精品解析：北京市石景山区景山学校远洋分校2025-2026学年高三10月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期10月月考试卷 高三数学 一、单选题（共10道小题，每题只有一个正确选项，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. 设实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，取即可说明错误；对于B，结合指数函数单调性即可判断. 【详解】对于ACD，取，此时、、不成立， 对于B，因为指数函数是增函数，，所以，故B正确. 故选：B. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数，单调性的概念对每个选项直接判断即可. 【详解】对A，，定义域为，，所以为偶函数， 又在单调递增，所以在上单调递减，故错误； 对B，，定义域为，且，所以为偶函数， 又在单调递减，所以在上单调递增，故正确； 对C，，定义域为，又，所以不是偶函数，故错误； 对D，，定义域为，， 所以为偶函数，又在单调递增，所以在上单调递减，故错误. 故选：B 4. 将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平移的性质计算即可得. 【详解】将函数图象上的所有点向左平移个单位， 得到函数的图象. 故选：D. 5. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知等式，直接代入数值计算，即可得答案. 【详解】由可得， 即，则， 故选：C 6. 设函数的图象为，下列结论中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 图象关于点对称 C. 图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 函数在区间上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可. 【详解】函数的最小正周期是； 因为，所以图象关于点对称； 图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到； 函数的单调递增区间是，单调递减区间是，取，得函数的一个单调递增区间是，一个单调递减区间是，故在区间上不是单调递增的，而是先递增后递减． 故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查数学运算能力，是中档题. 7. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导根据原函数的单调性确定导函数的正负情况结合二次函数图象的性质确定即可求出的取值范围. 【详解】对函数求导得：， 因为函数在定义域上不是单调函数，所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故，即，所以，所以实数不可能是. 故选：C 8. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数的解析式，利用诱导公式化简，结合余弦函数的单调性即可判断充分性；根据函数在上单调递减，可以推出区间是区间的一个非空子集，即可解得，从而判断必要性. 【详解】由题意，若， 则， 由，得， 此时函数单调递减，所以充分性成立； 若函数在上单调递减， 由，得， 则， 所以，， 解得，即，所以必要性成立； 因此，“”是“函数在上单调递减”的充分必要条件. 故选：C. 9. 已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 解题的关键有二：其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理；其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围. 10. 对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假： 命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数； 命题丙：在上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　） A. ①③ B. ①② C. ③ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性以及对数、二次函数、余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】函数①，函数=是偶函数；结合偶函数的性质以及对数函数的单调性得出在上是减函数，在上是增函数； 但对命题丙：令，，， 因为，所以，排除函数①； 对于函数③，令，则，即函数不是偶函数，排除函数③； 对于函数②，，是偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，满足在上是增函数， 故函数符合要求； 故选：D． 二、填空题（共5道小题，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 11. 函数的定义域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为,根号内要大于等于且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得. 【详解】由题可知，解得 故答案为：. 12. 、、，从小到大的顺序是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】，， 如下图所示： 设角的终边与单位圆交于点，过点作轴，过点作轴的垂线交射线于点， 则，，由图可知，，即， 因此，. 故答案为：. 13. 如果已知，那么的值为_____，的值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在等式的两边同时平方，结合二倍角的正弦公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】在等式的两边同时平方得，即，解得. 由二倍角的余弦公式可得. 故答案为：；. 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则_________，_________. 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】先根据与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知A，B是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则. 且，则，则， 同理，则，则， 因此，解得. 因为及，则函数的图象过点，可得， 所以，，则，. 由于，则，那么. 将代入可得：. 故答案为：2； . 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断； ②对进行分类讨论，即可判断； ③结合①②的情况进行判断即可. 【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时，，则在上单调递增； 当时，,,,则在上没有最小值； 当时，,,,则在上没有最小值； 故②正确； 对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，， 当时， 当时，存在零点， 所以这两个零点距离大于，故③错误； 对于④，， 因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确. 故答案为：②④. 三、解答题（共6道小题，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 16. 已知函数. （1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； （2）若在区间上的最大值为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再求出函数图象的对称轴方程即可. （2）分析函数在的性质，确定最大值点，再结合函数值求出. 【小问1详解】 函数 由，解得 所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为． 【小问2详解】 当时，， 由在区间上的最大值为，得， 而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减， 因此，，解得， 所以的值是. 17. 如图，在中， ， ，点在边上，且， . （1）求； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 【详解】（I）在中，∵，∴ ∴ （II）在中，由正弦定理得： 在中，由余弦定理得： ∴ 考点：正弦定理与余弦定理． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调增区间为和，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【小问1详解】 因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 19. 在中，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出余弦值进而得出角； （2）选择条件①三角形不存在；选择条件②应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理及余弦定理计算求出边长，最后应用面积公式计算；选择条件③先应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理， 得. 所以. 所以. 因为，所以. 所以. 所以. 【小问2详解】 选条件①：，， 由余弦定理，得. ，不存在； 选条件②：. 由，可得. 由正弦定理，得. 由余弦定理，得 ，整理得. 解得，或（舍）. 所以的面积. 条件③：. 因为，且，所以. 由余弦定理，得. 解得，或（舍） 所以的面积. 20. 已知函数. （1）若时，有解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下取最小值时，求证：恒成立. 【答案】（1） （2）由（1）得，. . 因此，当时，单调递增；时，单调递减. 所以的最大值为. 设， ， 时单调递增，. 故时，，即. 所以. 因此，对任意恒成立. 【解析】 【分析】（1）先由得，令，对其求导，用导数方法研究其单调性，进而可求出结果； （2）先由（1）得，对其求导，用导数方法求出其最大值；再令，用导数方法求出其最小值，得到，进而可证明结论成立. 【小问1详解】 由得. 令， . 所以在上单调递减. 又当趋向于时，趋向于正无穷大， 故，即. 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型. 21. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，. （1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值； （2）设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列； （3）证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 【答案】（1），； （2）证明：充分性：因为是公差为的等差数列，且，则， 因此，， 必要性：因为，则，又因为，所以， 于是， 因此，，即是公差为的等差数列， 所以(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列. （3）证明：因为，(n=1,2,3…)，则，，即对任意，， 假设中存在大于2的项， 设m为满足的最小正整数，则，并且对任意， 又因为，则有，且， 于是， 因此，与矛盾， 从而对于任意，都有，即非负整数数列的各项只能为1或2， 因为对任意，，于是，， 假定是无穷数列中最后一个1，则，而，于是，矛盾， 所以数列有无穷多项为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数列，结合给定的定义计算作答. （2）利用充要条件的定义，结合等差数列定义和已知推理判断作答. （3）根据给定的定义，利用反证法推导中的项不能超过2，并且1不可能为有限个作答. 【小问1详解】 依题意，，则，，则，，则，，则， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期10月月考试卷 高三数学 一、单选题（共10道小题，每题只有一个正确选项，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设实数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，（ ） A. B. C. D. 5. 长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 设函数的图象为，下列结论中正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 图象关于点对称 C. 图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D. 函数在区间上是增函数 7. 已知函数在定义域上不是单调函数，则实数不可能是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. “”是“函数在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假： 命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数； 命题丙：在上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　） A. ①③ B. ①② C. ③ D. ② 二、填空题（共5道小题，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 11. 函数的定义域为_______. 12. 、、，从小到大的顺序是________． 13. 如果已知，那么的值为_____，的值为________. 14. 已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则_________，_________. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数a，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有； ④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有. 其中所有正确结论的序号为______. 三、解答题（共6道小题，请把正确答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效） 16. 已知函数. （1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值； （2）若在区间上的最大值为，求的值. 17. 如图，在中， ， ，点在边上，且， . （1）求； （2）求的长. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 19. 在中，. （1）求； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数. （1）若时，有解，求的取值范围； （2）在（1）的条件下取最小值时，求证：恒成立. 21. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，. （1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值； （2）设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列； （3）证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $