精品解析：江西省南昌市第二中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试题

南昌二中2026-2027学年度上学期高二数学月考（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知两点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴相交于两点，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，平行六面体中，，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线表示过直线和直线交点的所有直线 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线的距离可能为 11. 在正三棱柱中，点满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与异面 C. 若平面，则 D. 若点在平面内，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 14. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点坐标； （2）求边所在的直线方程. 17. 已知点、，直线． （1）若直线过点，且直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线过点，且横截距是纵截距的倍，求直线的方程； （3）若圆心在直线上，且圆经过、两点，求圆的方程． 18. 在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点重合）． （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值． 19. 如图，直三棱柱中，，点在上，且，点是线段上异于端点的动点． （1）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求； （2）若，求二面角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2026-2027学年度上学期高二数学月考（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可化简为，则圆心为. 2. 已知两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用公式计算即可. 【详解】因为，所以. 3. 已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线经过点，所以直线的斜率为：， 设直线的倾斜角为，其中，可得，所以倾斜角． 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线与直线平行， 得，所以. 5. 已知空间中、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 6. 在直三棱柱中，已知，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，，设， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：C. 7. 直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴相交于两点，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，直线恒过，表示出两点的坐标，再由，结合基本不等式求最值即可． 【详解】由题可知，， ，解得， 则直线恒过， 令，则，令，则， 所以， 所以，当且仅当时等号成立． 8. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取正方形的中心分别为，则球心在线段上，设，半径为，然后利用外接球的定义，列方程求解即可． 【详解】取正方形的中心分别为， 由题意知球心在线段上，连接， 设，则，设半径为， 则，则， 故几何体的外接球的表面积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，平行六面体中，，且，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则与相等向量替换判断向量表达式A、B；把向量用基底展开，通过数量积运算判断垂直关系C；利用向量模长平方等于向量自身平方，结合数量积公式计算，判断D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，因为 ，所以正确； 对于D，因为 ， 所以，D错误． 10. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线表示过直线和直线交点的所有直线 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 坐标原点到直线的距离可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将含参数直线整理为直线系方程求出定点，逐项分析：A选项，联立方程求定点；B选项，判断直线系能否表示全部过交点直线；C选项，根据直线不过第二象限的几何特征，结合斜率与截距分类讨论参数范围；D选项，利用定点到原点距离，判断原点到直线距离的取值范围． 【详解】对于A，因为， 所以，则， 解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，因为，所以直线不能表示直线，B错误； 对于C，当直线斜率存在时，则，令，则， 因为恒过点，所以当时，直线不经过第二象限，解得； 当直线斜率不存在时，，符合题意，所以，C正确； 对于D，因为原点到点的距离为， 所以坐标原点到直线的距离可能为，D正确． 11. 在正三棱柱中，点满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与异面 C. 若平面，则 D. 若点在平面内，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析所在平面，及与该平面的关系判断A；取特值可得与可能共面，由此判断B；由线面垂直的性质得，由此求得的关系，判断C；由四点共面的条件判断D. 【详解】对于A，分别取的中点，连接， 当时，在的中线上， 所以平面， 由平面， 得平面， 所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在上，所以与共面，故B错误； 对于C，若平面，则，所以， 即， 因为，所以， 所以，则；故C正确； 对于D,， 所以， 因为点在平面内，所以，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线：截圆：的弦长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题知圆:的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，. 弦长为. 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线倾斜角及斜率的关系，结合两角差的正切公式求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 所以． 14. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理，分析点的轨迹，即可求得的最小值. 【详解】设的中点为，，取点在上，且，则. 因为平面，所以， ，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面， 所以取中点，过点作平面的垂线，垂足为，则在上. ，且平面， 点的轨迹为以为球心，以为直径，即的球与平面的相交圆弧. ， ，， ， 由， 得点到平面的距离为. 所以到平面的距离为， 所以相交圆半径， 点轨迹为在平面中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，连接． 在直四棱柱中，四边形是矩形， 为的中点，又点是棱的中点，因此， 又平面，平面， 所以平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，底面是矩形，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知顶点，边上中线所在直线方程是，的角平分线所在直线方程是. （1）求顶点坐标； （2）求边所在的直线方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）可设点，求出线段的中点坐标，代入直线的方程，求出的值，即可得出点的坐标； （2）求出点关于直线的对称点的坐标，求出直线的方程，即为直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可设，则边的中点， 代入有，解得， 所以顶点坐标是. 【小问2详解】 解：由题意知，点关于直线的对称点在直线上， 可设得：解得：，， 得直线的斜率， 所以边所在的直线方程是，即. 17. 已知点、，直线． （1）若直线过点，且直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线过点，且横截距是纵截距的倍，求直线的方程； （3）若圆心在直线上，且圆经过、两点，求圆的方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件设直线的方程为，再利用直线过点，即可求解； （2）分截距为和不为两种情况，再结合条件，即可求解； （3）设出圆的一般方程，根据条件，利用待定系数法建立方程组，即可求解. 【小问1详解】 因为直线，所以设直线的方程为， 又因为过点，所以，解得，即直线的方程为. 【小问2详解】 若横截距和纵截距都为，则直线的方程为； 若横截距和纵截距都不为，设横截距为，纵截距为，则的方程为， 又因为直线过点，则，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 设圆的方程为，圆心坐标， 则，解得，则圆的方程为 18. 在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点重合）． （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值． 【答案】（1）因为是直径，所以， 因为圆柱体，所以平面， 所以，又因为，平面, 所以平面； （2）（ⅰ）（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先证明，，然后证明平面. （2）由题知三棱锥体积最大时，点为半圆弧的中点， （ⅰ）建系利用向量法求解. （ⅱ）将平面与平面展开到同一平面，再结合余弦定理计算的最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （ⅰ）， 又是定值，当三棱锥体积最大时即高最大， 即点为半圆弧的中点， 设线段的中点为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 设平面的法向量为． 则，则， 令，得，，则． 因为平面，平面， 又，，平面， 平面，是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为. （ⅱ）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接交于点，如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，，，所以， ， 再由余弦定理得， 即的最小值为． 19. 如图，直三棱柱中，，点在上，且，点是线段上异于端点的动点． （1）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求； （2）若，求二面角的正弦值的最大值． 【答案】（1）（ⅰ）因为直三棱柱， 所以，又因为，， 所以平面，因为平面，所以平面平面； （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先证明，再证明平面，然后证明平面平面. （ⅱ）建立空间直角坐标系，用向量法求出球心的坐标，设，列出方程解出，然后计算. （2）由题意可设点的坐标为，然后用向量法求出二面角的正弦值，再利用换元法求出其最大值. 【小问1详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）因为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设球心， 则，解得或（舍去）. 由题意知球心， 设，所以， 则，则或（舍去）， 则. 【小问2详解】 以分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，. ，. 设平面的法向量为， 则,，令，则， 所以， 由题可得平面的法向量， 所以， 则二面角的正弦值为 令，，，， 由，，，，所以， 即二面角的正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $