精品解析：黑龙江大庆第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

大庆一中2025级高二年级上学期第一次考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有一项是正确的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分） 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 10. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 四面体的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上） 12. 已知直线，直线，若，则___________． 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 17. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 19. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中2025级高二年级上学期第一次考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有一项是正确的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解. 【详解】由得：，设其倾斜角为，， 所以斜率， 故倾斜角为， 故选：C 2. 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 3. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，即， 又，，∴， ∴． 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果. 【详解】因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 又，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以PA的倾斜角为，PB的倾斜角为， 结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是， 故选：C． 7. 已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系， 【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围. 设正方体的棱长为1， 则有 ∴，∴设， ∴， ， 由图知不是平角，∴为钝角等价于， ∴， ∴， 解得 ∴的取值范围是 故选：C. 8. 已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设的坐标并求出的表达式，再根据直线与圆的位置关系即可求出的取值范围. 【详解】设，、，、， ，即， 化简得，故点在以为圆心，1为半径的圆上， 若直线上存在点，使得, 直线与圆有交点， 圆心到直线的距离为， 两边同时平方，得， 继续化简得， 解得. 故选：. 二、多项选择题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分） 9. 平面直角坐标系中直线的方程为：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线没有经过第三象限 B. 直线的一个方向向量为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线在两坐标轴上的截距之和等于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程判断斜率和截距，再根据直线的方向向量和法向量的知识点判断即可. 【详解】选项A：将直线方程化为斜截式方程. 斜率为，直线下降，截距为，直线与轴正半轴相交，因此直线不经过第三象限，故选项A正确. 选项B：，因此不是该直线的方向向量，故选项B错误. 选项C：因为直线的方程为，所以其一个法向量为。由于，所以也是该直线的一个法向量，故选项C正确. 选项D：直线的方程为：，令，则；令，则. 所以截距之和为：.故选项D正确. 故答案为：ACD. 10. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A. 将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B. 将军在河边饮马的地点的坐标为 C. 将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D. “将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得；即. 将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，故错误； 设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，故C错误； 总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 四面体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将对边相等的四面体补成长方体，建立空间直角坐标系，借助空间向量、割补法逐一判断各选项. 【详解】选项A：构造长宽高分别为的长方体，嵌入四面体得坐标：， ，，故，A正确； 选项B：设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，可得， 所以，B错误； 选项C：， 则在方向上的投影向量为，C正确； 选项D：长方体体积为，减去个全等小三棱锥体积和，得四面体体积为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上） 12. 已知直线，直线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，设，则______；______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求． 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故． 又，有， 则． 故答案为：；2． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的垂直关系求出直线的斜率，代入经过的点坐标求解； （2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线方程． 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 设直线方程为，根据垂直关系得，， 又直线经过点， ，解得， 所求直线方程为，整理得． 【小问2详解】 联立直线：，解得， 直线与的交点为， 当直线经过坐标原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，直线方程为，即； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， ，解得，此时直线方程为， 所求直线方程为或． 16. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 17. 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出；再由频率直方图中平均数的求法，即可求解； （2）根据条件，求出样本空间和基本事件，利用古典概率公式，即可求解； （3）根据条件，利用互斥事件的概率公式和相互独立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，，解得， 估计高一年级初赛成绩的平均数为. 【小问2详解】 组与组的频率比为，因此抽样人数分别为人与人， 设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组， 因此样本空间，， 记“有名或名学生成绩在”为事件，，， 因此根据古典概型的计算公式． 【小问3详解】 设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利， 因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利， 故，， 甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢． 即为事件， 因此 故． 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题可知：，该方程表示圆，则， 即，解得.则实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， ，开口向下，对称轴为， 当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为， 设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长， 即，解得，则另一条切线斜率不存在。 即切线方程为，即；另一条切线方程为； 【小问3详解】 解：设， 则， 设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由（2）知， 又，则点M在圆C外面， 所以， 则. 则可知的最小值为. 19. 如图，四边形与均为菱形，，，. （1）求证：平面； （2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； （3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. 【小问3详解】 因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $