精品解析：江苏省徐州市沛县2026-2027学年第一学期第一次学情调研高一数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次学情调研 高一数学试卷 一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式，解得， 不等式的解集的解集为. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，只改量词与结论，前提条件不变. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 若全集，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的运算求出和，根据交集的运算求出. 【详解】， ，， . 故选：A. 4. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 5. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 6. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，取、，可得， 故“”不是“”的充分条件； 若，则、，则，故，即有， 故“”是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的必要不充分条件. 8. 已知正实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则， 当且仅当时取等号，故A错误； 因为，则， 所以，当且仅当时取等号，故B错误； ，当且仅当时取等号， 故C错误； ，故，当且仅当时取等号，故D正确． 9. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 10. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 11. 已知，为正实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有先错的得0分. 12. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 13. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 14. 设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（ ） A. 集合不是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D. 若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 又，所以. 16. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 17. 已知中有且仅有一个元素，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知求出，化简，再换元利用基本不等式求解. 【详解】由于有且仅有一个元素， 所以. 所以. 所以, 设， 所以. 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）解出和即可得解； （2）利用补集的定义求出，利用并集的运算求解. 【小问1详解】 由得1<x<2， 由可得，解得x<0或x>1， ∴或. 【小问2详解】 由（1）得，或， ， 由补集的定义可得或，. 19. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由写出集合，根据补集的运算求出，求出集合，根据交集运算即可求出. （2）由“”是“”成立的必要不充分条件得到集合是集合的真子集，根据真子集的定义列出的不等式（组），计算求解. 【小问1详解】 当时，集合，则或， 又由不等式，解得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，集合， 当时，， 因为使得“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得， 所以正实数的取值范围是. 20. （1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）对原式拆项变形，凑出与，利用基本不等式求最小值并验证等号成立条件； （2）先由条件推出，换元简化目标式，再使用基本不等式求得最小值． 【详解】（1），则， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2），则，即， 由，且，故，故， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为． 21. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与  轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. 【小问2详解】 ， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 22. 如图，某厂商计划设计一个正方形地砖，图案的花纹由两个完全相同的矩形和构成，且矩形的面积为．灰色部分（图中四个矩形）的造价为100元；中心部分（图中黑色部分）的造价为140元：白色部分（图中八个三角形）的造价为40元．设的长度为（单位：）．试求： （1）地砖的面积（单位：），并计算的最小值； （2）当为何值的时候，单块地砖的造价最小，并求的最小值． 【答案】（1）2 （2），元 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，再利用基本不等式求出最值即可； （2）先求出各个区域面积，再求出M的表达式，利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 在等腰直角三角形中，，同理， 由矩形的面积为可得， 在等腰直角三角形中，， 则， 则，， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以时，. 【小问2详解】 由题意，黑色部分面积为，灰色部分面积为1， 则白色部分面积为， ， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以当时，元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次学情调研 高一数学试卷 一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若全集，则（　　） A. B. C. D. 4. 设全集，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 2 6. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 7. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知正实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 25 11. 已知，为正实数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有先错的得0分. 12. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 13. 已知为实数，下列命题中一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若 且 ，则 D. 若，则 14. 设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（ ） A. 集合不是“闭集合” B. 正整数集是“闭集合” C. 若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D. 若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15. 已知，，，则______． 16. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 17. 已知中有且仅有一个元素，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 19. 已知集合，． （1）若，求； （2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 20. （1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 21. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 22. 如图，某厂商计划设计一个正方形地砖，图案的花纹由两个完全相同的矩形和构成，且矩形的面积为．灰色部分（图中四个矩形）的造价为100元；中心部分（图中黑色部分）的造价为140元：白色部分（图中八个三角形）的造价为40元．设的长度为（单位：）．试求： （1）地砖的面积（单位：），并计算的最小值； （2）当为何值的时候，单块地砖的造价最小，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $