第四章 3.1- 3.2 同步练- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 这份对数函数同步练习通过基础概念辨析、性质综合应用到创新拓展的三层设计，实现从单一知识点到跨情境综合能力的递进，适配新授课知识巩固与数学眼光、思维、语言核心素养的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数函数概念与基本性质|如第1题求解析式，直接考查概念理解，强化抽象能力| |中档|定义域、值域、单调性等性质应用|如第7题定义域求解，结合不等式运算，培养运算能力| |提升|图象综合、创新定义与证明|如第14题证明ab<1，通过图象分析与逻辑推理，发展理性精神|

§3　对数函数 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 1.对数函数的图象过点M（16，4），则此对数函数的解析式为（　　） A.y＝log4x　　　　　 B.y＝lox C.y＝lox　 D.y＝log2x 2.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数且f（2）＝1，则f（x）＝（　　） A.log2x　 B. C.lox　 D.2x－2 3.函数y＝2＋log2x（x≥1）的值域为（　　） A.（2，＋∞）　 B.（－∞，2） C.[2，＋∞）　 D.[3，＋∞） 4.函数f（x）＝1＋log2x和g（x）＝21＋x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） 5.（多选）下列函数表达式中，是对数函数的有（　　） A.y＝logπx　 B.y＝lox C.y＝log4x2　 D.y＝log2（x＋1） 6.（多选）函数y＝log（a－2）[（5－a）（x2＋1）]中，实数a的取值可能是（　　） A.　 B.3 C.4　 D.5 7.函数y＝log2的定义域是　　　　　. 8.已知函数y＝log2（x＋2）＋m的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为　　　　. 9.函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的单调递减区间为　　　　. 10.若函数y＝loga（x＋a）（a＞0，且a≠1）的图象过点（－1，0）. （1）求a的值； （2）求函数的定义域. 11.已知函数f（x）＝｜log2x－1｜，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根x1，x2，则x1x2的值为（　　） A.1　 B.2 C.4　 D.不确定 12.（多选）已知函数f（x）＝｜log2x｜的值域是[0，2]，则其定义域可能是（　　） A.　 B. C.　 D. 13.如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（－4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）＞log2（x＋2）的解集是　　　　. 14.已知函数f（x）＝｜log2x｜，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1. 15.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（　　） A.f2（x）与f4（x）　 B.f1（x）与f3（x） C.f1（x）与f4（x）　 D.f3（x）与f4（x） 16.若函数f（x）满足对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有＞f（），则称函数f（x）为下凸函数.已知f（x）＝x2＋cx，且f（x）为偶函数. （1）求c的值，并证明f（x）是下凸函数； （2）判断g（x）＝log2x是否为下凸函数，并说明理由. 3.1　对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 1.D　设该函数为y＝logax（a＞0，且a≠1），由于对数函数的图象过点M（16，4），所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D. 2.A　函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，又f（2）＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f（x）＝log2x. 3.C　∵x≥1，∴log2x≥0，∴y＝2＋log2x≥2. 4.D　因为f（x）＝1＋log2x的图象过点（1，1），而g（x）＝21＋x的图象过点（－1，1），结合图象，知D符合要求. 5.AB　判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B正确. 6.AC　由题意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C. 7.（－∞，－2）∪（1，＋∞）　解析：要使y＝log2有意义，须＞0，即（x＋2）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－2，即函数y＝log2的定义域是（－∞，－2）∪（1，＋∞）. 8.[－1，＋∞）　解析：由题意，知log22＋m≥0，所以m≥－1. 9.（－∞，－1）　解析：由题意得x2－4x－5＞0，解得x＜－1或x＞5，所以f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞）.令t＝x2－4x－5（x＜－1或x＞5），由二次函数的图象与性质 ，知t＝x2－4x－5的单调递减区间为（－∞，－1）.所以函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的单调递减区间为（－∞，－1）. 10.解：（1）将（－1，0）代入y＝loga（x＋a）（a＞0，且a≠1）中， 有0＝loga（－1＋a）， 则－1＋a＝1，所以a＝2. （2）由（1）知y＝log2（x＋2），由x＋2＞0，解得x＞－2， 所以函数的定义域为{x｜x＞－2}. 11.C　由｜log2x－1｜＝k有两个不同的实根x1，x2，可设x1＞x2，则则故x1x2＝2k＋1·2－k＋1＝4，故选C. 12.BC　令｜log2x｜＝2，可得log2x＝2或log2x＝－2，解得x＝4或x＝，所以要满足f（x）的值域为[0，2]，定义域为的子集，且必须包含x＝1以及至少一个边界点，A选项中∉，故错误；D选项中不包含边界点x＝或x＝4，故错误.B、C满足题意.故选B、C. 13.（－2，2）　解析：在同一坐标系中作出函数y＝f（x）和y＝log2（x＋2）的图象如图，易知当x＝2时，f（x）＝log2（x＋2）＝2.又f（x）的定义域为[－4，4]，y＝log2（x＋2）的定义域为（－2，＋∞），所以不等式f（x）＞log2（x＋2）的解集是（－2，2）. 14.证明：作出f（x）＝｜log2x｜的图象，如图所示. 由图可以看出，若0＜a＜b＜1满足f（a）＞f（b），此时有ab＜1成立；若0＜a＜1＜b，则f（a）＝｜log2a｜＝－log2a，f（b）＝｜log2b｜＝log2b， 因为f（a）＞f（b），所以－log2a＞log2b，即log2a＋log2b＜0，log2ab＜0，所以ab＜1； 若1＜a＜b，则f（a）＜f（b）与条件f（a）＞f（b）相矛盾. 综上可知，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），则ab＜1. 15.A　∵f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，∴f2（x）＝log2（x＋2）的图象沿x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后沿着y轴向上平移1个单位长度，得到f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A. 16.解：（1）因为f（x）为偶函数，所以x2－cx＝x2＋cx，因为x∈R，所以cx＝0，所以c＝0，所以f（x）＝x2. 证明如下： 任意取R上两个不相等的实数x1，x2，则－f（）＝－（）2＝＞0，所以f（x）是下凸函数. （2）g（x）＝log2x不是下凸函数.理由如下： 当x1＝1，x2＝2时，g（x1）＝0，g（x2）＝1， g（）＝g（）＝log2 ， 因为＝， g（）＝log2 ＞log2＝， 所以g（）＞， 故g（x）＝log2x不是下凸函数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $