精品解析：江苏连云港市东海城北高级中学2026-2027学年高一上学期学情检测(一)数学试题

2026-2027学年度第一学期高一年级 数学学科学情检测01 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”. 3. 若，则下列不等式成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A项，通过取反例排除B，C，D项. 【详解】对于A，因，根据不等式的可乘性，可得，故A正确； 对于B，若取，则，显然有，故B错误； 对于C，若取，则显然有，故C错误； 对于D，若取，则，故D错误. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】，取，满足，而； 反之，由，，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由命题“，”是假命题， 则其命题的否定“，”是真命题， 即，成立，即，解得， 所以实数的取值范围是． 6. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由不等式解集可求，代入求解即可. 【详解】由题意知：，则有， ∴，解之得， 故选：B 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从已知等式中解出关于的表达式，代入目标式后利用基本不等式求最小值，验证等号成立条件即可得到结果. 【详解】由得，即，则. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时，因此的最小值为. 8. 记，已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 等号成立时， 因为，等号成立时， 故的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的交、并、补基本运算定义逐一验证各选项即可求解. 【详解】选项A：因为，，所以，故A正确； 选项B：因为，，所以， 显然，故B正确； 选项C：由，全集， 则，故C错误； 选项D：由已知，又， ，故D正确. 10. ，，且，则的可能值为（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出集合，再根据题意得到，进而分和两种情况讨论即可得到答案． 【详解】由，解得，或，即， 又，则， 当时，无解，则，此时，符合题意； 当时，，解得，即， 由，即，即，或，解得，或， 综上，的值为，，或． 对于A，的可能值为，故A正确； 对于B，的值不可能为，故B错误； 对于C，的可能值为，故C正确； 对于D，的可能值为，故D正确． 11. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，代入a值，先算判别式判断有无实根，再看能否使用韦达定理描述实数根之和； 选项B，两正根需同时满足判别式非负、两根和大于 0、两根积大于 0，联立不等式求解参数范围；选项C，先求出无实根对应的a范围，再通过区间包含关系判断充分不必要条件； 选项D，一正一负根只需两根之积小于0，对比选项给出的参数范围判断正误． 【详解】方程，判别式， 若，则， 当时，，无实根，故A错误； 由题意得， 解得或， 又， 故，故B正确； 方程无实根，故，解得， 区间是的真子集， 故满足一定能推出方程无实根，满足充分性； 但方程无实根，不一定满足，必要性不成立，故C正确； 方程一个正根一个负根的充要条件满足且， 但，故当时显然不成立，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是___________________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得. 所以不等式的解集为. 13. 设m为实数，.若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________； 【答案】 【解析】 【详解】若，则的解集不为，不符合题意； 若，则，得， 故m的取值范围是 14. 设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式，明确的最值范围，整理，利用换元法，化简，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由，当且仅当时，等号成立， 则， 令，则， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 设m为实数，集合，. （1）若时，求； （2）若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代值后利用交集定义即可； （2）根据交集结果推得集合间的包含关系，列不等式求解即得. 【小问1详解】 当时，，因， 则； 【小问2详解】 由可得，又因， 则有，解得. 16. 已知不等式的解集为. （1）求实数、的值； （2）讨论关于的不等式的解集. 【答案】（1）， （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）解不等式得解集，可得出、的值； （2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【小问1详解】 由得，解得， 所以不等式的解集为， 又因为不等式的解集为，故，. 【小问2详解】 不等式即为，即. ①当时，即当时，解原不等式可得； ②当时，即当时，原不等式即为，解得； ③当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. （1）设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； （2）怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】（1），其中 （2）当房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元 【解析】 【分析】（1）求出房屋的宽，再结合题意可得出与之间的函数关系式以及的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为房屋的地面面积为，其中房屋的长为，则房屋的宽为， 由题意可知，其中. 【小问2详解】 由基本不等式得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元. 18. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，不等式有解，求的取值范围； （3）关于的不等式的解集中恰有4个正整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程根的问题列式求出. （2）由（1）的结论，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再利用不等式有解问题建立不等式求解. （3）由（1）的结论，求出含参数的不等式的解集，再由解的情况列式求出的范围. 【小问1详解】 依题意，，和是方程的两个实数根，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则，， ，当，即时取等号， 即的最小值为8，由不等式有解，得， 即，解得或， 所以的取值范围是或. 【小问3详解】 由，得不等式 ，依题意，不等式的解集中恰有4个正整数， 当时，解集中最多有2个正整数，舍去， 当，原不等式解集为，即集合中恰有4个正整数， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． （1）若，，求并判断集合是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），是 （2），理由为： 是的恰当子集，则 因为,,所以由，共可得以下四种情形： 即 ， ，，经检验没有这样的满足； ，此时，不满足. 综上可得：. （3）10 【解析】 【分析】(1)理解新定义的集合意义，根据新定义集合的运算就可以作出判断； (2)对于5元集中任意两元素之差组成新的集合，由于已知3元素，通过分析讨论差值为7的元素由哪两个数作差得到，共有四种情形，再进行分类讨论即可； (3)根据第二问的结论，正好5个元素集，满足新定义集合，说明可以取到10，从而再分析取11时，再类似第二问来进行分析讨论即可. 【小问1详解】 ，则满足， 集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在A是的恰当子集，并且， 当时，由（2）可知，，， 满足，是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足， 由，则有且；由，则有或， 讨论当时，设，经检验没有这样的满足； 讨论当时，设，经检验也没有这样的满足； 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 【点睛】关键点点睛： 关键点一在于利用这个的定义，集合必须存在最小元素1和最大元素，否则差值取不到； 关键点二是当由5元集中，已知有三个元素，然后利用5元集的有序排列，从大到小分析，确定从大到小的差，得到，从而对7可能是由哪两个数之差得到，进行分类讨论，这样通过讨论可以确定或的值，然后再对最后一个元素进行进行有限检验即可得到满足条件的解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级 数学学科学情检测01 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则下列不等式成立的是（    ） A. B. C. D. 4. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 记，已知 ，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，，则（   ） A. B. C. D. 10. ，，且，则的可能值为（    ） A. B. C. D. 11. 已知关于的方程，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程有两个正根的充要条件是 C. 方程无实数根的一个充分不必要条件是 D. 方程有一个正根一个负根的充要条件是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是___________________. 13. 设m为实数，.若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________； 14. 设a、b∈R，且a+b=4，则的最大值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 设m为实数，集合，. （1）若时，求； （2）若，求m的取值范围． 16. 已知不等式的解集为. （1）求实数、的值； （2）讨论关于的不等式的解集. 17. 某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. （1）设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； （2）怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 18. 已知关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）当，且满足时，不等式有解，求的取值范围； （3）关于的不等式的解集中恰有4个正整数，求实数的取值范围． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． （1）若，，求并判断集合是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $