精品解析：安徽部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线为，将代入得，解得， 故直线的方程为. 2. 已知直线的斜率为2，则的倾斜角满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设有，且，而， 故. 3. 已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由向量与的夹角为钝角， 则，且与不反向， 即，解得，且， 所以结合各选项，的值可以是． 4. 在三棱柱中，是的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量加减法几何意义化简运算可得. 【详解】如图，三棱柱中，是的中点， 所以， 5. 已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】已知点在平面上，连接平面内点和待求点，得到向量. 点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即 . 因为，， 所以点到平面的距离为：. 6. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 已知点，，设， 则，， 因为直线与线段相交，故或. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中点坐标公式将点的坐标用点的坐标表示，结合两点分别在对应直线上列方程组求解点的坐标，再由两点坐标求解直线的斜率与方程. 【详解】设点的坐标为， ∵ 是的中点， ∴ 点的坐标为. ∵ 在直线上，在直线上， ∴ ， 解得，，即. ∴ 直线的斜率， 由点斜式得直线的方程为，整理得. 8. 在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段长度判断出和是直角三角形，分别在面和面内作出垂直于二面角的棱的线，以为基底表示出，从而利用向量模长公式求出的长． 【详解】已知，，，由勾股定理， 可得，同理， 在面内过作于点，面内过作于点， 在中，， 因为，所以， 在中，同理可得，， 所以， 二面角的大小为，即，所以， ，因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于选项A，因为不共面，所以不共面，它们能构成一个基底，故A正确； 对于选项B，假设共面，则必有不全为的实数， 使得，又不共面， 则，解得. 所以共面，它们不能构成一个基底，故B错误； 对于选项C，因为，所以共面，它们不能构成一个基底，故C错误； 对于选项D，假设共面，则必有不全为的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D正确； 10. 设直线，，则（ ） A. 过定点 B. 原点到的距离的最大值为 C. 不存在，使得 D. 存在唯一的，使得 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，即， 由得，故A错误； 而原点到的距离的最大值为，故B正确； 由得， 故不存在，使得，故C正确； 由得， 故存在唯一的，使得，故D正确. 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 与平面所成角的正切值的最小值为1 C. 若，则二面角的余弦值最大为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由已知得，对于选项A，利用点到平面的距离为定值即可；对于选项B，利用向量法，用表示与平面所成角的正切值即可；对于选项C，利用向量法，用表示二面角的余弦值，再利用函数的单调性即可；对于选项D，利用向量法，用表示，再构造函数，利用导数即可求最小值. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，棱长为. 由，则，其中，. 对于选项A，由，即点在正方形内，则点到平面的距离为. 所以四面体的体积为，故A正确； 对于选项B，，平面的法向量为， 设与平面所成的角为，则. 所以，则. 当时，为最大值， 所以，故B错误； 对于选项C，若，则，平面的法向量为. ，设平面的法向量为， 则，令，则，即. 设二面角的大小为. 所以. 令，由得，则. 所以随的增大而增大，则即或时，取得最大值，，故C正确； 对于选项D，若，则，即. 令，则. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以 . 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】直线的方程可化为， 故直线与平行， 所以这两条直线间的距离为. 13. 在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线化简向量，结合正四面体棱长相等、棱夹角为的特点，先由已知数量积求出棱长的平方；再借助向量中点公式拆分目标向量，展开数量积运算求值. 【详解】因为分别是的中点，由三角形中位线性质得：. 设正四面体的棱长为，正四面体从同一顶点出发的两条棱的夹角为，因此：, 代入已知，得：，因为，所以，即正四面体的棱长为2. 拆分目标向量 ：，，计算点积得 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，求出点关于直线、轴的对称点、的坐标，根据、、三点共线以及斜率关系可求出的值，即可得出的值. 【详解】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线，与直线相互垂直， 所以得，即． 解得． 【小问2详解】 由题意知，四边形为矩形，，分别是点到直线，的距离， 所以， ． 四边形的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）通过建系，结合向量数量积的坐标表示即可求解； （2）求得直线方向向量、平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接． 因为 是正三角形，所以． 又因为平面 平面，平面 平面， 所以平面． 过点作，交于点，可知，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，得，，． 所以，． 故． 【小问2详解】 由（1），得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则． 设与平面所成的角为， 则， 即与平面所成角的正弦值为． 17. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 【答案】（1）或0． （2）4 【解析】 【分析】（1）分别讨论经过点和不经过点时的情况，求出截距，由截距相等列式求解即可； （2）根据题意求出的坐标，由三角形的面积公式，再利用基本不等式求出最值即可. 【小问1详解】 ①当经过点时，两坐标轴上的截距均为0，则，解得. ②当不经过点时，． 令，得；令，得， 由题意，得，解得， 综上所述，或0． 【小问2详解】 易知，即，设，， 则，解得． 此时，， 所以． 不妨设，则，， ． 当且仅当，即时取等号，此时． 故面积的最小值为4． 18. 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）取的中点，连接，，． 因为和均为正三角形，所以，， 又平面，且，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角，即，是二面角的平面角， 又，则， 则，， 又，即，得， 在中，由余弦定理得，得， 所以，所以， 即二面角的平面角为，故平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，先根据线面垂直的判定及性质证明为二面角的平面角，是二面角的平面角，再根据余弦定理及勾股定理得到，进而即可证明； （2）结合（1）建立相应的空间直角坐标系，再得到对应点的坐标，从而得到对应向量的坐标，再根据向量的线性运算得到，，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值； （3）结合（2）的空间直角坐标系，先分别求出平面和平面的一个法向量，进而根据面面角的向量求法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）可得，，，， 则以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 所以，． 所以，， 故当时，取得最小值，且最小值为． 【小问3详解】 结合（2）的空间直角坐标系， 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则， 令，得，，即； 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则，令，得，，即． 则， 整理得，解得，或（舍去）． 19. 若直线，在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为，则称，是一对“-共轭直线”，如直线与是一对“-共轭直线”． （1）若，是一对“共轭直线”，且的方程为，求的方程； （2）若，是一对“共轭直线”，记，的夹角为（），求的最小值； （3）若，是一对“共轭直线”，且过点，记与的交点为P，证明：点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 【答案】（1） （2） （3）因为过点，所以过点． 由题意知，，：，：． 设．由题意知，，，， 所以，整理得． 由，可得． 设，， 则， ， 所以， 即点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解直线的斜率以及截距，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据到角公式，结合基本不等式即可求解， （3）根据斜率公式，以及两点距离公式，化简即可求证. 【小问1详解】 由：，令，得，即在x轴上的截距为2． 因为，是“共轭直线”，所以在x轴上的截距为，且． 因为，所以，解得． 所以的方程为，即． 【小问2详解】 设，的斜率分别为，．，的倾斜角分别为，，易知，，则，． 由题意知，，或． 无论哪种情况，都有． 因为，所以，异号． 所以，当且仅当时取等号． 所以，即的最小值为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的斜率为2，则的倾斜角满足（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，是的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线上的动点，是直线上的动点，若的中点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 设直线，，则（ ） A. 过定点 B. 原点到的距离的最大值为 C. 不存在，使得 D. 存在唯一的，使得 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 与平面所成角的正切值的最小值为1 C. 若，则二面角的余弦值最大为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 直线与之间的距离为_________． 13. 在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则_______________． 14. 如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，与直线相互垂直． （1）求； （2），相交于点，过点作，的垂线，垂足分别为，，求四边形的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知直线，，设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，求面积的最小值． 18. 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 19. 若直线，在x轴上的截距互为相反数，且斜率之积为，则称，是一对“-共轭直线”，如直线与是一对“-共轭直线”． （1）若，是一对“共轭直线”，且的方程为，求的方程； （2）若，是一对“共轭直线”，记，的夹角为（），求的最小值； （3）若，是一对“共轭直线”，且过点，记与的交点为P，证明：点P到点的距离与点P到点的距离之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $