专题 5.14 二次函数复习（八）二次函数与几何问题【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 5.13 二次函数复习（八）二次函数与几何问题 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识储备 1 【知识点1】坐标系中线段长度与中点公式（几何基础） 1 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 2 三.题型精析 2 【一】基础夯实 2 【题型1】函数背景下线段长度、最值计算 2 【题型2】坐标法判定直线平行、垂直关系 8 【二】综合提升 12 【题型3】二次函数与三角形周长（线段）综合 12 【题型4】二次函数与角度问题综合 18 【三】探究拓展 26 【题型5】二次函数与四边形探究问题 26 【题型6】几何综合压轴（多图形复合+动点探究） 32 【四】中考链接 45 一.复习目标 1. 掌握平面直角坐标系中线段长度、中点坐标公式，熟练解决二次函数背景下静态、动态线段计算与最值问题。 2. 掌握坐标法判定直线平行、垂直的方法，为几何位置关系证明、求值提供核心依据。 3. 掌握平行四边形顶点坐标平移规律，解决函数背景下平行四边形存在性压轴题型。 4. 整合函数与几何知识，能处理动点、动线构成的复合几何问题，适配期末统考、中考压轴大题考法。 二.知识储备 【知识点1】坐标系中线段长度与中点公式（几何基础） 已知平面内两点 、，则有如下结论： 1. 两点间距离公式： 2. 中点坐标公式：AB中点 3. 特殊线段：水平线段 ，竖直线段 【要点提示】线段长度、中点坐标是所有几何综合题的计算基础，等腰、直角、平行四边形问题均依托两大公式求解，计算时必须保留绝对值，保证数值为正。 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 设直线 斜率分别为 （直线不垂直坐标轴），则有如下结论： 1. 两直线平行：，且截距不等，无重合； 2. 两直线垂直：； 3. 特殊判定：水平直线与竖直直线互相垂直。 【要点提示】函数几何题中，无需几何证明，直接用斜率关系判定平行、垂直，快速求解角度、位置参数，是解题提速关键。 三.题型精析 【一】基础夯实 【题型1】函数背景下线段长度、最值计算 考查核心：基础计算题型，熟练运用两点距离公式、竖直线段公式，求解静态线段长与简单线段最值。 【例题1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）设点，求使的值最小时m的值； （3）若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【答案】（1）抛物线为，直线AC为；（2）；（3）的最大值为． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果； （2）作直线，作点D关于直线的对称点，得坐标为，连结交直线于点M，此时三点共线时，最小，即最小，利用待定系数法求出直线的函数关系式，进而求出求出m的值； （3）设，则，表示出，根据二次函数的性质即可求得的最大值． （1）解：由抛物线过点得 ， 解得， ∴抛物线为； 设直线为过点，得 ， 解得， ∴直线为； （2）解：∵， ∴， 令，则， 解得或，即抛物线与x轴的另一个交点为， 作直线，作点D关于直线的对称点， 得坐标为，如图，    连接交直线于点M， 此时三点共线时，最小，即最小， 设直线的关系式为：， 把点和代入得， 得，， ∴直线NM的函数关系式为：， 当时，， ∴； （3）解：如图，    ∵轴交于点Q， ∴设，则， ∴ ， ∵， ∴有最大值，最大值为． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 【变式2】（2026·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）在轴上求一点，使的周长最小． 【答案】（1），顶点的坐标是；（2）点的坐标为 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可求解； （2），因为定值，故求的最小值即可． （1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线顶点的坐标是. （2）解：∵，为定值 ∴当的值最小时，的周长最小 如图，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，点即为所求.    设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为. ∴点的坐标为. 【点拨】本题考查抛物线与图形周长问题．将“的周长最小”转化为“的值最小”是解题关键． 【解题归纳】 1. 水平、竖直线段直接用坐标差求解，简化计算； 2. 斜线段严格套用两点距离公式； 3. 线段最值可结合二次函数最值、区间最值求解。 【题型2】坐标法判定直线平行、垂直关系 考查核心：基础位置判定，为后续几何存在性问题铺垫核心依据。 【例题2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，求函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长之间的关系，一般用点的坐标表示出线段的长, （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据得到方程，解方程即可得到答案． （1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟记：抛物线上关于对称轴对称的两点，横坐标之和的一半等于对称轴是解题关键．据此即可求解． 解：因为与轴平行，， 所以点的纵坐标为3， 设点的横坐标为，则， 解得：． 所以点的坐标为． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键； 根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线对称，由于点A的坐标为，即可求解． 解：∵与轴平行，点，均在抛物线上 ∴点A与点B关于直线对称 ∵点A的坐标为 ∴点的坐标为   故答案为：. 【变式3】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）再把原解析式化为顶点式，再根据二次函数平移的性质，即可求解； （3）先求出直线的解析式，设，则，可得，即可． （1）解：将代入， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴平移后的函数解析式为； （3）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的长有最大值4． 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 【解题归纳】 1. 平行看斜率相等，垂直看斜率乘积为-1； 2. 特殊坐标轴直线单独判定，避免公式失效； 3. 可通过位置关系快速判定图形形状，简化几何推理。 【二】综合提升 【题型3】二次函数与三角形周长（线段）综合 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． （1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与线段交点问题，熟知二次函数的图象和性质及分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线的表达式可得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，，再利用分类讨论的数学思想即可解答． 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线对称轴上， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴当时，将代入函数解析式得：，解得， 将代入函数解析式得：，解得， ∴； 当时，， ∴顶点在点A下方， ∴抛物线与线段没有交点， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（2026·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． （1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 【题型4】二次函数与角度问题综合 【例题4】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）最大值为2，的坐标为；（3）存在． 设点， 如图，过点作于点，连接，则， ， ， ∴， ∴ ． ∵，，， ∴， ． 由的面积，得， 即 化简，得， 解得（不符合题意，舍去）， ． 设点与点关于原点对称，则， ． 综上所述，点的坐标为或． 【分析】（1）根据对称轴，利用待定系数法即可求解； （2）根据对称轴得出点坐标，由点、的坐标得直线的解析式为，设点，则点，进而求解； （3）根据三角形的面积，可得关于的方程，然后解方程，可得答案 （1）解：点的坐标为 ． 抛物线过点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）抛物线对称轴为直线，点的坐标为， 点的坐标为． ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为． 设点， 则点， ． ， 当时，线段的值最大，最大值为2，此时点的坐标为； （3）略． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点拨】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 【变式3】（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． （1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【三】探究拓展 【题型5】二次函数与四边形探究问题 【例题5】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． （1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． （1）求的值； （2）当矩形的周长最大时，求矩形的面积； （3）在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为；；（2）矩形的面积为；；（3）的值为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． （1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 【题型6】几何综合压轴（多图形复合+动点探究） 考查核心：中考终极压轴题型，融合线段、面积、三角形、四边形的综合探究，考查综合解题能力。 【例题1】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②m值为0和3；（3） 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令 求出点 的坐标，再设出点 的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线 的解析式； ②引入直线 并求出其与直线 的交点，将 的面积转化为 与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于 的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． （1）解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 （2）解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． （3）设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】求解，把向上平移个单位落在抛物线上时，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得即有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 解：抛物线与轴交于点、，交轴于点， ∴， 解得：或， ，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把向上平移个单位落在抛物线上时， ∴此时， ∴， 解得：， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为， 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴即有两个相等的实数解， ∴， 解得：， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 故选：B 【点拨】本题考查的是二次函数图象的性质，点的平移，一次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式2】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】确定，，，，进一步确定直线的解析式为，直线的解析式为，如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，，根据轴对称的性质及等腰三角形的性质得，点为的中点，点是的中点，继而得，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，确定，最后根据在直线：上，得，解方程即可． 解：∵抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为， 当时，得：或；当时，得：， ∴，，， ∴抛物线的对称轴为，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，设点关于的对称点为点，连接交于点，设，， ∴垂直平分， ∴，点为的中点， ∵，，，， ∴，是边上的中线即点是的中点， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵点为的中点，，， ∴， 解得：， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好落在直线：上，即点在直线：上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标是． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． （1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 【解题归纳】 1. 分步拆解题型，先求定点、线段、面积，再探究几何存在性； 2. 所有分类讨论完整，不重不漏； 3. 最终结果结合图像与题干条件筛选，规范作答。 【四】中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 二、解答题 3．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． （3）图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）存在直线l ，证明得到，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； （3）连接，，作交BC于H，求出，进一步可求出或，分情况讨论，即可求出M的横坐标为或． 解：（1）抛物线过两点， ∴，解得：， ∴函数解析式为：； （2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与相似， 当时，以C，D，E为顶点的三角形与相似， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 解，得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， 设过，的解析式为， 则，解得：， ∴直线BD的解析式为：； （3）连接，作交于， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，如图：    由点的坐标得，直线解析式为：， 解方程， 解得：或3（舍去）， ∴M的横坐标为； 当，如图：    同理可得，直线解析式为：， 解方程， 解得：（舍去）或， ∴M的横坐标为， 综上所述：的横坐标为或． 【点拨】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求抛物线解析式，掌握勾股定理，正切函数． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． （1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.13 二次函数复习（八）二次函数与几何问题 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识储备 1 【知识点1】坐标系中线段长度与中点公式（几何基础） 1 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 2 三.题型精析 2 【一】基础夯实 2 【题型1】函数背景下线段长度、最值计算 2 【题型2】坐标法判定直线平行、垂直关系 4 【二】综合提升 5 【题型3】二次函数与三角形周长（线段）综合 5 【题型4】二次函数与角度问题综合 6 【三】探究拓展 7 【题型5】二次函数与四边形探究问题 7 【题型6】几何综合压轴（多图形复合+动点探究） 9 【四】中考链接 11 一.复习目标 1. 掌握平面直角坐标系中线段长度、中点坐标公式，熟练解决二次函数背景下静态、动态线段计算与最值问题。 2. 掌握坐标法判定直线平行、垂直的方法，为几何位置关系证明、求值提供核心依据。 3. 掌握平行四边形顶点坐标平移规律，解决函数背景下平行四边形存在性压轴题型。 4. 整合函数与几何知识，能处理动点、动线构成的复合几何问题，适配期末统考、中考压轴大题考法。 二.知识储备 【知识点1】坐标系中线段长度与中点公式（几何基础） 已知平面内两点 、，则有如下结论： 1. 两点间距离公式： 2. 中点坐标公式：AB中点 3. 特殊线段：水平线段 ，竖直线段 【要点提示】线段长度、中点坐标是所有几何综合题的计算基础，等腰、直角、平行四边形问题均依托两大公式求解，计算时必须保留绝对值，保证数值为正。 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 设直线 斜率分别为 （直线不垂直坐标轴），则有如下结论： 1. 两直线平行：，且截距不等，无重合； 2. 两直线垂直：； 3. 特殊判定：水平直线与竖直直线互相垂直。 【要点提示】函数几何题中，无需几何证明，直接用斜率关系判定平行、垂直，快速求解角度、位置参数，是解题提速关键。 三.题型精析 【一】基础夯实 【题型1】函数背景下线段长度、最值计算 考查核心：基础计算题型，熟练运用两点距离公式、竖直线段公式，求解静态线段长与简单线段最值。 【例题1】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）设点，求使的值最小时m的值； （3）若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 _____． 【变式3】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）在轴上求一点，使的周长最小． 【解题归纳】 1. 水平、竖直线段直接用坐标差求解，简化计算； 2. 斜线段严格套用两点距离公式； 3. 线段最值可结合二次函数最值、区间最值求解。 【题型2】坐标法判定直线平行、垂直关系 考查核心：基础位置判定，为后续几何存在性问题铺垫核心依据。 【例题2】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知抛物线经过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，已知抛物线的对称轴为，点、均在抛物线上，且与轴平行，其中点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【变式3】（24-25九年级上·上海·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； （3）若点D是线段上一动点，过点D作轴于点E，交抛物线于点F，求线段长度的最大值． 【解题归纳】 1. 平行看斜率相等，垂直看斜率乘积为-1； 2. 特殊坐标轴直线单独判定，避免公式失效； 3. 可通过位置关系快速判定图形形状，简化几何推理。 【二】综合提升 【题型3】二次函数与三角形周长（线段）综合 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围为______． 【变式3】（2026·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【题型4】二次函数与角度问题综合 【例题4】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，已知点． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一个动点，过点作轴，延长交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 【变式3】（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【三】探究拓展 【题型5】二次函数与四边形探究问题 【例题5】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【变式3】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． （1）求的值； （2）当矩形的周长最大时，求矩形的面积； （3）在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【题型6】几何综合压轴（多图形复合+动点探究） 考查核心：中考终极压轴题型，融合线段、面积、三角形、四边形的综合探究，考查综合解题能力。 【例题1】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 【变式3】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【解题归纳】 1. 分步拆解题型，先求定点、线段、面积，再探究几何存在性； 2. 所有分类讨论完整，不重不漏； 3. 最终结果结合图像与题干条件筛选，规范作答。 【四】中考链接 一、单选题 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． （3）图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $