精品解析：山东日照市五莲县第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

五莲一中高二年级2026-2027学年度十月考数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点间斜率公式求出直线斜率即可求倾斜角. 【详解】设的倾斜角为， 则由题可得直线斜率为. 故选：C 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 5. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案． 【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、， 则即为二面角的平面角，如下图所示： 设，∵， ∴，， 又∵，∴为等边三角形，则， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积计算即可. 【详解】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 8. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； 是坐标平面的一个法向量，故B错误； 设，则， 此时共面，与是空间的一组基底矛盾， 故也是空间一组基底，故C正确； 由两点间距离公式得， 故是等腰直角三角形，故D正确. 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可. 【详解】解：对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，取，直线：过第三象限，故D错误． 故选：AB. 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值. 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影的模为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义与向量的模的坐标公式计算即得. 【详解】向量在向量上的投影向量为 ， 则投影的模为. 13. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法以及二次函数的性质求得直线与直线所成角的余弦值的最大值. 【详解】设正方体的边长为，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设， 定义， 即，所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以当时取得最大值为. 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【小问1详解】 记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； 【小问2详解】 ，故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为， 设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 ， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 19. 如图，正四棱台中，，，. （1）求证：平面； （2）若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）证明平面，从而，同时在等腰梯形中，通过得到，所以平面； （2）（i）依题意，建系，计算出到平面上的投影点的距离，再根据直线与平面所成角的正切，得到，所以的轨迹是圆，计算周长即可；（ii）设的坐标为，利用向量共面和法向量得到点坐标，通过计算圆心到的距离，分析得到圆上一点到距离的最大值即可；也可设，计算出点到的距离，并利用建立约束分析最大值，从而有的最大值，然后运用向量法或利用点和点到平面的距离相等，得到点到平面的距离，进一步有三棱锥体积的最大值. 【小问1详解】 连结交于，连接交于点，连结， 在等腰梯形中，分别为中点，可得， 在正方形中，，又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 作，为垂足，在等腰梯形中，， ，得，由得， 在中，，所以即， 又平面，，所以平面. 【小问2详解】 （i）因分别为正四棱台的两底面的中心， 则平面，且， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设在平面上的投影为点，则， 设直线与平面所成角为，则，解得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为. （ii）解法一：设的坐标为， 因，即，得， 设， 即， ，解得，，从而， 记点到的距离为，则， 所以点到距离的最大值为，所以， 又， 记点到平面距离为，则， 所以. 解法二： 连结，因为且，所以为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面的距离相等，即为， 设， 记点到距离为， 则， 又， 由可得， 配方得， 令，可得当时，有，所以的最大值为， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五莲一中高二年级2026-2027学年度十月考数学学科试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 B. 在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量 C. 已知是空间的一组基底，则也是空间一组基底 D. 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形 10. 已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限 11. 如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（ ） A. 若为的中点，则平面 B. 存在点，使得平面 C. 的最小值为 D. 若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影的模为___________. 13. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________. 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 16. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 19. 如图，正四棱台中，，，. （1）求证：平面； （2）若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $