精品解析：江苏常州市武进区湟里高级中学2026-2027学年高一上学期10月随堂练习数学试题

2026-2027学年第一学期10月随堂练习高一 数学 时长：120分钟分值：150分 2026.10 一、单选题 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，那么 A. B. C. D. 4. 若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 7. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 已知集合，且，则_________． 13. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______． 14. 已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________． 四、解答题 15. 已知，，全集. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 17. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 18. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 19. 已知二次函数． （1）已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （2）若，，求解关于的不等式； （3）若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月随堂练习高一 数学 时长：120分钟分值：150分 2026.10 一、单选题 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合 ，. 故 . 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是． 3. 若，，那么 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质比较判断即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，考查了推理分析能力，属于容易题. 4. 若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得“”是真命题，然后分类讨论结合二次不等式的解法即得. 【详解】由题可知，命题“”是真命题， 当时，满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：A. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】使用特值法即可证明充分性和必要性都不成立. 【详解】若，有，则推不出成立，即充分性不成立； 若，有，推不出成立，即必要性不成立； 综上“”是“”的既不充分也不必要条件. 6. 已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】分三类分别假设三个关系中仅有一个成立，结合集合元素的互异性与排列性质验证，最后代入计算目标式值. 【详解】已知，即为1,2,3的无重复排列，且三个关系有且只有一个正确，分类讨论如下： 若仅①正确，即，②③均错误： 由②错误得，由③错误得，此时仅能取2、3， 结合，无符合条件的取值，排除该情况； 若仅②正确，即，①③均错误： 由①错误得，此时，与集合元素互异性矛盾，排除该情况； 若仅③正确，即，①②均错误： 由①错误得，由②错误得，剩余未分配元素为1、2， 结合得，，符合条件. 代入计算得. 7. 已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，由条件可知即求. 【详解】∵， ∴， 当且仅当即取等号， 由恒成立， ∴， ∴. 故选：B. 8. 关于 的方程 在区间 内有两个不等实根，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑一元二次方程对应的二次函数的图像，根据图像得到实数满足的不等式组，解这个不等式组可得实数的取值范围. 【详解】令，∵关于的方程在区间 内有两个不等实根，故的图像如图所示： 故，解得，故选C. 【点睛】一元二次方程的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则. （1）由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图像的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组； （2）动态检验指让图像上下移动，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制； （3）结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件. 二、多选题 9. 已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据Venn图及集合间的关系、基本运算逐一判断即可. 【详解】对于A，由Venn图可知，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，又， 所以，故D正确. 10. 如图，二次函数（，，为常数）的图象经过点，，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】由二次函数的两个零点求出对称轴，写出交点式，用表示和；逐个代入选项判断符号、求解不等式. 【详解】A选项：因为二次函数（，，为常数）的图象经过点，，所以关于的一元二次方程的两根为和，由根与系数的关系得，，即，由图可知，二次函数的图象开口向上，所以，则，，故选项A正确； B选项：由图可知，当时，，即，故选项B错误； C选项：由得，，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，故选项C正确； D选项：由得，，因为，所以，即，解得，则不等式的解集为，故选项D错误. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC，可根据已知条件，结合基本不等式等知识，对选项逐一进行分析即可； 对于D，令，则，且将变形为，结合基本不等式等知识， 对选项进行分析即可． 【详解】对于A，由可知，， 当且仅当成立，结合可知，此时，故A错误； 对于B，由，根据基本不等式，可得， 当且仅当成立，结合可知，此时，所以的最小值为，故B正确； 对于C，，由B选项可知，所以， 故，最大值为，当且仅当成立，故C正确； 对于D，令，则， 所以， 结合基本不等式得，当且仅当成立， 结合可知，也即时，，所以最小值为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12. 已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 13. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 14. 已知实数、满足．则的最小值为________；的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由已知等式得出，再结合基本不等式可求出、的最小值. 【详解】因为实数、满足，所以，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 四、解答题 15. 已知，，全集. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集、并集的定义求解. （2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 当时，，或， 由，得，解得，则， 所以，或. 【小问2详解】 由（1）知，由得 当，即时，，满足，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是或. 16. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18. 对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． （1）对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； （2）设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】（1）是，理由为: 因为，所以是的“下位序列”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，列出不等式，分析即可得答案. （2）由题意可得，利用作差法进行比较，即可得答案. （3）由题意得，进而可得，化简整理，根据m，n，k为正整数，分析即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是的“下位序列”， 所以， 因为均为正数， 所以，即， 同理，即， 所以. 【小问3详解】 由已知得， 因为m，n，k为正整数， 所以， 所以， 整理得， 因为该式对集合内的每一个都成立， 所以当时，， 所以正整数n的最小值为. 19. 已知二次函数． （1）已知，且，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围； （2）若，，求解关于的不等式； （3）若，，，且函数的两个零点均为整数，求实数的值． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法求解即可； （3）设函数的两个零点分别为、，由韦达定理得出，可知能被整除，故，然后逐一检验即可. 【小问1详解】 当，时，， 因为函数有两个不同的零点，则，解得或， 故实数的取值范围是. 【小问2详解】 若，，则， 则所求不等式即为. ①当时，，解原不等式得； ②当时，，解原不等式得或； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式得或. 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 若，，，则， 因为函数的两个零点均为整数，设这两个零点分别为、， 由韦达定理可得，， 由题意可知，所以， 又因为，则能被整除，故， 若，由可得，，符合题意； 若，由可得，，不符合题意； 若，由可得，，符合题意. 综上所述，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $