精品解析：江苏徐州市沛县2025-2026学年高一上学期第一次学情调研数学试题

2025―2026学年度第一学期第一次学情调研 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合A满足条件，则集合A的个数为 A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 13. 若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是__________. 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 16. 已知集合 ，集合 . （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 17. 已知为实数，集合. （1）若命题“”是假命题，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025―2026学年度第一学期第一次学情调研 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】集合， 则. 故选：D 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】依据存在量词命题的否定为全称命题的规则，更换量词、否定结论且保留原取值范围即可得到结果. 【详解】，对应选项A. 3. 设，，则是的（　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【详解】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B 4. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】不等式的解集为， 则需满足，解得， 故选：B 5. 已知集合A满足条件，则集合A的个数为 A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系可知：集合A中除了含有1，2两个元素以外，可能含有另外的元素，据此即可求出． 【详解】集合A中必须有元素1和2，可有3，4，5这三个元素中的0个，1个，2个， 故集合A的个数有个， 故选B． 【点睛】熟练掌握集合间的包含关系是解题的关键，本题是一道基础题． 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 7. 设正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可将化为，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 8. 已知正数满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意知：不等式恒成立， 即， ， 即：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，当且仅当即 时等号成立. ∴当时，取得最小值为8. ∴解得： 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，则，故A，B正确； 因为，所以，故C错误； 若，则不成立，故D错误. 10. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出， 当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误; 对于B，如，但，所以推不出， 如，但，所以推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 因为若则一定成立，但若则不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确; 由得，，由可推出，不能推出， 所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件， 故D正确; 故选:CD. 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，不等式，即的解为， ∴，则， ∴，，则A正确，D正确； 原不等式可化为， 令， 由题意可知函数的零点分别为且图象开口向下， 与直线两交点的横坐标分别为，且， 作出函数的大致图象如图所示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则集合的真子集个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】列举出集合的所有真子集即可得解. 【详解】集合的真子集为：，共3个. 所以集合的真子集个数为3. 故答案为：3 13. 若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，不等式的解集为空集，显然不成立； 当时，不等式，可得， 要使得不等式的一个充分条件为，则满足， 所以，即实数a的取值范围是. 14. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为__________． 【答案】49 【解析】 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【小问1详解】 由已知，， 得； 【小问2详解】 由，， 得或. 16. 已知集合 ，集合 . （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式得出集合A，再应用集合的交集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以； 【小问2详解】 因为， 因为集合，集合， 所以， 所以实数的取值范围. 17. 已知为实数，集合. （1）若命题“”是假命题，求实数的取值范围； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到命题“”是真命题，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，当时，显然成立；当时，转化为恒成立，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为集合， 由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题， 即在上恒成立， 因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：因为恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，符合题意； 当时，等价于恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米. （1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值； （2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求草坪的长、宽各为多少时，整个绿化面积最小，并求出最小值. 【答案】（1）16米； （2）长为，宽为米时整个绿化面积最小；最小值为平方米. 【解析】 【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可； （2）由题可表示出整个绿化面积，然后利用均值不等式，即得最小值. 【小问1详解】 设草坪的宽为x米，长为y米， 由面积均为400平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少大9米， 所以，所以， 解得， 又，所以， 所以宽的最大值为16米； 【小问2详解】 记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得 （平方米） 当且仅当米时，等号成立，此时米， 所以当草坪为长为米，宽为米的矩形时，整个绿化面积的最小，最小值为平方米. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $