4.3 对数函数+4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（拔高）同步练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.3对数函数+4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.函数f(w的定义域为D,若满足：①f(x)在D内是单调函数：②如果存在区间[a,b],使 a b fw)在区间a,b]上的值域为L2'2, 那么就称函数fx)为“减半函数”若函数 f(x)=loge (2c*+t) (c>0,且c≠1)是“减半函数”，则实数1的取值范围为) A.(0,1) B.(0,] C. ,8 D 08 2.己知f)=ln1+)-ln(1-),x∈(-l,),现有下列命题：①f(-)=-f):② =2f(x) ③若，∈(-1)，且5≠5，则(x-儿f()f(刀>0其中所有正 确命题的序号是() A.①② B.②③ c.①③ D.①②③ 3.已知函数f)=1og,x+2x-3)(a>0,且a≠)，若f(2)<0,则此函数的单调递增区间是 () A.（-0,-3U(L,+∞）B.(L,+0) C.（-o,-l) D.（-0,-3) 4.已知m>0,设函数()=m的图象与函数8()=og,的图象从左至右相交于点4，B,函 8 (m)= 数 2m+1的图象与函数8()=log,的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD b 在x轴上的投影长度分别a,b,当m变化时，a的最小值为) A.42 B.6W2 C.8V2 D.16W2 5.若函数y=log。(a>0且a≠)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()】 y=logax 3 x 1 y (-x9 y=log.(-z) 6.若实数a,b,c满足6=12c=3,3-心=5-b,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 7.(多选)已知函数f)=e+x-2,g(x)=lnx+x-2,且f(@)=gb)=0,则下列结论错误 的是() A.a>b B.8(a)<0<f(b)C.a+b=2 D.8(a)>0>f(b) 1 8.(多选)若函数f(w)在区间M上满足f(x+2)f(),则称f()为M上的“a变函数”， 对于“a变函数”f(,若f(9≤⊙有解，则称满足条件的1值为“a变函数f(田的衍生 1 logx' -2≤x<-1, f(x)= x- ,-1≤x<0, 解”.已知f()为(0,2]上的“4变函数”，且当x∈[-2,0)时， 8☑=1、1 42t,当x∈[-4，-2)时，下列是“4变函数f)的衍生解”的取值范围的有() A.(01) B.[-2,0) C.[1,+0)D (-00,-2] 9.设0<a<b,若函数y=1og:t-,x∈[a,]的值域为[0，，则a+b的取值范围是 llnx,0<x≤2， 10.已知函数 )）=了4-.2<x<4当方程)=m有四个不等实根5，，，( x<x<西<x)时，不等式x++之k+1山恒成立，则实数的最小值为 (3-a)x+a-1,x<1, f(x)= 1 log.x2-ax 11.已知函数 4≥1 若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是 12.已知函数田=3+1 3,g(=ln[(2-a3]-m2a-2x (1)若函数()在[0，+0)上为增函数，求实数1的取值范围： (2)当1=1时，，∈0，+0)，x,∈R,都有8(：)f(:)-2成立，求实数a的取值范围 答案以及解析 1.答案：D I(a)- 2 解析：显然()是定义域上的增函数，因此，若()是“减半函数”，则( f(b) 2'即 X f(x)= 2有两个不等实根 由oe2c+)-5,可程2c+1=c 令c2=4,则u>0,22-u+t=0.依题意知方程有两个不等正实根，设为4,4，所以 △=1-4×2×t>0, 4+4,= 0 1 t .1 44=2>0, 0<t< 解得 8,故选D 2.答案：D 解析：“f(x,)=h(1+x)-ln(l-,x∈(-l,),·f(-)=ln(l-)-ln(1+x)=-f),即①正 )+))-ht1-h=h 确 1+x2 1+x2 -x2-2x+1 =n}=2-0+-h0-=2 ,故②正确： :f(x)=ln(1+x)-lh(l-)在（-l,)上单调递增， 总有（-儿f()f(:】>0成立，故③正确 3.答案：D 解析：因为f②=lga(2+2x2-3)=1og,5<0=1og,1,所以0<a<1 由x+2x-3>0得x<-3或x>1,即函数的定义域为(-0，-3U(1,+∞) 函数y=x+2x-3的图象为开口向上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线， 所以函数y=x+2x-3在(-∞，-3)上单调递减，在（山，+∞）上单调递增 又因为0<a<1,所以函数f)=1og.(r+2x-3)的单调递增区间为（∞，-3）故选D 4.答案：C 解析：设A,B,C,D的横坐标分别为，，，x, 8 8 由题意知10g2x=一m10g2x2=0名23二221， 1ogx4=2m+1, 1 1 1= 3= 则为=1，=1，所以为， 8 8 因为l0g2x3=m 1o8262m+1,所以5=2”，。=2， b-x_压- 8 =2X4=22m ax3-x1 1 则 X4 x2 8 =m++4-1 2m+12m+ m+ 4-17 1222 因为 1 4 m+= 2 1 3 m+ m=- 当且仅当 2,即2时，等号成立，所以≥22=8V2, b 故a的最小值为8√2.故选C. 5.答案：B 解析：因为函数y=1og。x过点（③，1），所以1=loga3, 解得a=3,y=3不可能过点(，3)，排除A: y(x=-x,不可能过点L少，排除C y=1og(←为不可能过点(-3，-)，排除D,故选B. 6.答案：D 、-1og22=1oga61-a=1og62, C 解析：6=3，a=l0g63,12=3,ac=l0g23,则log63 -,oy-s,6r- :6=5 -1-log,6"=(1-a)log,6-log 2.log,6-log:2 1 =log;10 ，b ,即b=lg5, 则a=91-g2=1-2 In6, 0-1-1g2=1-n2 b=1g2 In10. a2=1-1oge2=1-h2 c=10g12 ln12, 1 11 < ln6lnl0ln12,.a<b<c,故选D. 7.答案：AD 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y=e,y=nx,y=-x+2的图象，如图. /=e' 2 y=x y=ln x 0a/1b2八x y=-x+2 :f(a)=g(b)=0,∴.e=2-a,lnb=2-b 故x=a,x=b分别是y=e与y=2-x,y=nx与y=2-x图象交点的横坐标， ∴.0<a<1<b<2,故A中结论错误 由图可知，na<2-a,故g(@=ha+a-2<0,同理f(b)=e+b-2>0,故B中结论正确， D中结论错误 y=x, x=1, 由y=-x+2,得y=1 a+b=1 即y=e和y=lnx的图象分别与直线y=-x+2的交点关于点(l,)对称，则2，即 a+b=2,故C中结论正确。 故选AD 8.答案：BC 41 解析：因为f(w为(-0，-2]上的“4变函数”，所以fx+2)f),故 =r+2) 27:-45*3 4 f)=4x+2) 11 当x∈[-4，-2)时，x+2∈[-2,0)，所以 42 ,-3≤x<-2. -1 ①当x∈[-4，-3)时， f-8x+2 1=o8x+2,令7 1 因为0：”和”=+2都在定义城上单调道增， 故的数因在43)上单调话，片以=八-e:42云， -11 4 1=0 f0<f-3)=48:-3+2=0: ②当x∈[-3，-2)时， 得 在[-3，-2)上单调递减， 所以 e>2-,a.-份 1t1 2+1-2≥0 若f(x)≤g0有解，则fx)mim≤g(0,即442t,整理得41 4t>0, 4t<0, 所以有r+i-2≥0或+t-2≤0，解得f≥1或-2≤1<0，故1的取值范围为[-2,0U,+o). 故选BC 9.答案：[36] 解析：作出函数y=og2x-的图象如图所示，令y=og,x-1=0,解得x=2, y 3, -2-10 1234x 1 -2 令y=1og2x-=1,解得x=1或x=4 ①若a>2,则y=1og,x->0,不符合题意，舍去： ②若a=2,则b=4,此时a+b=6: ③若1<a<2,则b=4,此时5<a+b<6: ④若a=1,则2≤b≤4，此时3≤a+b≤5. 综上所述，3≤a+b≤6 23 10.答案：2 解析：当2<x<4时，0<4-x<2,∴f(x)=f(4-x)=ln(4-)川， 画出y=f()和y=m的图象，如图所示， y \yx刻 In 2- y=m 012 3 4% 则x,,x,x分别为A,B,C,D的横坐标，由f(2)=血2知0<m<n2,则=1， (4-x)4-x4)=1,x+号≥2x2=2，=4-,4=4-x,分离参数得 ≥11-(G+ x3x4-1 1-+).1-(+)13-6+s 设 xx4-1(4-x2)4-x)-116-4(x+x2) 3 令x+名=t,则 4*-则0 4-1=n 16-4t,再令 2<n<2 则 t=4-n, 则 4n n (当且仅当n=V5时取 “=3), ÷8)s2- 2,即8()s2- 2, k≥2 23 2, 即实数k的最小值为2 11.答案： 解析：因为函数f()在R上是增函数，所以y=(3-a)x+a-l在区间(-o∞，)上是增函数且 y loga 4在区间山，+∞)上也是增函数.由函数y=(3-ar+a-1在(0，)上是增函 数，得3-a>0→a<3.① 对于函数 a =x2-ax+ 11 当0<a<1时，2，所以 4在[山，+o)上是增函数， 又y=log,“为定义域内的减函数，所以根据复合函数“同增异减”的性质可得0<a<l时， y=loga 11 函数 r-瓜+4)在K同L+四)上是减函数，不符合题滋，合去 y=loga x2-ax+ 1 当a>1时，要使函数 4 为定义域内的增函数，只需函数 u-x-@x+II=lx-a)11-a 4x-2 4 在山，+∞)上也是增函数，且对数函数的真数大于0即可， 2 11 12-a+ >0 所以 4 解得a≤2 又a>1,所以1<a≤2.② 由①②得1<a≤2」 因为f()在R上是增函数， 5 0 所 3-ao-1log.) a2+a-4 即 ，解得2 sas3 2 之撇的取值范围是() 12.答案：(1)（0， 解析：(1)任取x∈0，+0)，且<七， 黄广)-茶)3)-6-)层 6)任g 3内+ 因为函数f)在[0，+0)上为增函数，所以f()-f(:)<0恒成立， 因为<，所以3-39<0，又3+>0， 所以3+-t>0恒成立，即3>t恒成立， 当0≤<时，3+的取值范围为仙，+0)， 故t≤1，即实数1的取值范围为(-∞，刂 (2)由(1) f(6)=3+ 35 所以)2=3+-226-2=-0 当且仅当5=0时等号成立，则f(:)-2的最小值为0， 由血[2-0-3]有意义，得2-a)-3>0,即2-a>0,解得a<2 由h2a有意义，得2a>0,解得a>0, 由题意可得8(：)0对任意￥∈[0，+∞)恒成立， 所以n[2-a)-3]≤n2a+2x对任意∈[0，+0)恒成立， 则n[2-am)-3]sn2a+ne2=lh(2a-e2）, 3s,2a 即2-a)-3<2e,得e 2-a对任意∈[0，+0)恒成立， 令) 0<21,所以)为减政数 因为 即当∈[0，+0)时，()的最大值为p(0)=1, 2 所以2-a,解得“≥ 定数a的取值范围为3,2