精品解析：安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

淮北十二中2005--2026学年上学期高二第一次月考 数 学 试 卷 一、选择题（每题5分） 1. 已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】根据诱导公式，可得． 故选：B． 3. 直线与平面相交，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与都相交 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都是异面直线 D. 内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 4. 已知，，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以在方向上的投影数量为. 故选：D. 5. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据条件列方程求解即可. 【详解】设，则， 解得，所以的坐标为. 故选：B 6. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆台的体积即为该茶杯容量，求出圆台的高，进而利用圆台体积公式求出答案. 【详解】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm， 过点分别作⊥，⊥于点， 则cm，cm， 其中圆台的高为cm， 故圆台体积为. 故选：D 7. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，然后利用数量积公式计算. 【详解】 . 故选：B 8. 已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，取的中点，分别记为，，连接，根据题意分析出当圆锥底面与正六边形相内切时，圆锥底面积最大，结合正方体性质计算即可. 【详解】如图所示，取的中点，分别记为，， 连接. 根据正方体的性质易知六边形为正六边形， 此时的中点为该正六边形的中心，且平面， 当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大. 设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以， 所以，圆锥的底面积，圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由正方体的性质确定圆锥底面面积最大值，根据正六边形的性质求出圆锥的底面半径. 二、多项选择题（每题6分） 9. 已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ） A. B. α为钝角 C. D. 点(tan θ，tan α)在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可 【详解】角θ的终边经过点，，A正确． θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确． 因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确． 故选：ACD 10. 在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B. 存在四个点可以构成正四面体 C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D. 存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体的特征，结合选项即可找到对应的图形，即可求解. 【详解】对于A，如图四边形为平行四边形，所以A正确， 对于B，四面体是正四面体，所以B正确， 对于C，如图四面体中， ，故每个面都是直角三角形，所以C不正确， 对于D，如图四面体中， ，,均是直角三角形、为等边三角形，所以D正确， 故选：ABD． 11. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ） A. 沙漏中的细沙体积为 B. 沙漏的体积是 C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm D. 该沙漏的一个沙时大约是1565秒 【答案】AC 【解析】 【分析】 A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时. 【详解】A.根据圆锥的截面图可知： 细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比， 所以细沙的底面半径， 所以体积 B.沙漏的体积； C.设细沙流入下部后的高度为， 根据细沙体积不变可知：， 所以； D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙， 所以一个沙时为：秒. 故选：AC. 【点睛】该题考查圆锥体积有关的计算，涉及到新定义的问题，难度一般.解题的关键是对于圆锥这个几何体要有清晰的认识，同时要熟练掌握圆锥体积有关的计算公式. 三、填空题（每题5分） 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对平方，结合的平方关系，计算. 【详解】因为，可得，所以. 故答案为： 13. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 14. 若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积____________ 【答案】16π 【解析】 【详解】如图所示，三棱锥的所有顶点都在球的表面上， 以为平面， 所以，所以， 所以截球所得的圆的半径为, 所以球的半径为， 所以的表面积为. 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）借助球的性质，得到球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径. 四、解答题 15. 如图所示的四棱锥中，已知底面ABCD是一个平行四边形，，且，.求证：面ABCD. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由等腰三角形三线合一的性质可得，即可得证. 【详解】证明：由已知可得O为AC的中点. 在中，因为，且， 所以由等腰三角形三线合一可知. 同理，. 又因为，面ABCD，面ABCD. 所以面ABCD. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，属于基础题. 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：方法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 方法二：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 方法二：取的中点，连接，分别证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，求得，以及，及，设点到平面的距离为，结合体积列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 且， ， 所以． 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离为． 【点睛】 18. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递增区间为， 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式； （2）根据周期公式求周期，结合正弦函数的单调性求函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为， 又， 所以． 【小问2详解】 函数的最小正周期为， 令，, 则，, 所以函数的单调递增区间为， 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点，连接． （1）证明：平面平面： （2）当三棱锥的体积等于时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明，得到平面，再由面面垂直的判定定理即可； （2）根据三棱锥的体积为，得，再求即可求的长. 【小问1详解】 由题意可知，底面四边形为菱形， 所以, 又因为平面， 且平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为三棱锥的体积为， 所以， 因为，且底面四边形为菱形， 所以，， 所以，即. 20. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北十二中2005--2026学年上学期高二第一次月考 数 学 试 卷 一、选择题（每题5分） 1. 已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 直线与平面相交，则下列结论成立的是（ ） A. 内的所有直线与都相交 B. 内不存在与平行的直线 C. 内的所有直线与都是异面直线 D. 内存在唯一一条直线与平行 4. 已知，，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 5. 设点M是轴上一点，且点M到与点的距离相等，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（ ）（单位：） A. B. C. D. 7. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题6分） 9. 已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（ ） A. B. α为钝角 C. D. 点(tan θ，tan α)在第四象限 10. 在正方体的8个顶点中任意取4个不同的顶点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在四个点，使得这四个点构成平行四边形 B. 存在四个点可以构成正四面体 C. 不存在这样的四个点，使得构成的四面体每个面都是直角三角形 D. 存在有三个面是直角三角形、一个面是等边三角形的四面体 11. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ） A. 沙漏中的细沙体积为 B. 沙漏的体积是 C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm D. 该沙漏的一个沙时大约是1565秒 三、填空题（每题5分） 12. 已知，则__________. 13. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 14. 若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积____________ 四、解答题 15. 如图所示的四棱锥中，已知底面ABCD是一个平行四边形，，且，.求证：面ABCD. 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 18. 已知函数． （1）化简的表达式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点是对角线与的交点，，，是的中点，连接． （1）证明：平面平面： （2）当三棱锥的体积等于时，求的长． 20. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $