4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数、幂、对数函数增长比较，分层设计基础巩固、综合辨析、实际应用三阶练习，通过数据拟合、情境建模等题型构建从概念理解到跨学科应用的知识路径，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数增长特征|第1题数据拟合判断函数类型，第4题比较0<x<1时函数值大小，夯实概念理解| |综合|多函数增长差异辨析|第5题多选辨析幂函数与指数函数增长速度，第12题比较二次函数与指数函数增长趋势，深化逻辑推理| |应用|现实问题数学建模|第16题烟花高度与时间关系建模求最佳爆裂时刻，第15题汽车费用计算，提升模型意识与应用能力|

4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.有一组实验数据，如下表： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则最佳体现这些数据关系的函数模型是（　　） A.v＝log2t　　　　　 B.v＝2t－2 C.v＝　 D.v＝2t－2 2.某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份（　　） A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　） 4.若x∈（0，1），则下列结论正确的是（　　） A.2x＞＞lg x　 B.2x＞lg x＞ C.＞2x＞lg x　 D.lg x＞＞2x 5.（多选）以下四种说法中，正确的是（　　） A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B.已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax C.对任意的x＞0，xa＞logax D.不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 6.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是　　　　.（填序号） ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50. 7.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应　　　　；B对应　　　　；C对应　　　　；D对应　　　　. 8.工厂生产某种产品的月产量y（万件）与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为　 　万件. 9.若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是　　　　. 10.函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示. （1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； （2）以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较. 11.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（　　） 12.（多选）已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（　　） A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3 D.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度有时快于y2 13.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中，正确信息的序号是　　　　. 14.我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量. （1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ （2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 15.某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），则大约使用　　　　年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元. 16.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）存在函数关系，并得到相关数据如下表： 时间t 2 4 高度h 10 25 17 （1）根据上表数据，从函数y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系； （2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度. 4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1.C　当t＝4时，v＝log24＝2，但题表中的v值是7.5，相差很大，排除A；当t＝4时，v＝2t－2＝24－2＝14，与7.5相差太大，排除B；当t＝4时，v＝2t－2＝2×4－2＝6，与7.5相差也太大，排除D.故选C. 2.A　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝.因为－＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高. 3.D　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），∴y＝f（x）的图象大致为D中图象. 4.A　如图所示，结合y＝2x，y＝及y＝lg x的图象易知，当x∈（0，1）时，2x＞＞lg x，故选A. 5.BD　对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于选项B，因为a＞1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax＞logax，故B正确；对于选项C，当0＜a＜1时，结合图象易知xa＞logax不恒成立，故C错；对于选项D，当a＞1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立，故D正确.故选B、D. 6.① 7.（4）　（1）　（3）　（2）　解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应. 8.1.75　解析：由题意有解得∴y＝－2×0.5x＋2，∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）. 9.ax＞xn＞logax　解析：由于a ＞1，则函数y＝ax为增函数，而xn在n＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数y＝ax的增长速度小，根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，可知当x足够大时， ax，xn，logax的大小关系是ax＞xn＞logax. 10.解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x. （2）当0＜x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）. 11.B　v＝f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B. 12.BD　如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D. 13.①②③　解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误. 14.解：（1）由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位. （2）将耗氧量Q＝80代入函数关系式，得 v＝5log2＝5log28＝15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 15.4　解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4×（1－0.9x）＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f（x）＝x－6×0.9x，易得f（x）为增函数，又f（3）＝－1.374＜0，f（4）＝0.063 4＞0，所以函数f（x）在（3，4）上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元. 16.解：（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数. 设h（t）＝at2＋bt＋c， 有⇒ ∴h（t）＝－4t2＋20t＋1（t≥0）. （2）h（t）＝－4t2＋20t＋1 ＝－4（t2－5t）＋1＝－4＋26. ∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26 m. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $