表法或树状图法求概率】 【例5】（2026·山西临汾·二模）周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 【变式5-1】（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025九年级下·全国·专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·山东菏泽·二模）某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【题型6 圆周角求值问题】 【例6】（2025·四川自贡·三模）是的内接三角形，，的半径为5，若点P是上的一点，在中，，则的长为_________． 【变式6-1】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【变式6-2】（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【变式6-3】（25-26九年级下·浙江丽水·开学考试）如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型7 圆内折叠角度长度计算】 【例7】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知矩形内接于，，，点是弧上一点，连接，将弧沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径________； （2）连接，若，则________． 【变式7-1】（24-25九年级下·上海普陀·阶段检测）如图，已知的半径为5，点在上，将劣弧沿直线翻折，与弦交于点，那么弦的长为___________． 【变式7-2】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知圆O的半径为5，B是圆上一点，A是圆外一点，，，若将线段沿着过点B的一条弦翻折，使得点A恰好落在圆上，求这条弦长为___________ 【题型8 点到圆距离问题】 【例8】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【变式8-1】（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式8-2】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式8-3】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）已知，如图1，是等边三角形，，点、分别为边、上的两个动点（不与端点重合），且，连接、交于点，则________；若连接，如图2所示，则线段的最小值为________． 【题型9 扇形阴影面积计算】 【例9】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【变式9-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【变式9-2】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2026·重庆江津·三模）如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【题型10 正多边形圆内角度计算】 【例10】（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【变式10-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【解答压轴】 【题型11 二次函数线段与面积最值】 【例11】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）过点，，与轴交于点，作直线．点是线段中点，过点的直线且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线下方抛物线上有一点，连接、，与交于点，连接，将线段沿轴平移，在平移过程中记为．当最大时，求周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点，点在延长线上，横坐标为，点是新抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【变式11-1】（2026·天津和平·一模）已知抛物线（a，b是常数，）与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C，将点C水平向右平移2个单位长度得到点D，连接． (1)当点D落在该抛物线上时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上的点E的横坐标为m，且，若，求点E的坐标； (2)点M是线段上一动点，连接，点N是射线上一动点，且满足，连接．当的最小值为时，求a的值． 【变式11-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．动点在线段上（点与点不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标； (3)如图3，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【题型12 二次函数特殊点存在性探究】 【例12】（26-27九年级上·重庆长寿·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-1】（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型13 二次函数的应用】 【例13】（26-27九年级·全国·暑假作业）综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 【变式13-1】（2026·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境： 某批发市场销售甲、乙两种水果．根据市场调研，甲种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足一次函数关系，乙种水果的销售利润（单位：万元）与销售量x（单位：t）满足二次函数关系． 通过实践得到以下数据： 销售量x/t 1 2 3 甲种水果的销售利润/万元 0.3 0.6 0.9 乙种水果的销售利润/万元 1.4 2.6 3.6 建立模型： (1)分别求，与x的函数关系式． 问题解决： (2)市场计划在某周内销售甲、乙两种水果共．设乙种水果的销售量为，两种水果的销售利润之和为万元．（两种水果均有销售） ①求关于m的函数关系式，并直接写出m的取值范围； ②当m为何值时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)在（2）的条件下，实际销售过程中要求总利润为6万元，且甲种水果的销售量大于乙种水果的销售量，请直接写出此时乙种水果的销售量． 【变式13-2】（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． (1)向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【变式13-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【题型14 两步试验判断游戏公平】 【例14】（2026·山东青岛·中考真题）小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览．游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸出的两个球颜色不同，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，并说明这个游戏是否公平． 【变式14-1】（2025·浙江宁波·二模）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B、转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相乘，如果乘积是奇数，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？请用树状图或列表法说明理由． 【变式14-2】（2026·云南昆明·模拟预测）为获得晋宁石寨山考古遗址公园的一张门票，甲、乙两位同学玩以下游戏：在不透明的A，B两个口袋中，各装有3个完全相同的小球，A口袋中小球标的数字分别是，2，；B口袋中小球标的数字分别是1，，3．现甲从A口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为x，乙从B口袋中随机摸出一个小球，上面数字记为y．如果，则甲获得这张门票；如果，则乙获得这张门票． (1)请用画树状图或列表的方法求出甲乙摸到的所有可能结果； (2)这个游戏公平吗？为什么？ 【变式14-3】（2026·福建漳州·模拟预测）某热播电视剧的主创人员参加电视游戏节目，宣传该剧的同时参加游戏节目所获得的奖金将用于资助贫困山区学生．游戏节目规则如下：现有四扇关闭的门（外观均相同），其中一扇门后有该电视剧的海报，另外三扇门后则没有任何物品，每位主创人员选择其中的一扇门，若选中的门后有该电视剧的海报，则可获得奖金． (1)求每名主创人员参与一次游戏获得奖金的概率； (2)为了提高主创人员的游戏参与度，游戏节目组将规则进行了调整，新的规则如下：现有四扇关闭的门，其中两扇门后面有该电视剧的海报，另外两扇门后面则没有任何物品，每位主创人员可先选择其中的一扇门，之后关闭这扇门并由主持人移动门的位置（此时主创人员背对门），最后由这名主创人员再重新选择一扇门打开，若两次选中的门后均有该电视剧的海报，则可获得奖金．请你判断调整规则后获得奖金的概率有没有提高，若有提高请说明理由，若没有提高，请说明理由并给出一个修改方案使得在调整后的游戏规则下获得奖金的概率比原始规则有所提高（新提出的修改方案不用说明理由）． 【题型15 结合频数频率估算概率】 【例15】（2026·内蒙古通辽·三模）某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【变式15-1】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅匀，让学生进行摸球试验，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后；放回，如表所示是试验得到的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 48 81 130 201 250 摸到黑球的频率 (1)根据表中的有关数据，估计从袋中摸出一个黑球的概率是________； (2)估算袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学无放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算摸出一个黑球一个白球的概率． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【变式15-3】（25-26九年级下·福建漳州·阶段检测）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【题型16 概率的应用】 【例16】（25-26七年级下·广东佛山·期末）岭南天地是集历史文脉传承、旅游休闲、商业消费于一体的佛山文化新名片．内有一商家开展抽奖活动，店内消费满元即可获得一次抽奖机会（多买多送）．现场设置的翻奖牌正面、背面样式如图，在个数字中任选一个翻牌，可赢取相应的奖品． (1)一次就抽到“古灶挂件”的概率是多少？（直接写出） (2)每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．小明在店内消费超过了元，获得两次的抽奖机会．请问他第二次抽到“古灶挂件”的概率是多少？ (3)在图设计翻奖牌背面的奖品，使得（谢谢）（古灶挂件）（祖庙模型）（电影票）． 【变式16-1】（2026·云南曲靖·一模）根据以下材料，完成相应任务 点球大战 材料一 足球点球决胜法是在比赛踢成平局时，决定胜负的方法．国际足协理事会于1970年决定使用此法．在此之前是用抽签来决定胜负的．具体的方法是：裁判员选择一个球门，抽签决定哪个队先踢，然后双方交替各踢5次点球，进球多者胜．若双方在未踢满5次点球时一方已肯定获胜，裁判员即终止踢点球，宣布获胜队．若踢满5次点球后，进球数相同，则由双方的第6名队员踢点球；依此进行第7名、第8名……队员，踢点球，直至决出胜负． 材料二 在2026年滇超联赛的淘汰赛阶段，甲乙两队进行点球决胜，通过抽签甲队获得先开踢的权利 任务解决 若前三轮过后，甲、乙两队的比分为，若5轮内决出胜负，问乙赢的概率是多少？ 【变式16-2】（26-27九年级上·甘肃·期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【变式16-3】（2026·云南楚雄·三模）小悦和同学们玩摸球游戏，在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球各1个（除颜色不同外，其他无差别），请回答下列问题． (1)小悦根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是：随机摸出　　　　个球后　　　（填“放回”或“不放回”），再随机摸出　　　个球； (2)袋中球的数量不变，若要使两次均摸出蓝球的概率为，应怎样改变游戏规则？ 【题型17 概率方案设计与说理】 【例17】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【变式17-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【变式17-2】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）有两个不透明的盒子和3个白球，2个黄球，这5个小球除颜色外完全相同．在第一个盒中放入2个白球和1个黄球，在第二个盒中放入1个白球和1个黄球，并摇匀．分别从每个盒中随机取出1个球，会出现三种情况：①都是白球；②都是黄球；③一个是白球，一个是黄球． (1)求取出的2个球都是黄球的概率； (2)请你在下图中设计一个转盘游戏，使其结果的情况与题干中描述的情况相同，且概率一致． 要求： ①用虚线划分区域，说明划分标准，并用字母，）标注颜色； ②说明转盘的规则：自由转动转盘，当它停止转动时指针所指位置（若多次转动可说明如何组合）如何与题干中的三种情况对应． 【变式17-3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【题型18 圆周角综合证明计算题】 【例18】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式18-2】（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式18-3】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【题型19 圆内折叠几何综合大题】 【例19】（24-25九年级上·浙江台州·阶段检测）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【变式19-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【变式19-2】（2025·贵州遵义·一模）如图，是半的直径，，连接，沿翻折弧，恰好经过圆心O． (1)________； (2)若，求的半径r； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【变式19-3】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】 如图1，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【题型20 圆动点线段探究题】 【例20】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式20-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【变式20-2】（2025·河北唐山·一模）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求的半径； (2)当时，求的度数； (3)连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值． 【变式20-3】（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【题型21 圆与几何图形综合求值】 【例21】（2026·江苏盐城·三模）如图，在半径为5的中，弦，点C在优弧上，弦于点G．连接，过点A作弦于点H，交于点F． (1)求证：； (2)若点C在优弧上运动，判断线段的长是否为定值？若是，求出其长度． 【变式21-1】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【变式21-2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，是的直径，点是的内心，的延长线交于点，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【变式21-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，． (1)如图1，求点的坐标和的度数； (2)如图2，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明． (3)如图3，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值． 【题型22 弧长或面积综合应用】 【例22】（2026·浙江杭州·二模）【问题背景】 风筝，古称“纸鸢”，是中国传统手工艺瑰宝，其经典骨架结构的平面图如图1所示．某校开展“传统工艺中的数学”探究活动，对风筝骨架展开证明与计算． 【数学理解】 如图2，在风筝骨架中，，，分别是两个等圆和的弧，且． (1)求证：． (2)在制作好风筝骨架结构后，需贴上如图1所示的风筝纸，其中，，，求所需风筝纸的面积（点，，三处的装饰物不计）． 【变式22-1】（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式22-2】（2026·安徽阜阳·三模）如图，是等腰三角形的外接圆，，点D是上一点，点E是上一点，，且，连接． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，当的长与的长之比为时，若，求的长． 【变式22-3】（2026九年级上·广东广州·专题练习）如图，是内接于，是的直径，，． (1)求的长； (2)点为上的一个动点，且位于直线的上方，点从点开始沿着运动至点，连接，延长交于点，连接，． ①当平分时，试探究，和三者之间的数量关系，并证明你的结论； ②与交于点，求点运动过程中，点的运动路径长． 【题型23 圆中动点存在性探究题】 【例23】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）【问题初探】 (1)如图1，在中，延长至点，使得，延长至点，使得．若，则的周长为_____； (2)如图2，在中，，过点作于点，作的外接圆，连接，已知，请问是否存在最小值？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某生态园区内有一块四边形空地，其中，，米，米．连接，现计划沿修建一条休闲步道，同时在线段上选取两个可移动的智能监测点，保证观测角，且由点为顶点构成的三角形区域的周长尽可能的小，以节约材料成本并缩短布线距离．请你帮助规划师计算周长的最小值．（步道的宽度及监测点的大小均忽略不计） 【变式23-1】（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）【问题探究】 （1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数； 【问题解决】 （2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式23-2】（2025·广东江门·模拟预测）综合探究 如图，在扇形中，是上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当点在上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；若不存在，请说明理由． (3)求证：是定值． 【变式23-3】（2026·黑龙江绥化·三模）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $