专题03二次函数与一元二次方程的关系期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题03二次函数与一元二次方程的关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的联系，明确二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，令y=0即得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 2.掌握一元二次方程的实数根与抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，会用判别式Δ=b2-4ac判断方程根的情况及抛物线与x轴交点个数。 3.能借助二次函数图象估计一元二次方程的近似根，体会数形结合思想。 4.掌握二次函数交点式，能由抛物线与x轴交点坐标写出函数表达式。 ✵高频题型梳理 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式解集 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数与一元二次方程的联系 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0。 一元二次方程的实数根，是抛物线与x轴交点的横坐标；抛物线与x轴交点的横坐标，是对应一元二次方程的实数根。 知识点二、二次函数图象与x轴交点情况决定一元二次方程根的情况 1.Δ=b2-4ac>0：方程有两个不相等实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。 2.Δ=b2-4ac=0：方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴仅有一个交点，顶点在x轴上。 3.Δ=b2-4ac<0：方程无实数根，二次函数的图象与x轴无交点。 知识点三、二次函数交点式 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(,0）、(,0)，则y=a(x-)(x-)(a≠0)，其中(,)为方程ax2+bx+c=0的实数根。 知识点四、利用图象求方程近似根 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 ✵易错提醒 1.讨论上述关系的前提为a≠0，a=0时，式子不再是二次函数与一元二次方程。 2.Δ=0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x轴是一个交点，表述不可混淆。 3.Δ<0时，抛物线与x轴无交点，不能写成交点式。 ✵典例精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 2．二次函数的图象与轴交于，则的值为________． 3．解决下列问题： (1)求二次函数的图象与轴的公共点坐标； (2)已知抛物线的顶点为，求，的值． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 3．已知二次函数（，a，b均为常数）过点． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 1．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．根据有关资料，在湿滑的路面上，某汽车的刹车距离与车速之间满足如下关系：，则当汽车的刹车距离s为时，车速v为________． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．抛物线与轴只有一个公共点，则的值是（     ） A． B． C． D．以上都不正确 2．如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 3．已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴有两个交点，求c的取值范围； (2)若该函数图象与x轴只有一个交点，求c的值，并求出这个交点的坐标； (3)若该函数图象与x轴没有交点，则当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出这个最小值（用含c的式子表示）． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 3．已知抛物线：经过点． (1)用含的代数式表示； (2)若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标； (3)当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 2．已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 3．利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 2．如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 3．已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．从的图象上可以看出，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．当时，函数的取值范围是_____________． 3．已知二次函数． (1)抛物线开口__________，顶点为__________； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，则的取值范围为__________． 题型10.根据交点确定不等式解集 1．二次函数图象上部分的对应值如下表，则时，x的取值范围是（     ） x 0 1 2 3 y 0 2 2 0 A． B．或 C． D．或 2．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 3．二次函数的图像如图所示，根据图像填空： (1)方程的两个根为________； (2)不等式的解集为________； (3)若方程只有一个实数根，求的值________； (4)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． ✵分层专项训练 一、单选题 1．抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（     ） A．和2之间 B．2和之间 C．和3之间 D．3和之间 4．已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 6．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 三、解答题 7．已知抛物线． (1)图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； (2)分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； (4)观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 8．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：_________； (2)写出不等式的解集：_________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围_________； 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，点为二次函数图象的顶点，点在轴上． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象，求二次函数的函数值小于时，自变量的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数与一元二次方程的关系期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的联系，明确二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，令y=0即得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 2.掌握一元二次方程的实数根与抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，会用判别式Δ=b2-4ac判断方程根的情况及抛物线与x轴交点个数。 3.能借助二次函数图象估计一元二次方程的近似根，体会数形结合思想。 4.掌握二次函数交点式，能由抛物线与x轴交点坐标写出函数表达式。 ✵高频题型梳理 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型6.求x轴与抛物线的截线长 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式解集 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、二次函数与一元二次方程的联系 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得一元二次方程ax2+bx+c=0。 一元二次方程的实数根，是抛物线与x轴交点的横坐标；抛物线与x轴交点的横坐标，是对应一元二次方程的实数根。 知识点二、二次函数图象与x轴交点情况决定一元二次方程根的情况 1.Δ=b2-4ac>0：方程有两个不相等实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。 2.Δ=b2-4ac=0：方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴仅有一个交点，顶点在x轴上。 3.Δ=b2-4ac<0：方程无实数根，二次函数的图象与x轴无交点。 知识点三、二次函数交点式 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(,0）、(,0)，则y=a(x-)(x-)(a≠0)，其中(,)为方程ax2+bx+c=0的实数根。 知识点四、利用图象求方程近似根 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象与x轴交点横坐标即为方程的根，可通过取值逼近法求近似根。 ✵易错提醒 1.讨论上述关系的前提为a≠0，a=0时，式子不再是二次函数与一元二次方程。 2.Δ=0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x轴是一个交点，表述不可混淆。 3.Δ<0时，抛物线与x轴无交点，不能写成交点式。 ✵典例精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据题意得二次项系数为正，则可判定A；根据顶点式得抛物线的对称轴，故可判断B；令，可求得抛物线与x轴的交点坐标，从而判定C；根据抛物线的对称轴及增减性可判定D，最后可确定答案． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 图象开口向上，选项A错误； ∵顶点式为， ∴对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， ∴与轴交点的横坐标是和，选项C错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 2．二次函数的图象与轴交于，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．令，求得的值即可． 【详解】解：令，得， ∴， 解得：， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为， 即的值为． 3．解决下列问题： (1)求二次函数的图象与轴的公共点坐标； (2)已知抛物线的顶点为，求，的值． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）令，解方程即可解答； （2）根据顶点坐标得，进而化为一般式即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 二次函数的图象与轴的公共点坐标为，； （2）解：由题意得， ； 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 3．已知二次函数（，a，b均为常数）过点． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若函数y的最大值为5，求该二次函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1)直线； (2) 【分析】（1）将点代入解析式，得出，进而根据对称轴公式，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知得出该二次函数图象的顶点坐标为，进而求得解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ， ， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：将代入，得， ∵函数y的最大值为5， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． 将点代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 当时，， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为． 题型3.已知二次函数的函数值，求自变量的值 1．若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 2．根据有关资料，在湿滑的路面上，某汽车的刹车距离与车速之间满足如下关系：，则当汽车的刹车距离s为时，车速v为________． 【答案】90 【分析】将代入给定关系式，得到关于的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：把代入得： ， 方程两边同乘整理得：， 因式分解得：， 解得：，， ∵车速为正数，， ∴舍去， 因此车速为． 3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是； (2)或 【分析】（1）解方程，即可得到点，的坐标； （2）把点的坐标为代入函数解析式中，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； （2）解：把点的坐标为代入， 可得：， 整理可得：， 解得：，， 的值为或． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．抛物线与轴只有一个公共点，则的值是（     ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】C 【分析】抛物线与轴仅有一个交点，则一元二次方程判别式，代入系数列方程求出的值． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得． 2．如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 【答案】 【分析】抛物线与轴只有一个交点时，对应一元二次方程的判别式为，列方程求解即可． 【详解】解：∵是抛物线， ∴该函数为二次函数，可得． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，即， 解得． 3．已知二次函数． (1)若该函数图象与x轴有两个交点，求c的取值范围； (2)若该函数图象与x轴只有一个交点，求c的值，并求出这个交点的坐标； (3)若该函数图象与x轴没有交点，则当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出这个最小值（用含c的式子表示）． 【答案】(1) (2)，交点坐标 (3)当 时，y 取最小值 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得不等式，求出解集； （2）根据一元二次方程根的判别式求出c，再解方程即可； （3）根据图象的性质可得，再根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，函数有最小值，进而得出答案． 【详解】（1）解：函数与x轴有两个交点， ∴， 即， 解得； （2）解：函数， ， 解得， 此时二次函数关系式为， 当时，， 解得， 所以交点坐标为； （3）解：图象与x轴没有交点， 则，即， 解得． ∵，抛物线开口向上， ∴函数有最小值， 配方得， 当时，y取最小值． 题型5.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的特性，分析的取值范围，转化成二次函数与直线的交点情况，结合根的数量对应关系求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴当时，，函数顶点为，过点， 当时， ，函数顶点为，过点， 下面分析与直线的交点情况， 如图所示， 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有3个交点，符合题意； 当时，直线与二次函数有4个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数没有交点，不符合题意； ∴的值为2． 2．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【分析】求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数和一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 题型6.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 2．已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 3．已知抛物线：经过点． (1)用含的代数式表示； (2)若抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，求点的坐标； (3)当时，自变量x的取值范围是：或，若点在抛物线上，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据题意，将点代入解析式即可求解； （2）根据（1）的结论得出，令，即，根据一元二次方程根与系数的关键，结合题意，得出关于的一元二次方程，解方程得出或，然后分类讨论，即可求解； （3）根据已知条件得出对称轴为直线，则，得出抛物线解析式为，得出抛物线与轴交点坐标为，；根据与有2个不等实数根求得，进而令求得当在抛物线上时的的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过点． ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， 令，即 ∴ ∵抛物线与轴交于两点，（点在点左侧），且，即① ∴ 解得：或 当，即② 由①②得， ∴ 当，即③ 由①③得 ∴ 综上所述，或 （3）解：∵当时，自变量x的取值范围是：或 ∴当时，的两个根为或，且， 对称轴为直线 ∴ 即 ∴抛物线解析式为 令，即 解得：，则抛物线与轴交点坐标为，； ∵时，， ∴，又， 解得：； 当时，解析式为 ∵在抛物线上， ∴ 解得：或     ∵，抛物线开口随着的绝对值的增大开口越小， ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型7.图象法确定一元二次方程的近似根 1．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（     ） A．3.67 B．3.56 C．3.39 D．3.26 【答案】D 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：由题意可得：当时，，当时，， 当时，， 选项D符合． 2．已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，对称性求出对称轴判断①，无法确定的符号，判断②，根据对称性确定抛物线与轴的另一个交点的位置判断③；设直线的解析式为，当时，联立抛物线，根据直线与抛物线只有一个交点，得到判别式为0，进行求解，当时，分析是否满足题意即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线；故①正确； 无法确定的符号，故②错误； 若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：， ∴方程有一根满足；故③正确； 设过点的直线的解析式为：， 当时，令， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 当时，， ∵， ∴当时，， ∴与只有一个交点，满足题意， 综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④． 3．利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 【答案】(1)方程的近似根为， (2)方程的近似根为， 【分析】（1）画出函数图象，再根据图象解答即可； （2）画出函数图象，再根据图象解答即可； 【详解】（1）解：令， 根据式子列出表格可得： 作出图象可得： 由图象可得， 方程的近似根为，； （2）解：令， 根据式子列出表格可得： 作出图象可得： 由图象可得，方程的近似根为，． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 3．已知二次函数． (1)求证：该二次函数图象与轴有两个交点； (2)当时，结合函数图象说明当时的取值范围． 【答案】(1) 证明：对于二次函数， 其中，，， ∴ ∵， ∴一元二次方程有两个不同的实数根， 即二次函数的图象与轴有两个交点； (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质，以及不等式的求解，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质并会转化二次函数与一元二次方程的关系． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系，利用判别式判断即可； （2）先表示出二次函数解析式，再画出二次函数的图象，根据图象解不等式即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，二次函数为， 即， 令，则， 解得，， ∴函数与轴的交点为和， 二次函数中， ∴抛物线开口向上， 结合函数图象为： 当时，的取值范围是或． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．从的图象上可以看出，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先确定抛物线的对称轴与给定区间的位置关系，再结合开口方向求函数的最值，进而得到的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为， ∵包含， ∴ 当时，取最小值，为， 当时，； 当时，， ∵， ∴ 当时，的最大值为， ∴的取值范围是． 2．当时，函数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】先找到二次函数对称轴与顶点，结合开口方向，计算区间端点函数值，判断最值能否取到，确定取值范围． 【详解】解：在函数中， ∵， ∴该二次函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， 当时，； 当时，，不在取值范围内，该值取不到， ∴当时，函数的取值范围是． 3．已知二次函数． (1)抛物线开口__________，顶点为__________； (2)当时，求的取值范围； (3)当时，则的取值范围为__________． 【答案】(1)向下； (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，最大值为5，抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点为； （2）解：∵抛物线开口向下，顶点为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为5，抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，此时函数取得最小值，最小值为， ∴当时，的取值范围为； （3）解：当时，， 由图象的性质得：， 即当时，的取值范围为． 题型10.根据交点确定不等式解集 1．二次函数图象上部分的对应值如下表，则时，x的取值范围是（     ） x 0 1 2 3 y 0 2 2 0 A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先根据表格数据判断出该函数图象的开口方向和对称轴，结合时的x值求解即可． 【详解】解：根据表格数据，该函数图象的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该函数图象的开口向下， 又当和时，， ∴当时，x的取值范围是． 2．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据题意，得，故，利用函数交点的横坐标解答即可． 【详解】解：根据题意，得，故， 表示二次函数图象在直线的下方， 根据图象，得图象交点的横坐标为， 故的解集为：． 3．二次函数的图像如图所示，根据图像填空： (1)方程的两个根为________； (2)不等式的解集为________； (3)若方程只有一个实数根，求的值________； (4)若方程有两个不相等的实数根，的取值范围为________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次函数与轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在轴上方图象的自变量取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据题意将方程只有一个实数根，转化为二次函数与直线只有一个交点，结合图象可知抛物线的顶点坐标，即可求得值； （4）由方程有两个不相等的实数根可知，二次函数与直线有两个交点，再利用顶点坐标，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与轴的交点坐标为和，即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在轴上方图象的自变量取值范围是， 即不等式的解集为； （3）解：∵方程只有一个交点， ∴二次函数与直线只有一个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 则， 即方程只有一个交点，的值为2； （4）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴方程有两个不相等的实数根， 即二次函数与直线有两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 则， ∴， 即方程有两个不相等的实数根，的取值范围为． ✵分层专项训练 一、单选题 1．抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 2．已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 3．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解可能是（     ） A．和2之间 B．2和之间 C．和3之间 D．3和之间 【答案】C 【分析】根据方程的解对应二次函数的自变量，然后查看表格，再找到函数值正负发生转变的两组，最后判断出一元二次方程近似解的取值区间． 【详解】解：一元二次方程的解对应函数中时的值． ∵当时，， 当时，， 当时，对应的x的值在和3之间， 即方程的一个近似解在和之间． 4．已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 二、填空题 5．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是__________． 【答案】2 【分析】把代入抛物线解析式求c；令，解一元二次方程，求出A，B两点横坐标；两横坐标相减的绝对值即为线段的长． 【详解】解：将代入，，得， 抛物线解析式为． 令，，， 解得 ， ． 6．已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【答案】0或 【分析】当时，原函数为一次函数，与x轴，y轴各有一个交点，符合题意；当时，原函数是二次函数，由于该函数与y轴交于点，那么与x轴只有一个交点，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：当时，，此时函数为一次函数， 当时，，解得，故此时函数与x轴有一个交点， 当时，，此时函数与y轴有一个交点， ∴此时原函数与坐标轴有两个交点，符合题意； 当时，原函数是二次函数， 当时，，即该函数与y轴交于点 ∵二次函数与y轴必然有一个交点， ∴当函数的图象与坐标轴有两个交点时该函数与x轴只有一个交点， ∴， 解得； 综上所述，k的值为0或． 三、解答题 7．已知抛物线． (1)图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； (2)分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； (4)观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】(1)向下；直线； (2)抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为 (3)作出（1）（2）中的点和线如下： (4)；； 【分析】（1）根据a的正负，判断开口方向，把解析式利用配方法得到顶点式，可得出顶点坐标； （2）令，解一元二次方程，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，令，得出y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标； （3）根据给出的交点、顶点及对称轴可画出图象； （4）根据函数图象求得即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得，或， 令，则， ∴抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为； （3）解：略 （4）解：由图象可知，当时，x的取值范围为； 当时，y的最小值为，最大值为． 8．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：_________； (2)写出不等式的解集：_________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围_________； 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； （2）的解集是抛物线在x轴下方对应的x的取值，观察图形即可解答； （3）抛物线开口向上，在对称轴左侧时y随x的增大而减小，观察图形即可解答； 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数的图象与x轴交点的横坐标为1和3， ∴方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在x轴的下方， ∴不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，点为二次函数图象的顶点，点在轴上． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象，求二次函数的函数值小于时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B代入即可求出二次函数解析式； （2）由图像可知，x轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x轴的交点特征求得二次函数与x轴的交点即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴把点代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为， 令时，则， 解得， ∴点B的坐标为， ∵点为二次函数图象的顶点，点B在x轴上， ∴设二次函数解析式为， 把点代入， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）求得二次函数解析式为， 令，即， 解得：，， 由图像可知x轴下面部分的二次函数值都小于0，且二次函数与x轴交于点和， ∴自变量x的取值范围为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $