专题04圆的相关概念及确定圆的条件期中复习讲义(核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题04圆的相关概念及确定圆的条件期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解圆的定义，掌握圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、等弧等概念，辨析相关概念的区别与内在联系。 2.理解确定圆的条件，掌握 “不在同一条直线上的三点确定一个圆”，认识三角形外接圆、外心的概念，掌握外心的性质与位置特征。 3.能运用圆的基础概念进行辨析与简单计算，规范几何语言表述 ✵高频题型梳理 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 题型7.确定圆心（尺规作图） 题型8.求能确定的圆的个数 题型9.三角形外接圆的概念辨析 题型10.求三角形外心坐标 题型11.求特殊三角形外接圆的半径 题型12.已知外心的位置判断三角形的形状 题型13.判断三角形外接圆的圆心位置 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的定义 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，端点A运动形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点O为圆心，线段OA为半径。 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，即满足OA=r的点A的全体。 记作⨀O，读作 “圆O”。 提示：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点二、圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。 直径：经过圆心的弦叫直径。 考点：圆中有无数条弦，直径是最长的弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆的弧； 优弧：大于半圆的弧； 半圆：直径把圆分成的两条弧。半圆既不是优弧，也不是劣弧。 等圆：能够重合的两个圆。（等圆的半径相等） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 提示：长度相等的弧不一定是等弧，等弧的前提是同圆或等圆。 知识点三、确定圆的条件 确定一个圆需要两个要素：圆心、半径r，二者确定，则圆唯一确定。 三点定圆结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 提示：若三点在同一条直线上，不存在同时经过这三点的圆。 知识点四、三角形的外接圆与外心 经过三角形三个顶点的圆，称为三角形的外接圆，这个三角形叫做该圆的内接三角形。 外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点。 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，OA=OB=OC=R，R为外接圆的半径。 外心位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 ✵要点提示 1.几何定义中的圆指圆周（封闭曲线），而非圆面。 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径。直径与半径关系：d=2r。 3.“不在同一条直线上” 是三点确定一个圆不可缺少的前提条件，书写结论时不能省略。 4.任意一个三角形有且仅有一个外接圆；一个圆存在无数个内接三角形。 ✵典例精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 2．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 3．如图，正方形为一个的网格电子屏示意图，位于中点处的光点P按如下的方式移动：依次绕点A，B，C，D顺时针旋转．请在图中画出光点P所经过的路径． 题型2.求圆中弦的条数 1．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，分别为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ___． 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 题型4.圆的周长和面积问题 1．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 2．把一个圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于圆的_____，宽相当于圆的_____． 3．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 1．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 2．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 3．如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 题型7.确定圆心（尺规作图） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 3．有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 题型8.求能确定的圆的个数 1．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 3．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 题型9.三角形外接圆的概念辨析 1．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 2．下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 3．尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 题型10.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 题型11.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 2．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 3．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 题型12.已知外心的位置判断三角形的形状 1．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 2．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 3．如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 题型13.判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为______． 3．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 2．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题 4．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________．    5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 三、解答题 6．在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并写出P（__，__）； (2)将绕点A逆时针旋转90°得到，画出． 7．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 8．如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的相关概念及确定圆的条件期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解圆的定义，掌握圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、等弧等概念，辨析相关概念的区别与内在联系。 2.理解确定圆的条件，掌握 “不在同一条直线上的三点确定一个圆”，认识三角形外接圆、外心的概念，掌握外心的性质与位置特征。 3.能运用圆的基础概念进行辨析与简单计算，规范几何语言表述 ✵高频题型梳理 题型1.圆的基本概念辨析 题型2.求圆中弦的条数 题型3.求过圆内一点的最长弦 题型4.圆的周长和面积问题 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 题型7.确定圆心（尺规作图） 题型8.求能确定的圆的个数 题型9.三角形外接圆的概念辨析 题型10.求三角形外心坐标 题型11.求特殊三角形外接圆的半径 题型12.已知外心的位置判断三角形的形状 题型13.判断三角形外接圆的圆心位置 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、圆的定义 动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，端点A运动形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点O为圆心，线段OA为半径。 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合，即满足OA=r的点A的全体。 记作⨀O，读作 “圆O”。 提示：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点二、圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦。 直径：经过圆心的弦叫直径。 考点：圆中有无数条弦，直径是最长的弦。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆的弧； 优弧：大于半圆的弧； 半圆：直径把圆分成的两条弧。半圆既不是优弧，也不是劣弧。 等圆：能够重合的两个圆。（等圆的半径相等） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 提示：长度相等的弧不一定是等弧，等弧的前提是同圆或等圆。 知识点三、确定圆的条件 确定一个圆需要两个要素：圆心、半径r，二者确定，则圆唯一确定。 三点定圆结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 提示：若三点在同一条直线上，不存在同时经过这三点的圆。 知识点四、三角形的外接圆与外心 经过三角形三个顶点的圆，称为三角形的外接圆，这个三角形叫做该圆的内接三角形。 外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点。 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，OA=OB=OC=R，R为外接圆的半径。 外心位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 ✵要点提示 1.几何定义中的圆指圆周（封闭曲线），而非圆面。 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径。直径与半径关系：d=2r。 3.“不在同一条直线上” 是三点确定一个圆不可缺少的前提条件，书写结论时不能省略。 4.任意一个三角形有且仅有一个外接圆；一个圆存在无数个内接三角形。 ✵典例精讲 题型1.圆的基本概念辨析 1．下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 2．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 3．如图，正方形为一个的网格电子屏示意图，位于中点处的光点P按如下的方式移动：依次绕点A，B，C，D顺时针旋转．请在图中画出光点P所经过的路径． 【答案】解：如图，即为点P所经过的路径 【分析】根据题意，分别以点A，B，C，D画出圆弧即为点P所经过的路径． 【详解】略 题型2.求圆中弦的条数 1．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 2．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）如图1，DE为所作； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 题型3.求过圆内一点的最长弦 1．若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为4， ∴圆的直径为8， ∵是半径为4的圆的一条弦， ∴， ∴弦的长不可能是10． 故选：D． 2．在矩形中，，点是平面内一动点，且满足，分别为的中点，点运动过程中线段长度的最小值是 ___． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形中位线定理以及点与圆的位置关系；解题的关键是利用三角形中位线定理得到与的关系，再根据点的运动轨迹，结合点与圆的位置关系求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：连接，如图： ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点为定点， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆， ∴当三点共线，且点在线段上时，取得最小值，此时， 在矩形中，，根据勾股定理， ∴， ∴． 故答案为：. 3．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 【答案】6 【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，的值最大． ∵当为的直径时值最大，此时， ∴的最大值为6． 题型4.圆的周长和面积问题 1．如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 2．把一个圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于圆的_____，宽相当于圆的_____． 【答案】 周长的一半 半径 【分析】根据圆面积推导的拼接过程，确定拼接得到的近似长方形各部分对应圆的对应部分． 【详解】解：作图如下： 由图可得，长方形的长是原圆周长的一半，宽相当于圆的半径． 3．火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 【答案】约 【分析】先根据圆的周长公式求出主动轮转一圈火车前进的距离. 再计算1小时内主动轮转的总距离. 最后换算单位即可得到火车每小时行驶的路程． 【详解】解：已知主动轮直径为，每分钟转400圈． 主动轮的周长：，1时等于60分钟， 1小时主动轮转的圈数为：（圈）， 火车1小时行驶的距离为： ， 换算单位得， 答：火车每小时约行千米． 题型5.求小圆绕某图形一圈自转的圈数 1．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 2．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 3．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4） 略 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 1．下列说法正确的是（   ） A．圆的周长都相等 B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 C．顶点在圆上的角叫做圆心角 D．由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条线段组成的图形叫做扇形 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据圆的周长、圆弧、圆心角、扇形的定义分别判断即可． 【详解】解：A、半径相等的圆的周长相等，原说法错误，不符合题意； B、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，正确，符合题意； C、顶点在圆心的角叫做圆心角，原说法错误，不符合题意； D、由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 3．如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 【答案】与相等， 理由如下： ∵， ∴， 又，， ∴， ∴. 【分析】根据等角对等边得出，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论. 【详解】略 题型7.确定圆心（尺规作图） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 3．有一个残破的圆形轮子如图所示．现在要浇铸一个和它半径一样的轮子，需要确定它的圆心．请在图中用尺规作出它的圆心． 【答案】如图，点O为所求圆心． 【分析】在圆上取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】略 题型8.求能确定的圆的个数 1．如图，已知线段，，经过点A，B，以的长为半径能画出圆的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握确定圆的条件是解题关键．先画出的垂直平分线为直线，再以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心，据此解答即可得． 【详解】解：如图，直线是的垂直平分线，以点为圆心、的长为半径画弧交直线于两点，则这两个点即为所求圆的圆心． 所以经过点，以的长为半径能画出2个圆， 故选：B． 2．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 3．已知线段． (1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？ (3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？ 【答案】(1)一个 (2)两个 (3)不能 【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键． （1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点； （2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上； （3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆． 【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点； （2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是； （3） 由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点． 题型9.三角形外接圆的概念辨析 1．下列关于外心的说法正确的是（   ） A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点 C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 2．下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 【答案】③⑤ 【详解】解：①半圆是弧，原说法正确； ②面积相等的圆的半径一定相等，故是等圆，原说法正确； ③直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误； ④经过圆内一定点可以作无数条弦，原说法正确； ⑤直角三角形的外心为斜边的中点，原说法错误； ∴说法错误的有③⑤． 3．尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹） 【答案】 即为所求： 【分析】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，连接，再以的长度为半径，画圆，进而得出外接圆． 【详解】略 题型10.求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 【答案】 【分析】的外接圆圆心是其三边的垂直平分线所在直线的交点，因此分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心， ∴的外接圆圆心的坐标为． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 【答案】如图，可画出如下图形： 【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意． 根据所给的三个条件画图即可． 【详解】解：所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③， 第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心； 第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心； 第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心； 第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心； 第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心； 第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形． 题型11.求特殊三角形外接圆的半径 1．在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 2．定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，是等腰的外接圆， ，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 当为钝角时，如图，连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积，的面积为， ∴的面积与的面积比为； 综上：的面积与的面积比为或． 3．如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 题型12.已知外心的位置判断三角形的形状 1．如图，线段 ，为线段上的一个动点，以、为边作等边和等边，外接于，则半径的最小值为(   ) A．6 B． C． D．3 【答案】B 【分析】分别作与角平分线，交点为．由三线合一可知与为、垂直平分线；再由垂径定理可知圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点；连，若半径最短，则，由为底边，底角的等腰三角形，可求得． 【详解】如图，分别作与角平分线，交点为， 和都是等边三角形， 与为、垂直平分线，， 又圆心在、垂直平分线上，则交点与圆心重合，即圆心是一个定点； 连接， 若半径最短，则， 又，， ， ， 在直角中，， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的“三线合一”的性质、三角形的外接圆圆心、点到直线的距离、垂线段最短以及解直角三角形等知识，注重数形结合思想的应用是解题的关键． 2．如图，点是的外心，连接、，若，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】根据三角形外心的性质，等腰三角形的性质，再结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】点是的外心 是等腰三角形 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外心的性质解题的关键． 3．如图，在菱形中，点、均在对角线上（不与点、重合），且． (1)求证：； (2)若， ①已知，求平行线与之间的距离； ②若的外心在其内部，且，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形是菱形， ，， ； ， ， ； (2)①；②30 【分析】（1）由菱形的性质及，利用边角边即可证明； （2）①连接交于点，过作于点，由菱形的性质及正弦函数关系可求得；由，得，由正弦函数关系求得，此即平行线与之间的距离； ②由题意知，是锐角三角形；当时，；当时，，从而得，即得，，最后求得的值． 【详解】（1）略 （2）解：①连接交于点，过作于点，如图： 四边形是菱形，， 于点，，， ； ， ， ， 平行线与之间的距离为； ②的外心在其内部， 是锐角三角形； 当时，； 当时，； ， ，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，三角形外心，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 题型13.判断三角形外接圆的圆心位置 1．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：以为直径的圆是能完全覆盖的最小圆 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为：． 3．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【答案】(1) 点即为所求； (2) 点即为所求． 【分析】（1）作中垂线与边交于点即为所求．可证明是直角三角形，由垂直平分线的性质可知，则，可证，则，所以，则即为所求； （2）根据方格作的垂直平分线，其交点即为点，根据垂直平分线的性质可证，所以即为所求． 【详解】（1）解：作中垂线与斜边交于点即为所求； 由勾股定理可知：， ， ∴是直角三角形， 作中垂线与斜边交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：作垂直平分线的交点即为所求； ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴ 【点睛】本题考查方格纸作图，三角形的外接圆，线段的垂直平分线，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（     ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 【答案】B 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，C正确； 选项D、经过圆内一定点可以作无数条弦，D正确． 2．如图，图中外接圆的圆心坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解． 【详解】解：由图可知，， ， 线段的中点坐标为，且垂直于轴 线段的垂直平分线为直线 外接圆圆心的纵坐标为， 设圆心坐标为 圆心到点、的距离相等 整理得 解得 外接圆的圆心坐标是． 3．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 二、填空题 4．如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为________________．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 三、解答题 6．在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)请在图中标出的外接圆的圆心P的位置，并写出P（__，__）； (2)将绕点A逆时针旋转90°得到，画出． 【答案】(1) 圆心位置如图所示， (2) 如图所示，为所求三角形． 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆． （1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可； （2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 8．如图，在中，，是的平分线． (1)尺规作图：作，圆心在线段上，且经过两点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)6 【分析】本题考查尺规作图—作圆，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的画圆，是解题的关键： （1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径画出即可； （2）连接，等边对等角结合角平分线的定义，推出，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理，得， 即的半径为6． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $