精品解析：山东省青岛第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

2026—2027学年度第一学期高一年级阶段性检测 高一数学试题 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 7 C. 4 D. 2 4. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡、两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_____． 13. 已知，，若，则的取值范围是______． 14. 对于狄利克雷函数，下列命题中说法正确的有__________ ①．对于任意，都有 ②．对于任意，都有 ③．存在x是无理数，使得 ④．若，，则有 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. （1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 18. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 19. 已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. （1）若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； （2）若，写出所有的“理想集”的个数并列举； （3）若，证明：集合必为“理想集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期高一年级阶段性检测 高一数学试题 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 2. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合,然后求交集. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为， 或，. 或或，， . 故选：B 3. 定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 7 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，由一次函数和二次函数的图象作图，即可求出函数的最小值，从而可得出答案. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得． 故 作出的图象（图中的实线部分）． 由图象结合函数解析式可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为2． 故选：D. 4. 使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡、两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件分别表示两次称量的物品实际质量，将总质量转化为对勾函数形式，再用基本不等式推导取值范围，结合不等臂条件逐一排除错误选项. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为（，两臂不等长），两次取出的物品甲实际质量分别为、，总质量， 根据杠杆平衡条件得，整理得，根据杠杆平衡条件得，整理得， 故总质量，令（且），则， 根据基本不等式得， 当且仅当即时取等号（此时，两臂仍不等长，满足题意），即， A.该结论一定成立； B.当臂长比时，，反例存在，错误； C. 的取值随臂长比变化，并非一定为，错误； D.当臂长比时，，反例存在，错误. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 6. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，即，且，，穿根法进行求解. 【详解】，即， 即， 因为恒成立，所以原不等式等价于， 即，且，， 可利用根法进行求解，如图： 解得或， 故原不等式的解集为． 故选：B． 8. 设集合，集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出集合中元素个数，再计算出集合中满足的元素个数，两者相减即可得. 【详解】集合中元素个数共有个， 若，则有， 则可能，共1种； 或，或，共2种； 或，或，共2种； 故集合中满足的元素的个数为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：当时，当时，，若，则，故A正确； B选项：当时，故B错误； C选项：若，则，但，故C错误； D选项：若，则，即，故D正确. 10. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（ ） A. B. C. 则实数的取值范围是 D. ，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接代入即可得结果；对于B：代入结合基本不等式分析判断；对于C：可得，结合判别式运算求解；对于D：可得，根据对勾函数性质分析求解即可. 【详解】因为. 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即， 则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即， 因为在内单调递增，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点； （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解. 【详解】命题“，”的否定为：“，”， 因为原命题为假命题，则其否定为真，所以只需，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据特称命题的真假求参数的取值范围，较简单，解答时要灵活转化. 13. 已知，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合的运算法则，把，转化为，分类讨论，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，， 因为，可得，即， 当时，可得，解得； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】根据集合的运算求参数问题的方法： 1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解， 2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； 3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到. 14. 对于狄利克雷函数，下列命题中说法正确的有__________ ①．对于任意，都有 ②．对于任意，都有 ③．存在x是无理数，使得 ④．若，，则有 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①④：可知的值域为，结合值域分析判断即可；对于②：举反例说明即可；对于③：若x是无理数，则是无理数，结合函数解析式分析判断即可. 【详解】因为， 对于选项①：因为的值域为，即为有理数， 所以对于任意，都有，故①正确； 对于选项②：例如，则，即均为有理数， 则，故②错误； 对于选项③：若x是无理数，则是无理数，则， 所以不存在x是无理数，使得，故③错误； 对于选项④：因为的值域为，且，， 则，， 所以，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式得，然后解二次不等式得，再根据集合的交并补运算求解； （2）由题可知集合是集合的真子集，即时，恒成立，然后利用参变分离求参数范围即可． 【小问1详解】 ，则， 解得，则， ，，解得， ，或， 或； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件， 则集合是集合的真子集， 即时，恒成立， 在上恒成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 故， ， 即实数的取值范围为． 16. （1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【答案】（1）；（2）；（3） ；（4）最小值是，无最大值 【解析】 【分析】（1）带两个根号相加求最值，优先平方处理，转化为二次函数求范围，注意定义域约束； （2）含的根式函数，常用换元法把根号换成新变量，转化为二次函数求值域； （3）分式分子分母都是二次多项式，优先分离常数，利用直接分析范围； （4）复杂分式代数式，先拆项化简，构造对勾函数；使用均值不等式时，一定要验证取等条件在定义域内是否可达. 【详解】（1）由得，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为； （2）令，则，则，故即为， 而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，即， 故函数的值域为； （3）， 因为，所以，， 则函数的值域为； （4）由， 因为，由基本不等式，当且仅当取等号， 因为，所以，令，则，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等，所以函数的最小值为， 当时，，故函数无最大值． 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）代入可得，因式分解解一元二次不等式即可； （2）当时，解得，当时，因式分解可得：，分类讨论最高次项系数和两根大小解不等式即可； （3）参变分离可得，根据恒成立问题结合一元二次函数最值运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为． 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为； 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为空集； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【小问3详解】 因为恒成立，所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，开口向上，对称轴为 因为，所以当时，二次函数有最小值 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为. 18. 某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过40万件，每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分，其中固定成本为35万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本） （2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】（1） （2）万件 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式即可； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 根据题意得，当时，； 当时，， 故. 【小问2详解】 当时，，由二次函数的性质可知，当时， 取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，故当时，即每年生产万件该芯片时，公司获得的年利润最大，为万元. 19. 已知集合，集合，记的元素个数为.若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”. （1）若，分别判断集合，是否为“理想集”（不需要说明理由）； （2）若，写出所有的“理想集”的个数并列举； （3）若，证明：集合必为“理想集”. 【答案】（1）不是“理想集”，是“理想集”. （2），，，，，，，，，，，，，，， （3） 若，记且. 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，，…，. 记，于是，则. 因此，矛盾. 故集合必为“理想集”. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 不是“理想集”，是“理想集”. 由题意，令，则； 令，则；令，则； 令，则；所以不是“理想集”. 令，则，所以是“理想集”. 【小问2详解】 共16个“理想集”. 若，有. 当时，若，则，由可知，故或； 若，则，由可知，则，故. 故含有三个元素的“理想集”，或，共3个. 当时，，，，，，，或，共7个. 当时，，，，，，共5个. 当时，，共1个. 综上所述，所有“理想集”的个数为16个分别为：，，，，，，，，，，，，，，，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $