精品解析：山东省淄博第四中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

【2026.10】淄博市高二上月考数学试题-淄博四中 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知三角形三个顶点分别为，，则边上中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多选题（每题6分，共24分） 10. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 12. 已知直线，其中为常数且则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率不存在时， C. 无论为何值，坐标原点到直线l的距离为定值 D. 若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积小于1 13. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 14. 直线l过点，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为________. 15. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 16. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 17. 已知，，则的最小值为__________． 四、解答题 18. 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 20. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 21. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026.10】淄博市高二上月考数学试题-淄博四中 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由题意已知直线的斜率为，,因此倾斜角为． 故选：C． 2. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，即， 又，，∴， ∴． 3. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断. 【详解】解：当时，：，：，，可得两直线平行； 若与平行，则，解得或舍， 故为充要条件， 故选：C. 4. 已知三角形三个顶点分别为，，则边上中线所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的中点坐标，然后利用两点式直线方程求解即可. 【详解】由得中点的坐标为，即． 则边上的中线应过两点， 由两点式直线方程，得，整理得． 故选：C 5. 如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7. 如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 8. 如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 9. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 二、多选题（每题6分，共24分） 10. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. l的倾斜角等于 B. l在x轴上的截距等于 C. l与直线垂直 D. l与直线平行 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，依次判断即可 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误； 因为经过点，所以直线的方程为，令，则，所以在轴上的截距为，所以B错误； 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，所以C正确； 因为直线的斜率为，直线的斜率也为，且两直线截距不等，故两直线平行，所以D正确. 故选：CD 12. 已知直线，其中为常数且则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率不存在时， C. 无论为何值，坐标原点到直线l的距离为定值 D. 若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积小于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，直线的倾斜角为，判断A、B正误；利用点到直线的距离公式求到直线l的距离、由直线l在坐标轴上的截距知三角形面积，判断C、D的正误. 【详解】直线，当时，直线方程为，直线的倾斜角为，故A、B错误； 坐标原点到直线的距离为，即无论为何值，到直线l的距离为定值，故C正确； 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积，故D错误． 故选：ABD． 13. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 存在点，使得平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当点为线段中点时，平面平面 D. 当点与重合时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项即可，A选项，计算向量与平面法向量的数量积；B选项，判断直线是否平行于平面；C选项，求出平面的法向量，验证两平面法向量是否垂直；D选项，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得， 因为分别是的中点，所以. 设是线段上的动点，， 设，其中，则. 设平面的法向量为，， 由，取，可得. 对于A：因为，又， 所以与平面的法向量不垂直，即与平面相交， 不存在点，使得平面，故A错误； 对于B：因为，又，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：当为线段中点时，此时， 设平面的法向量为， 由，取，可得， 因为，所以， 即平面平面，故C正确； 对于D：点与重合时，， 设直线与平面所成角为， 则，故D正确. 三、填空题 14. 直线l过点，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为0和不为0两种情况求解. 【详解】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，， 即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得， 即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 15. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 16. 在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的平行六面体法则可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求. 【详解】如下图所示： 由空间向量数量积的定义可知， ，， 由空间向量的平行六面体法则可知， 所以 ， 故，即体对角线的长度为. 17. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将题中所给的问题转化为几何问题，再进行求解即可. 【详解】由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合. 表示动点到定点四点的距离之和, 于是题目转化为求该距离的最小值. 因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度. 同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为. 当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立. 四、解答题 18. 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于直线l的对称点坐标； (2)直线l1：y＝x－2关于直线l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 【答案】(1) P′(－2,7);(2) 7x＋y＋22＝0;(3) 3x－y－17＝0. 【解析】 【详解】试题分析:(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，列出方程组求出坐标即可;(2)法一:联立两直线方程求出交点坐标; 在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2,联立两直线方程求出交点坐标;根据两个交点坐标利用两点式方程写出直线;法二: 在直线l1上任取一点P(x1，y1),根据点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′), 列出方程组把P点坐标用x′，y′表示,又点P在直线l1上运动，代入整理即可;(3) 设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′，根据直线平行设出方程, 任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，将解出的对称点代入直线方程,求出纵截距,可得直线方程. 试题解析: (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得. 所以P′(－2,7)． (2)法一：联立方程组解得 所以直线l1与l的交点为. 在直线l1：x－y－2＝0上任取一点(2,0)，过点(2,0)与直线l：3x－y＋3＝0垂直的直线方程为x＋3y＝2. 设直线x＋3y＝2与直线l的交点坐标为(x0，y0)， 则解得 即交点坐标为. 又点(2,0)关于点对称的点的坐标为， 所以过两点，的直线方程为＝，整理，得7x＋y＋22＝0. 则所求直线方程为7x＋y＋22＝0. 法二：在直线l1上任取一点P(x1，y1)(P∈l1)，设点P关于直线l的对称点为Q(x′，y′)，则 解得 又点P在直线l1上运动，所以x1－y1－2＝0. 所以－－2＝0， 即 7x′＋y′＋22＝0. 所以所求直线方程为7x＋y＋22＝0. (3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l′， 由l∥l′，设l′：y′＝3x′＋b. 任取y＝3x＋3上的一点(0,3)，则该点关于点A(3,2)的对称点一定在直线l′上，设其对称点为(x′，y′)． 则解得 代入y′＝3x′＋b，得b＝－17. 故直线l′的方程为y′＝3x′－17， 即所求直线的方程为3x－y－17＝0. 点睛: 三种对称(1)点关于点的对称：点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．(2)点关于直线的对称：设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)， 则有两直线斜率乘积为-1,且两点中点在直线上,可求出x′，y′.(3)直线关于直线的对称：①若直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 20. 已知直线． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （3）若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）或 （3）的最小值为16，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 21. 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． （2）在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $