专题04 圆的相关概念及圆周角 期中复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题04圆的相关概念及确定圆的条件中复习讲义 1.掌握圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、等圆、等弧等相关概念，能准确辨析概念，区分易混名词。 2.理解点与圆的三种位置关系，会根据点到圆心距离和半径大小，判断点和圆的位置，也能由位置关系得到线段大小关系。 3.理解确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；掌握三角形外接圆、外心的定义，知道外心是三边垂直平分线交点。 4.会画三角形的外接圆，能判断不同类型三角形外心的位置；会求外接圆半径，掌握外心的性质：到三角形三个顶点距离相等。 5.能利用圆的基础概念、点圆位置关系、外心性质解决选择、填空基础题，能处理简单几何计算题。 6.厘清易错点：等弧必须是在同圆或等圆中；直径是弦，但弦不一定是直径；三点共线时无法作外接圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 题型五 确定圆心 ★★ 题型六 求能确定的圆的个数 ★★ 题型七 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型八 求三角形外心坐标 ★★★ 题型九 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型十一 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 4：过点作圆的规律 过 1 个点：可作无数个圆； 过 2 个点：可作无数个圆，所有圆心在两点连线的垂直平分线上； 过 3 个点：三点共线，无外接圆；不在同一直线上的三点确定唯一圆（三点定圆定理）。 知识点 5：三角形外接圆与外心相关概念 概念 定义 核心性质 外接圆 经过三角形三个顶点的圆 圆心为外心，半径相等 内接三角形 三个顶点都在同一个圆上的三角形 顶点均在圆周上 外心 三角形三边垂直平分线交点 到三角形三个顶点距离相等，距离为外接圆半径 知识点 6：三类三角形外心位置对照表 三角形类型 外心位置 专属结论 锐角三角形 三角形内部 无特殊简化公式 直角三角形 斜边中点 外接圆半径=斜边 钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 知识点 7：三角形外接圆尺规作图步骤 1.作三角形任意两条边的垂直平分线； 2.两条垂直平分线交点即为外心； 3.以外心到任意顶点的线段长度为半径画圆，得到外接圆。 知识点8.易混概念区分：外心 vs 内心 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（本节考点）； 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，极易混淆。 题型一：圆的基本概念辨析 1．如图，是的弦，，若，则的长为__________． 2．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 3．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：求圆中弦的条数 4．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：求过圆内一点的最长弦 7．已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 题型四：圆心角概念辨析及简单运算 10．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 11．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 12．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 题型五：确定圆心 13．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 题型六：求能确定的圆的个数 16．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 17．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 18．已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 题型七：三角形外接圆的概念辨析 19．在中，点是的外心，则点（    ） A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点 20．如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 21．如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 题型八：求三角形外心坐标 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    23．如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 24．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 题型九：求特殊三角形外接圆的半径 25．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______． 26．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 题型十：已知外心的位置判断三角形的形状 28．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 29．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 30．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 题型十一：判断三角形外接圆的圆心位置 31．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 32．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 33．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解答题 34．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 35．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 36．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． (1)利用尺规作出外接圆的圆心． (2)写出圆心M的坐标，并求出的半径． 37．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 38．对于和内一点（与不重合）给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点P为的属相关点，为点关于的相关系数，在平面直角坐标系中，已知的半径为．    (1)当点的坐标为时． ①经过点的的所有弦中，最短的弦长为______； ②点关于的相关系数为______． (2)已知点，点为的属相关点，求线段的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的相关概念及确定圆的条件中复习讲义 1.掌握圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、等圆、等弧等相关概念，能准确辨析概念，区分易混名词。 2.理解点与圆的三种位置关系，会根据点到圆心距离和半径大小，判断点和圆的位置，也能由位置关系得到线段大小关系。 3.理解确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；掌握三角形外接圆、外心的定义，知道外心是三边垂直平分线交点。 4.会画三角形的外接圆，能判断不同类型三角形外心的位置；会求外接圆半径，掌握外心的性质：到三角形三个顶点距离相等。 5.能利用圆的基础概念、点圆位置关系、外心性质解决选择、填空基础题，能处理简单几何计算题。 6.厘清易错点：等弧必须是在同圆或等圆中；直径是弦，但弦不一定是直径；三点共线时无法作外接圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆心角概念辨析及简单运算 ★★ 题型五 确定圆心 ★★ 题型六 求能确定的圆的个数 ★★ 题型七 三角形外接圆的概念辨析 ★ 题型八 求三角形外心坐标 ★★★ 题型九 求特殊三角形外接圆的半径 ★★★ 题型十 已知外心的位置判断三角形的形状 ★★ 题型十一 判断三角形外接圆的圆心位置 ★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 4：过点作圆的规律 过 1 个点：可作无数个圆； 过 2 个点：可作无数个圆，所有圆心在两点连线的垂直平分线上； 过 3 个点：三点共线，无外接圆；不在同一直线上的三点确定唯一圆（三点定圆定理）。 知识点 5：三角形外接圆与外心相关概念 概念 定义 核心性质 外接圆 经过三角形三个顶点的圆 圆心为外心，半径相等 内接三角形 三个顶点都在同一个圆上的三角形 顶点均在圆周上 外心 三角形三边垂直平分线交点 到三角形三个顶点距离相等，距离为外接圆半径 知识点 6：三类三角形外心位置对照表 三角形类型 外心位置 专属结论 锐角三角形 三角形内部 无特殊简化公式 直角三角形 斜边中点 外接圆半径=斜边 钝角三角形 三角形外部 外心在最长边外侧 知识点 7：三角形外接圆尺规作图步骤 1.作三角形任意两条边的垂直平分线； 2.两条垂直平分线交点即为外心； 3.以外心到任意顶点的线段长度为半径画圆，得到外接圆。 知识点8.易混概念区分：外心 vs 内心 外心：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（本节考点）； 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，极易混淆。 题型一：圆的基本概念辨析 1．如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 2．如图，是⊙O的直径，弦于点E，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】设的半径为r，则，，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∵，， ∴在中，， 解得，故的半径为5． 3．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 题型二：求圆中弦的条数 4．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三：求过圆内一点的最长弦 7．已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了圆的性质，根据直径是圆中最长的弦解答即可． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 8．已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 题型四：圆心角概念辨析及简单运算 10．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 11．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 12．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 题型五：确定圆心 13．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），写出圆心M点的坐标 _____． 【答案】（2，0） 【分析】由图像可知B点坐标为（4，4），连接AB、BC，分别做AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心M，M坐标为（2，0）． 【详解】连接AB、BC，分别做AB、BC的中垂线，相交于点M， 由中垂线性质有AM=BM=CM， ∵AM=BM=CM， ∴点M为圆心， 由平面直角坐标系可知， 圆心M的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中圆的图象及性质，圆上任意点到圆心的距离相等，再结合中垂线性质，通过尺规作图结合图象即可求得圆心坐标． 14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示：    则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，    可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 题型六：求能确定的圆的个数 16．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 17．已知，过，两点画半径为的圆，则能画的圆的个数为______． 【答案】个 【分析】本题考查了圆的性质、确定圆心的方法，关键是找到满足题意的圆心的位置； 圆心在线段的垂直平分线上，且与的距离为，根据勾股定理求出圆心到中点的距离，就可得到圆心的个数． 【详解】解：设的中点为，圆心为， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在线段的垂直平分线上到的距离等于的点有两个， 故答案为：个． 18．已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 题型七：三角形外接圆的概念辨析 19．在中，点是的外心，则点（    ） A．到三边的距离相等 B．到三个顶点的距离相等 C．是三条高线的交点 D．是三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外心，理解三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是的外心， ∴点是的三条边的垂直平分线的交点， 即：点到的三个顶点距离相等， 故选：B． 20．如图，点O为的外心，连接，作正方形，其中E点在的外部，则外心不是点O的三角形是______（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】连接，推导出，，再根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，逐个分析判断即可． 【详解】解：如图，连接． ∵O是的外心， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴O是的外心； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴O不是的外心； ∵， ∴O是的外心； ∵， ∴O是的外心． 21．如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 题型八：求三角形外心坐标 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 23．如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点P即为所求的外接圆的圆心，然后写出点P的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， 作出边、的垂直平分线，如图所示，点P即为外接圆的圆心，坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 题型九：求特殊三角形外接圆的半径 25．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么直角三角形外接圆的半径是______． 【答案】4或5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是6，8， 当6，8是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当8是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是4； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是4或5． 故答案是：4或5． 26．如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】连接，，延长交于D， ∵等边三角形是， ∴，，， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 则的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 27．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 题型十：已知外心的位置判断三角形的形状 28．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 29．如图为的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是的______． 【答案】外心 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，勾股定理，解题关键是根据勾股定理得出．根据勾股定理得出，进而得到答案． 【详解】解：由图中信息可得：， ∴点O在的外心上， 故答案为：外心． 30．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 题型十一：判断三角形外接圆的圆心位置 31．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 故答案为： 32．如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． 33．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 解答题 34．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由圆的性质得到，再证明，进一步证明，则可证明． 【详解】略 35．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为______； (2)连接，的半径为______，的度数为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）分别作线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心D点的位置； （2）连接，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， 由（1）和题意得， ∴，， ， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴是直角三角形，即． 36．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，和． (1)利用尺规作出外接圆的圆心． (2)写出圆心M的坐标，并求出的半径． 【答案】(1) (2)圆心的坐标为，的半径为 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心， ∴圆心的坐标为， 连接， ∵， ∴， ∴， 即的半径为． 37．已知：如图，为的中线，，．求证：的外接圆的半径等于． 【答案】证明：∵是的中线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径为． 【分析】利用三角形中线的性质以及等边三角形的判定方法得出是等边三角形，进而得出，求出，即可得出答案． 【详解】略 38．对于和内一点（与不重合）给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点P为的属相关点，为点关于的相关系数，在平面直角坐标系中，已知的半径为．    (1)当点的坐标为时． ①经过点的的所有弦中，最短的弦长为______； ②点关于的相关系数为______． (2)已知点，点为的属相关点，求线段的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）如图，弦经过点，当弦时，线段是经过点的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，,最小值为.设经过点的弦的弦长为，则，可取的正整数为，.故点关于的相关系数为． （2）经过点的长度为正整数的弦长度分别为，经过点的且弦长为6的弦有1条，为经过点的的最短弦．令此弦为，可得点在以为圆心,以为半径的圆上．于是． 【详解】（1）解：如图，弦经过点,当弦时，线段是经过点的圆的最短弦，理由如下，    过点作于点F，, 中，, 当最大时，取最小值， 如图，,当点F与点重合时，取最大值，即, 相应的，取最小值，最小值为. 故答案为：． 经过点的的最长弦为直径，弦长为8， ∴设经过点的弦的弦长为，则， ∵， ∴可取的正整数为6，7， 经过点的弦长为8的弦有1条，弦长为6，7的弦各有2条 ，故点关于的相关系数为． （2）解：如图，点为的4属相关点，    ∵经过点的且弦长为的弦有1条，为直径，经过点的且弦长为的弦有2条， ∴经过点的且弦长为6的弦有1条，为经过点的的最短弦． 如图，令此弦为，由（1）知，, ∴. ∴点在以为圆心,以为半径的圆上． 如图，连接并延长，交半径为的圆于点， ． ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $