精品解析：河北邢台市卓越联盟2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

高二第一次学情调研数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若空间的单位基底满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 10. 已知空间向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点，则点的坐标为__________． 13. 一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 14. 在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16. 在正方体中，，为的中点，为的中点．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）请直接写出点，，，的坐标； （2）若，分别为，上的点，且，，三点共线，求点，的坐标； （3）设，若，，，四点共面，求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． （1）证明:． （2）证明：平面． 18. 如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． （1）若平面平面，证明：． （2）已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 19. 定义：在四面体中，若过顶点的直线与棱，，所成的角均相等，则称为顶点处的等角轴，已知在四面体中，底面，，，顶点，，，处的等角轴交于一点，过点作，，，，，，垂足分别为，，，，，，如图所示． （1）求的长． （2）求点到平面的距离． （3）试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一次学情调研数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两点坐标计算直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为 ， 可得，结合，解得. 2. 若直线过点且斜率为，则的点斜式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程的定义，代入已知的定点坐标和斜率即可得到对应方程. 【详解】由题意可知，直线过定点且斜率，由直线的点斜式方程的定义，可得直线的点斜式方程为，故C正确. 3. 在三棱柱中，D是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】， 4. 若空间的单位基底满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合单位向量的模长性质及已知的基底夹角的余弦值代入计算即可得到结果. 【详解】根据向量数量积的线性运算律，将所求表达式展开，得， 由为单位基底，得，因此， 根据向量数量积的定义，结合已知，可得： ， 将上述结果代入展开式计算，得，故D正确. 5. 在，，这三条直线中，其中一条与另外两条直线都垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得三条直线的斜率，结合题意，可得，即可求解. 【详解】根据题意，当时，不符合题意，所以，则，，， 因为，所以只能是同时垂直于，所以，解得． 6. 如图，线段，都在平面α内，，平面α，，，则在平面内的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，先证明平面，得出在平面内的投影向量为，即是在上的投影向量，再代公式计算得出结果. 【详解】由题可知如图，过点作，垂足为， 因为平面α，所以，又，所以平面， 故在平面内的投影向量为 7. 已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平面与平面的法向量分别为，，求出，再结合逐一判断即可. 【详解】，设平面与平面的法向量分别为，. ，令，，. 由平面平面，. 当时，，A错误. 当时，，B错误. 当时，，C错误. 当时，，D正确. 8. 已知函数若关于的方程有两个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，利用直线与的图象有两个交点，由图确定的变化范围即可. 【详解】根据题意可得直线与的图象有两个交点，作出的图象，如图所示， 由得. 由，解得，此时． 因为，所以当直线经过点时，斜率为． 故由图可得k的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 所有直线都可以用方程表示 B. 过点，的直线的两点式方程为 C. 所有过点的直线都可以用方程表示 D. 在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程表示 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，所有直线都可以用方程表示，A正确； 对于B，过点，的直线的两点式方程为， 即，B正确； 对于C，直线经过点，但不可以用方程表示，C错误； 对于D，在两坐标轴上的截距均为0的直线不能用方程表示，D错误. 10. 已知空间向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查空间向量的数量积运算、夹角计算、模长最值，通过对已知向量等式两边平方求解数量积，结合二次函数性质求最值即可逐一判断选项. 【详解】已知，，. 选项A：将两边平方得， 代入数值得，解得，则，故，A错误. 选项B：，故，B正确. 选项C：将两边平方得， 代入数值得，解得， 故，C正确. 选项D：， 这是开口向上的二次函数，最小值为，故的最小值为，D正确. 11. 如图，半圆面平面，是圆的直径，多边形是正六边形，，，分别是弧，线段上的动点（均不含端点），，则（ ） A. 平面平面 B. 不存在点，，使得 C. 点的运动轨迹长度为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A选项；通过建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标为，利用向量共线，设，可得点坐标，利用向量垂直关系可判断B选项；根据B选项中得到的与的关系式，求得点运动轨迹，可判断C选项；利用数量积的坐标运算，可判断D选项. 【详解】因为为直径，所以，因为半圆面平面，半圆面平面，，平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，因为， 所以平面，又平面，所以平面平面，则A选项正确； 取的中点P，连接，，取半圆弧的中点，连接, 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，,设， 则，设则， 所以，由，得． 由，得，所以，所以，解得，则B选项错误; 由，得，所以 因为，所以，令，， 则， 所以，，所以，又， 所以点H的运动轨迹长度为2，则C选项正确； 连接，则，当时，取得最小值，最小值为，则D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直线过定点，即与参数无关，因此整理为关于的方程式即可求解. 【详解】由，得，所以，解得， 即． 13. 一条光线从点射出，经平面反射后到达点被吸收，则该光线从点到点走过的路程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】点关于平面Oyz对称的点为， 则所求路程为． 14. 在四棱台中，平面，四边形为正方形，，为棱的中点，点在侧面内．若，则面积的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，根据题意设，，由转化为，得到的关系式，利用二次函数求最值即可得到的最小值，由四棱台的线面位置关系判断出是直角三角形，当最小时的面积最小，最后用面积公式求出即可． 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，． 设，则．因为， 所以， 由，，得，所以， ， 当时，等号成立，取得最小值，因为平面， 所以，则面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 【答案】（1） （2）5 （3）. 【解析】 【分析】（1）首先根据两点坐标求直线斜率，再代入点斜式方程整理为斜截式即可； （2）利用点C在直线上，将C点坐标代入方程求解； （3）首先利用中点坐标公式求出AB边的中点坐标，再根据两点坐标求该直线的斜率，写出点斜式方程后整理为一般式即可. 【小问1详解】 因为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若，，三点共线，则点在直线上， 所以点的坐标满足方程，则. 【小问3详解】 由题意得线段的中点为. 若，则，则， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 16. 在正方体中，，为的中点，为的中点．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）请直接写出点，，，的坐标； （2）若，分别为，上的点，且，，三点共线，求点，的坐标； （3）设，若，，，四点共面，求的值． 【答案】（1），，，． （2），． （3）． 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，，，． 【小问2详解】 设，，其中，， 因为，，三点共线，所以存在，使得， 即， 所以解得 所以，． 【小问3详解】 因为，，，四点共面，所以存在，，使得， 即， 所以解得，故． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，，分别为线段，，的中点，，． （1）证明:． （2）证明：平面． 【答案】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以，且不在同一条直线上，则． （2）由（1）可得，，则，． 设平面的法向量为，则， 令，则． 因为，所以，故平面． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面四边形中，过点作，垂足为，且，，，，将沿折起，使得点到达点处，得到四棱锥． （1）若平面平面，证明：． （2）已知二面角的大小为． （ⅰ）求异面直线与所成角的正切值； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 因为，，所以，． 因为平面平面，平面平面，，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 所以，． 因为，所以，即． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】(1)折叠问题，利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，求出对应向量，通过向量点积为零证明线线垂直. (2)(i)找到二面角的平面角，写出折叠之后点的空间坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式求出夹角余弦，再计算正切值. (ii)求出平面的两个方向向量，求解平面法向量，利用直线方向向量与平面法向量夹角，换算出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 过点作，垂足为． 根据题意可得，则，，，，， 所以，． 设异面直线与所成的角为， 则， 所以， 则，即异面直线与所成角的正切值为． （ⅱ）由（ⅰ）可得，，． 设平面的法向量为， 则，令，则． 设与平面所成的角为， 则． 故与平面所成角的正弦值为． 19. 定义：在四面体中，若过顶点的直线与棱，，所成的角均相等，则称为顶点处的等角轴，已知在四面体中，底面，，，顶点，，，处的等角轴交于一点，过点作，，，，，，垂足分别为，，，，，，如图所示． （1）求的长． （2）求点到平面的距离． （3）试问在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）证得，设，结合，即可求解； （2）以为原点，建立坐标系，设，由和，求得，再求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，即可求解； （3）设，得到，求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【小问1详解】 解：因为底面，底面，底面， 所以，，则． 由题意得在，上投影向量的模相等，即可设， 则，， 同理可得：，， 所以，解得，即． 【小问2详解】 解：取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在直角中，， 则，，，， 可得，，， 设，则， 由，可得， 解得，所以 则，，，， 又由，得， 解得，所以，可得． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 连接，因为， 所以点到平面的距离为． 【小问3详解】 解：假设在线段上存在符合题意的点， 设，其中，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以在上存在符合题意的点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $