精品解析：广西壮族自治区桂林市第三中学2026-2027学年八年级上学期 10月学情自测 数学试卷

2026-2027学年上学期桂林市第三中学10月月考八年级数学卷 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 本卷共4页 满分：120分 一、选择题（共12小题，36分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． 2. 下列各式中，是分式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义：形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可，注意为常数． 【详解】解：A选项，分母为常数，是整式，不符合题意． B选项，为常数，分母为常数，是整式，不符合题意． C选项，分母含字母，是分式，符合题意． D选项，分母为常数，是整式，不符合题意． 3. 下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从左边是否为多项式、右边是否为几个整式的乘积的角度，判断各选项的变形是否为因式分解. 【详解】解：对各选项逐一分析如下： A、∵左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，∴符合要求； B、∵左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，∴不符合要求； C、∵右边含减法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； D、∵左边不是多项式，右边含除法运算，不是几个整式的乘积形式，∴不符合要求； 4. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义．最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，要判断哪个分式是最简分式，需依次分析每个选项的分子与分母是否有公因式，若没有公因式则为最简分式． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 5. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为  的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成  时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选D． 6. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：A． 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，整式的乘法． 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，整式的乘法逐一判断即可． 【详解】A、，原计算错误； B、，原计算正确； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选：B． 8. 如果分式的值为0，那么x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0．熟练掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，是解题的关键． 先分子为0，解绝对值方程，再验证分母是否非零． 【详解】解：由分子，解得，即或． 当时，分母，此时分式无意义，舍去． 当时，分母，满足条件． 综上，唯一满足条件的值为． 故选：D． 9. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抓住平方差公式“两项为平方项且符号相反”的适用特征判断各选项． 【详解】解：A.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； B.，仅能通过提取公因式分解，不符合平方差公式特征； C.，两平方项符号相同，不能用平方差公式分解； D.，符合平方差公式特征，能用平方差公式分解． 10. 把多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 11. 如果把分式中的和都扩大倍，即分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把和都扩大倍后分别变为，，然后再代入分式中进行化简计算即可判断，熟记分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵和都扩大倍后分别变为，， ∴分式的值变为， ∴分式的值扩大倍， 故选：． 12. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据反射角等于入射角，依次找出小球每次碰到长方形边上的点，得到碰撞点以次为一个周期循环，进而求出第次碰撞对应的点． 【详解】解：根据反射角等于入射角的规律，分析小球的运动路径，依次确定每次碰撞的点位：第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次碰到长方形边：点； 第次：从向右上反弹，沿对角线穿过网格，碰到长方形的上边（点右侧的顶边位置）； 第次：从上边的碰撞点向右下反弹，碰到长方形的右边点位置； 第次：从右边的碰撞点向左下反弹，最终落在底边点，和第次的碰撞点完全重合； 小球的碰撞位置以次为一个周期循环出现，计算周期余数： ， 余数为，说明第次碰撞的位置，与一个周期内第次碰撞的位置相同，对应点为． 二、填空题（共4小题，12分） 13. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如果分式无意义，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式无意义的条件是分母等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义时，分母的值为， ∴， 解得． 15. 分式和的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：对于分式和，2和3的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为， 因此分式和的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母的求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 16. 已知，，，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，，的值，再对所求代数式变形因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 三、解答题（共7大题，72分） 17. 将下列各式因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将异分母分式转化为同分母分式后计算； （2）先算括号内同分母加法，分解因式后将除法转化为乘法约分计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 【答案】化简结果为，原式的值为 【解析】 【详解】解： ， 解不等式得，其正整数解为， ∵， ∴， ∴原式． 20. 阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解十字相乘法．对于形如的多项式，进行因式分解时，关键是要找到两个数，使这两个数的乘积等于常数项，同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数．分解时要注意观察、尝试，并体会它的实质是二项式乘法的逆过程． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为 H，F，，求证：． 证明：∵，（ ） ∴，（ ） 即（ ） ∴（ ） ∴_________ ∵ ∴ （ ） ∴ ∴（ ） 【答案】 解：已知；垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行 ；；；同角的补角相等； ；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】略 22. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． （1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． （2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________ 方法2：_________ 数学等式：_________ （3）利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】（1）， （2），， （3）19 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【小问1详解】 解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：将，代入得：， 即， 解得． 23. 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） （2）当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ （3）将分式化成带分式. 【答案】（1）假分式 （2）当时，分式有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，进一步即可得到答案； （3）把原式化为，进一步变形即可得到答案． 【小问1详解】 解：分子、分母的次数相等，则是假分式； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，的最大值为， ∴当时，分式有最大值，最大值是； 【小问3详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期桂林市第三中学10月月考八年级数学卷 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 本卷共4页 满分：120分 一、选择题（共12小题，36分） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是分式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，是最简分式的是 （ ） A. B. C. D. 5. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果分式的值为0，那么x的值为（ ） A. B. C. D. 9. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 10. 把多项式分解因式，得，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如果把分式中的和都扩大倍，即分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 不变 D. 缩小倍 12. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（即：，）．小球从点出发第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点记为点，第次碰到长方形边上的点为图中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（共4小题，12分） 13. 分解因式：__________． 14. 如果分式无意义，则__________． 15. 分式和的最简公分母是______． 16. 已知，，，则代数式的值为__________． 三、解答题（共7大题，72分） 17. 将下列各式因式分解： （1） （2） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 20. 阅读教材：人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： （1） （2） 21. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为 H，F，，求证：． 证明：∵，（ ） ∴，（ ） 即（ ） ∴（ ） ∴_________ ∵ ∴ （ ） ∴ ∴（ ） 22. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． （1）对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． （2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________ 方法2：_________ 数学等式：_________ （3）利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 23. 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： （1）分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） （2）当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ （3）将分式化成带分式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $