精品解析：安徽省滁州中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学 时长：120分钟 分值：150分 考试范围：人教A版选择性必修一（空间向量与立体几何+2.1~2.3） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程，对截距分情况讨论计算即可. 【详解】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 5. 已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式求解. 【详解】点，则直线的方向向量， 而，所以点到直线的距离. 6. 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可. 【详解】依题意可得，，. 设是平面BCD的法向量， 则，即，令，则得. 所以点A到平面BCD的距离， 当时，d取得最小值，此时， 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为. 故选：C 7. 三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三条直线不构成三角形的条件，核心思路是“两条直线平行则无交点、三条直线共点则只有一个交点”，两种情况均不能构成三角形.需分别讨论第三条直线与前两条直线平行，以及三条直线共点的情形. 【详解】 的斜率 ， 的斜率 ，，故 与 相交， 交点为解方程组 ，得原点 . ① 与 平行. 当 时， 的斜率 .平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ② 与 平行. 平行条件为 ，即 ，解得 . 当 时，，与 斜率相同、截距不同，确为平行关系， 此时 ，三条直线不构成三角形，符合条件. ③三条直线共点. 若 也过原点 ，代入 方程得 ，即 ，矛盾，故不存在这样的 使三条直线共点于原点. 再验证 的特殊情形：当 时，（垂直于 轴的直线）， 与 交于 ，与 交于 ，加上原点 共三个不同交点，可构成三角形，不符合条件. 综上，满足条件的 值为 和 ，共 2 个. 【点睛】三条直线不构成三角形，只有两种可能：两条平行或三条共点；注意先判断前两条直线是否相交，再分别讨论第三条直线与它们的平行关系和共点情况，不要遗漏特殊斜率（如 时直线垂直于坐标轴）. 8. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C. 点为平面上一点，为平面外一点，且，则 D. 非零向量，，若，则为锐角 【答案】AC 【解析】 【详解】选项 A ：假设共面，则存在实数，使得， 整理得. 因为是基底，三向量不共面，系数必须全为 0：方程组无解， 故不共面，可以作为空间基底，A 正确. 选项 B：，斜率，倾斜角是，B 错误. 选项 C： 四点共面充要条件：若，则. 代入，，得，C 正确. 选项 D ：，包含（同向共线）的情况，0 不是锐角，D 错误. 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等体积法求出体积判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理判断BC；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在棱长为2的正方体中，三棱锥的高， ，则，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，若，则， 即，取，此时点与点重合，因此存在点，使得，B正确； 对于C，，由，得， 即，因此点的轨迹是线段，轨迹长为，C错误； 对于D，取中点，连接，则，连接，而，平面， 又平面，则，，又，平面， 于是平面，取中点为，则，且四点共面， 则平面即为平面，令平面交分别于点， 由两平面平行性质知，又都是对应棱的中点， 则是中点，是中点，因此平面截正方体的截面为正六边形， ，截面面积为，D正确. 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解． 【详解】由题知，，， 由图像可知，． 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，两边平方，结合条件，即可求得公垂线段的长. 【详解】依题意， 两边平方得， 因为，，和的夹角为或， 所以， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【小问1详解】 ，设， 因为，而，所以； 故或 【小问2详解】 ，，， 由与互相垂直得：， 解得. 【小问3详解】 点在平面上，， ， ， 解得：. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）的坐标为，的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案. （2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积． 【小问1详解】 设，因为边上的中线所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为， 所以，解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为， 边上的高所在直线方程为， 所以，解得，即的坐标为． 【小问2详解】 因为，所以． 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为． 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； （3） 【解析】 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 18. 已知直线：． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离为，求的方程； （3）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(1)将含参数a的直线方程整理为“参数×表达式+另一表达式=0”的直线系形式，令两个表达式同时为0，解方程组得到定点坐标，即可证明直线恒过定点；(2)问：先将直线化为一般式，代入点到直线的距离公式建立关于a的方程，解方程求出参数a，回代即可得到直线方程；(3)(i)先求直线在两坐标轴的截距，根据正半轴条件确定参数范围，写出三角形面积关于a的函数，结合二次函数的单调性/最值性质求解；(ii)设直线截距式方程，利用定点在直线上得到截距的约束关系，将线段长度乘积转化为截距的线性表达式，再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线化为一般式， 故 得，所以的方程为 【小问3详解】 （i）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积最小； （ii）设直线的截距式方程为（，），由（1）知点在上，所以， 此时，，由于这三点共线，且在、之间，所以 有 而，当且仅当时取等号 所以的最小值为 19. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明：取的中点E，连接，，     ，且的中点为E， ， ，平面， 平面， 平面， ． （2）O为三棱锥S—ABC外接球的球心，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据翻折前后的性质，利用线面垂直推出线线垂直； （2）根据三棱锥的性质，结合已知条件推出球心的位置，利用等体积法结合余弦定理求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用二面角余弦公式求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当时， ，则， 取的中点O，连接，故O到四点的距离相等， 所以O为三棱锥外接球的球心， ，，故，，， 设S到平面的距离为，B到平面的距离为， 由等体积法可得， ， ， ， ，， O到平面的距离． 【小问3详解】 以B为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点S作平面的垂线，垂足为Q， 设为翻折过程中所旋转的角度，则，，， ，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，故， 设平面的法向量为，，， ， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为， ， 令，，故， ，， 当且仅当，即时取等号， 平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滁州中学2025级高二上第一次月考试卷 数学 时长：120分钟 分值：150分 考试范围：人教A版选择性必修一（空间向量与立体几何+2.1~2.3） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，已知， ，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 三条直线，，不构成三角形，则的所有取值个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为 C. 点为平面上一点，为平面外一点，且，则 D. 非零向量，，若，则为锐角 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 11. 如图，已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 13. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 14. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，则线段的长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求的面积． 17. 如图，在平行六面体中，，，，． （1）以为基底向量，表示向量，； （2）求证：； （3）求的长． 18. 已知直线：． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离为，求的方程； （3）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点， （i）当面积最小时，求的值； （ii）已知，求的最小值． 19. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，判断球心O的位置，并求出球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $