专题05圆的对称性及圆周角期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题05圆的对称性及圆周角期中复习讲义 1.掌握圆的轴对称、中心对称性，理解弧、弦、圆心角之间的等量关系。 2.熟练运用垂径定理，结合勾股定理求解半径、弦长、弦心距。 3.牢记圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为直角。 4.会用圆周角推论、圆内接四边形对角互补进行角度推导。 5.学会圆中常用辅助线：连半径、作弦心距、连直径构造直角三角形。 6.能在图形中完成弧、角、线段的转化，规范书写推理过程，应对期中各类题型。 题型 考察方向 难度 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型三 求圆弧的度数 ★ 题型四 利用垂径定理求值 ★★ 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★ 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型七 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型八 垂径定理的推论 ★★★ 题型九 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型十 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十一 圆周角定理 ★★ 题型十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十四 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十五 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型十六 求四边形外接圆的直径 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01：圆的两种对称性质 1.轴对称性质 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 易错区分：直径是线段，不能称为对称轴，直径所在直线才是对称轴。 2.旋转不变性（中心对称） 圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合；旋转 180° 完全重合，圆心为对称中心。 知识点 02：同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦关系 定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量，一组相等，则其余两组对应相等。 关键限制：缺少 “同圆或等圆” 条件，结论不成立。 用途：几何证明中实现弧、线段等量转化。 知识点03:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点04:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点05:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 1 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 2 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 3 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点06:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，先结合点B是的中点，得，又因为，得出都是等边三角形，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为：． 2．如图，为的直径，点在上，且，若，则_____°． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，三角形的内角和定理，由，则，所以，由圆周角定理可得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型二：利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______． 【答案】8 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【详解】解：∵C是的中点， ∴，而， ∴， ∵， ∴和都是等边三角形， ∴， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键． 5．如图，点C是弧的中点，是的切线，连接的延长线交于D，若，，则的长度是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形判定和性质，连接，由切线的性质推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，而，推出是等边三角形，得到，，求出，由等腰三角形的性质得到，求出，因此，，，即可证明，从而可得结论 【详解】解：连接， ∵切圆于C， ∴半径， ∴， ∵C是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，A、B、C、D是上的四点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理可知，再根据垂径定理得，再根据同弧所对圆心角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 故选：B． 题型三：求圆弧的度数 7．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 8．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 9．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 题型四：利用垂径定理求值 10．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 11．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： ∵拱门所在的与长方形的边相切于点， ∴，，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 12．如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． 题型五：利用垂径定理求平行弦问题 13．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 15．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 16．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 17．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 18．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 题型七：利用垂径定理求解其他问题 19．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 20．如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 【答案】/72度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理．根据垂径定理，得到，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵过点O 作交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 21．如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可得，根据垂径定理可得得出，进而得出，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 题型八：垂径定理的推论 22．如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 23．如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积__________（结果保留）．     【答案】/ 【分析】本题考查扇形面积的计算，垂径定理的推论，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用分割法解决问题． 连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵D是半圆弧的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴， 阴影部分的面积， 故答案为：． 24．如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关知识是解题的关键．先根据为的直径，，得到，则，再根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型九：垂径定理的实际应用 25．如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：8． 26．如图是一座圆弧形拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为中点，D为弧的中点），则拱桥所在圆的半径为______米． 【答案】13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设拱桥的圆心为O，连接，，设拱桥的半径为，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径r． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为O，连接，， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，米，米， ∴米， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得， 即拱桥所在圆的半径为13米． 故答案为：13． 27．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 题型十：圆周角的概念辨析及简单运算 28．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 29．如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合圆的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，由．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点， 得, 故的半径为2． 故选：D． 30．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设半圆的半径为，则，圆心到点的距离，利用勾股定理列方程，解方程求半径，求的长度． 【详解】解：设半圆的半径为，则，圆心到点的距离， ， ， 连接， ， ∴是直角三角形， 根据勾股定理： ， 代入已知，得： ， 解得，， ， ∴． 故答案为：B． 题型十一：圆周角定理 31．如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】/112度 【详解】解：，， ． 32．如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理，由的度数求出的度数，再结合已知条件求出的度数，最后再次利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵与分别是中所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∵ ∴， ∵与分别是中弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 33．如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型十二：同弧或等弧所对的圆周角相等 34．如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 【答案】 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 35．如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 【答案】65 【分析】连接，首先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，结合求得，再根据“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 36．如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内直径所对的圆周角为90°，同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形内角和180°，求出的度数． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 37．已知线段是的直径，不与A、B重合的点C在上，则_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，根据直径所对圆周角是直角可得结论． 【详解】解：如图，线段是的直径， 所以，， 故答案为：． 38．如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 39．如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 取的中点，连接，则，由三角形外角的性质可得到，根据“直径所对的圆周角等于”可知点在上，即可求出，，即可得出点在量角器上所对应的读数． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ， ， 点在上， ∴， ． 则点在量角器上所对应的读数为，． 故选：C． 题型十四：90 度的圆周角所对的弦是直径 40．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 【答案】 二 圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 41．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，连接，利用圆周角定理得到是圆的直径，然后根据边长利用勾股定理求得直径的长即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵矩形中，， ∴为的直径， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 42．图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 【答案】B 【分析】本题主要考查了的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握的圆周角所对的弦是直径是解题的关键，根据的圆周角所对的弦是直径求解即可。 【详解】解：如图，连接，，    ∵， ∴是的直径，即 ∵点，与整钟点“时”重合， ∴点应位于“时”处， 故选： 题型十五：已知圆内接四边形求角度 43．如图，四边形内接于，若弧所对圆心角的度数为，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理可得，由圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵弧所对圆心角的度数为， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 44．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 45．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】/36度 【分析】设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 题型十六：求四边形外接圆的直径 46．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 47．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 48．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 解答题 49．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 50．已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 【答案】证明：如图，连接，作于点F，于点E，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A、D都在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴圆心O到弦的距离相等． 【分析】连接，作于点F，于点E，由推导出，则，由垂径定理得，则，而，可根据“”证明，得，即可证明圆心O到弦的距离相等． 【详解】略． 51．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 52．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 【答案】米 【分析】连接交于点，由题意得出，推出，由垂径定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：连接交于点， 点为水轮的最低点， ， ， 由题知，， ， ， 米． 53．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 54．如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：直径平分非直径弦， ，即． ， 即， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆的有关性质解决问题． （1）由垂径定理可得，即，可得，再证明，可得，再证明，可证得； （2）连接，先证得四点是在以为直径的圆上，再由，可得三点是在以为直径的圆上，再由，可得以为直径的圆和以为直径的圆是等圆，再得，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， 即， 四点是在以为直径的圆上， ， 三点是在以为直径的圆上， ， 以为直径的圆和以为直径的圆是等圆， ，即， ． 55．如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05圆的对称性及圆周角期中复习讲义 1.掌握圆的轴对称、中心对称性，理解弧、弦、圆心角之间的等量关系。 2.熟练运用垂径定理，结合勾股定理求解半径、弦长、弦心距。 3.牢记圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为直角。 4.会用圆周角推论、圆内接四边形对角互补进行角度推导。 5.学会圆中常用辅助线：连半径、作弦心距、连直径构造直角三角形。 6.能在图形中完成弧、角、线段的转化，规范书写推理过程，应对期中各类题型。 题型 考察方向 难度 题型一 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型二 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型三 求圆弧的度数 ★ 题型四 利用垂径定理求值 ★★ 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 ★★★ 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 ★★★ 题型七 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型八 垂径定理的推论 ★★★ 题型九 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型十 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十一 圆周角定理 ★★ 题型十二 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十三 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十四 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十五 已知圆内接四边形求角度 ★★★ 题型十六 求四边形外接圆的直径 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01：圆的两种对称性质 1.轴对称性质 圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 易错区分：直径是线段，不能称为对称轴，直径所在直线才是对称轴。 2.旋转不变性（中心对称） 圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合；旋转 180° 完全重合，圆心为对称中心。 知识点 02：同圆 / 等圆中圆心角、弧、弦关系 定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量，一组相等，则其余两组对应相等。 关键限制：缺少 “同圆或等圆” 条件，结论不成立。 用途：几何证明中实现弧、线段等量转化。 知识点03:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点04:基础核心概念 1. 圆周角定义 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫做圆周角。 两大判定条件（缺一不可） ①顶点必须落在圆周上； ②角的两条边都和圆存在另一个交点（两边与圆相交）。 2. 圆周角与圆心角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点05:圆周角定理及推论（高频考点） 定理：同弧所对的圆周角的度数 = 同弧所对的圆心角度数的一半”， 几何语言：所对∠BAC=∠BOC 补充：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 核心推论（直接用）： 1 直径 / 半圆所对圆周角=90∘（⊙O中，BC为直径⇒∠BAC=90∘） 2 90∘圆周角所对弦 = 直径（∠BAC=90⇒BC为直径） 3 同弧 / 等弧所对圆周角相等（所对∠ACB=∠ADB） 知识点06:圆内接四边形专项知识点（独立考点，填空、证明高频） 定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆称为四边形的外接圆。 性质 （核心）：圆内接四边形的对角互补，即对角相加等于 180°。 圆内接四边形对角互补（ABCD内接于⊙O⇒∠A+∠C=180∘，∠B+∠D=180∘） 反向判定：如果一个四边形对角互补，则该四边形四个顶点四点共圆。 解题应用：已知四边形三个内角，快速求第四个角；利用外角相等证明三角形相似、角度等量代换。 题型一：利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 2．如图，为的直径，点在上，且，若，则_____°． 3．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．如图所示，A、B是半径为2的上的两点，若，点C是弧的中点，则四边形的周长为_______． 5．如图，点C是弧的中点，是的切线，连接的延长线交于D，若，，则的长度是（    ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，A、B、C、D是上的四点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三：求圆弧的度数 7．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 8．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 9．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 题型四：利用垂径定理求值 10．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 11．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ）dm A．13.25 B．15.25 C．24.5 D．26.5 12．如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 题型五：利用垂径定理求平行弦问题 13．在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 15．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 16．如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 17．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 18．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：利用垂径定理求解其他问题 19．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 20．如图，内接于，过点O 作交于点D， 连接，若，则的度数为 ________． 21．如图，是的直径，点在上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，点在上，连接，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 题型八：垂径定理的推论 22．如图，为的直径，，，则的度数为______． 23．如图，以半圆上的点A为圆心，为半径作扇形．线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积__________（结果保留）．     24．如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型九：垂径定理的实际应用 25．如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 26．如图是一座圆弧形拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为中点，D为弧的中点），则拱桥所在圆的半径为______米． 27．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 题型十：圆周角的概念辨析及简单运算 28．下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 29．如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（    ） A． B．3 C． D．2 30．如图所示，已知是半圆的直径，O为圆心，点C在上，于点D．若，则的长为（） A．8 B．10 C．4 D．5 题型十一：圆周角定理 31．如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 32．如图，内接于，连接，，若，则的度数为_________． 33．如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 题型十二：同弧或等弧所对的圆周角相等 34．如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 35．如图，为的直径，上的点C，D在直径的两侧，E为直径上一点，且，已知，则的度数为______． 36．如图， 和均为⊙的内接三角形，且为直径，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十三：半圆（直径）所对的圆周角是直角 37．已知线段是的直径，不与A、B重合的点C在上，则_______ ． 38．如图，是的直径，弦，若，则__________． 39．如图，量角器的直径与含30°角的直角三角板的斜边重合，D为上一点，作射线交于点．若，则点E在量角器上所对应的读数为（   ） A．20°，160° B．30°，150° C．40°，140° D．50°，130° 题型十四：90 度的圆周角所对的弦是直径 40．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 41．如图，已知圆内接矩形的其中两边长分别为6和9，则该圆的直径为__________． 42．图是用制作的表盘模型，其中点，分别与整钟点“时”，“时”重合，要使，则点应位于（    ）    A．“时”处 B．“时”处 C．“时”处 D．“时”处 题型十五：已知圆内接四边形求角度 43．如图，四边形内接于，若弧所对圆心角的度数为，则的度数为__________． 44．如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 45．如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为________． 题型十六：求四边形外接圆的直径 46．在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则=________． 47．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 48．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 解答题 49．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 50．已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 51．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 52．甘肃定西通渭县的传统水磨，以水流推动水轮带动磨盘磨面．水轮整体为圆盘形，垂直于水面安装，运行时部分浸入水中．其几何示意图如图所示，已知水轮圆心O位于水面上方，水面截水轮所得弦的长为1米，水轮半径为3米，C为水轮最低点．求点C 到弦所在直线的距离． 53．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 54．如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 55．如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $