四川省达州市达川中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

四川省达川中学初2026届2025年秋第三次月考 数 学 试 题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值是（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 3．如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC，光屏上显示的缩小的实像高8cm．若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5：4，则物体的高为（　　） A．10cm B． 8cm C．12cm D．9cm 3题图 4题图 6题图 9题图 4． 如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　） A．∠DAC＝∠ABC B． C．AC2＝BC•CD D．CA平分∠BCD 5．将分别标有“美”、“丽”、“中”、“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，先将小球搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再搅拌均匀，随机又摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（　　） A． B． C．0.5 D．1 7．已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．该函数的图象与y轴交点为（0，1） C．当﹣1＜y≤0时，的取值范围是＜x≤1 D．该函数图象与x轴的交点为（﹣1，0） 8．东风商场在“国庆”小长假期间，开展了“迎国庆，庆国庆”优惠大酬宾活动。活动方案为： 十月1日将原价每套600元的某品牌运动服进行八折销售；2日、3日在原价基础上连续两次降价销售，4日恢复原价，若3号每套运动服的售价为486元，求2日、3日平均每天降价的百分率？设平均每天降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1﹣x）2＝ 486 B．（1﹣2x）2＝486 C．600（1﹣2x）2＝486 D．600（1﹣x）2＝486 9．如图,在平面直角坐标系中,的顶点A，B分别在轴、轴上,且A(0,4),B(2,0),斜边AC∥轴.若反比例函数的图象经过AC的中点D,则的值为(　　) ( B ) ( D ) ( E ) ( P ) ( A ) ( C ) A.20 B.10 C.5 D.2.5 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．方程的解是　 　． 12．有四张正面分别标有平行四边形，对角线相等，对角线平分，对角线垂直的不透明卡片，它们除文字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记录好该卡片上的文字，将该卡片放回洗匀后从中再任取一张，记录好该卡片上的文字，则抽到的两张卡片上的文字内容恰好组成矩形的概率为 　 　． 12题图 13题图 13．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E、F，若，DE=6，则DF的值为 　 　． 14．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为　 　． 14题图 15题图 15． 如图，矩形OABC中，OA=6，OC=3，点E是OA的中点，连接BE，点P是线段BE上的一动点，从E向B运动，连接CP，点M是CP的中点，连接AM，反比例函数的图像经过点M，当AM取得最小值时，的值是　 　． 三、解答题（共90分） 16．（8分）解方程：（1）， （2）（用配方法） 17．(8分)我市某中学开展以“学习朱子文化，弘扬理学思想”为主题的读书月活动，并向学生征集读后感，学校将收到的读后感篇数按年级进行统计，并将统计结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据图中提供的信息完成以下问题 （1）收到的读后感篇数是　 　，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中“九年级”对应的圆心角是　 　°，的值是　 　； （3）经过评审，全校有4篇读后感荣获特等奖，其中有一篇来自九年级，学校准备从特等奖读后感中任选两篇在校广播电台上播出，请利用画树状图或列表的方法求出九年级特等奖读后感被校广播电台播出的概率． 18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠EDB＝∠CBE． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DE＝9，AE＝12，求CD的长． 19． （8分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF，小明测得窗户距离地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE， （1）求出路灯的高度AB． （2）现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m，如图2所示，需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答） 20．（8分）某服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了13500元，乙种款型共用了10000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍少10件，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少50元． （1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ （2）该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件，乙种款型的T恤衫以280元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售量增加a件．结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润． 21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝CD，连结BE． （1）证明：四边形ADBE是菱形； （2）若AC＝5，AB＝10，求菱形ADBE的面积． 22．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，m），B（﹣4，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿y轴向下平移n个单位（n＞0），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求n的值． 23．（8分）如图，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，AB、CD交于点O，已知 AE•BD＝AD•CE，∠ADB＋∠AED＝180°． （1）求证：△DAB∽△EAC； （2）若AC＝3.5， BD＝1.4，OA＝3，求OD的长． 24．（12分）如图，直线与双曲线（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且 ． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）点P是坐标轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（12分） （1）【问题情景】如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的一动点，连接AE、AF，且∠EAF＝45°，如图，延长CB至G，使BG=DF，通过证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF可得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF，即：BE+DF＝EF． （2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF＝45°时，探究EF、BE、DF之间的数量关系，请说明理由； （3）【模型建立】如图3，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边DC、BC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； （4）【拓展应用】如图4，已知△ABC是边长为5的等边三角形，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，且BD＝CD，∠BCD＝30°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长． 参考答案 一、选择题（每小题4分，共40分） 1--5： DBACB 6--10：ACDAD． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11． ． 12． 13．10． 14．240． 15． 9． 三、解答题（共9小题，90分） 16．（1）， （2）（用配方法才给分） 17．我市某中学开展以“学习朱子文化，弘扬理学思想”为主题的读书月活动，并向学生征集读后感，学校将收到的读后感篇数按年级进行统计，并将统计结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据图中提供的信息完成以下问题 (1) 收到的读后感篇数是　 　，并补全条形统计图； (2) 扇形统计图中“九年级”对应的圆心角是　 　°，的值是　 　； (3) 经过评审，全校有4篇读后感荣获特等奖，其中有一篇来自九年级，学校准备从特等奖读后感中任选两篇在校广播电台上播出，请利用画树状图或列表的方法求出九年级特等奖读后感被校广播电台播出的概率． 解：（1）∵总数量为25÷25%＝100（篇） ∴九年级数量为100﹣25﹣40＝35（篇）， 补全图形如下： （2） 由（1）知：扇形统计图中“九年级”对应的圆心角， （3） 故答案为：126； 40 ； （2）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中九年级的为A， 共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中九年级特等奖读后感被校广播电台播出的可能性有6种， ∴九年级特等奖读后感被校广播电台播出的概率为＝． 18．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠EDB＝∠CBE． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DE＝9，AE＝12，求CD的长． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠A＝∠CBE， ∵∠EDB＝∠CBE， ∴∠A＝∠BDE， 又∵∠E＝∠E， ∴△ADE∽△DBE； （2）解：∵△ADE∽△DBE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19． 小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF，小明测得窗户距离地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE． (1) 求出路灯的高度AB． (2) 现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m，如图2所示，需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？， 解：(1)∵AB⊥BE，OC⊥OE， ∴AB∥OC， ∴△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF， ∴， ∴， ∴AB＝BE＝4（m）， 答：路灯的高度AB为4m． （2）如图所示： 由题意得： 由（1）得：， ∴， ∴ AB＝5， ∴ 升高的高度为：． 答：路灯AB的高度升高1米，最近端位置离O点的距离是米。 20．某服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了13500元，乙种款型共用了10000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍少10件，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少50元． （1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ （2）该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件，乙种款型的T恤衫以280元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售量增加a件．结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润． 解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进（2x-10）件， 依题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴ 2x-10＝90， 答：甲种款型的T恤衫购进90件，乙种款型的T恤衫购进50件； （2）乙种款型每件的进价为：10000÷50＝200（元）， 则甲种款型每件的进价为：200﹣50＝150（元）， 由题意得：（200﹣a）（20+4a）+（280﹣a）（10+a）＝200×20+280×10+1000a， 整理得：a2﹣10a＝0， 解得：a1＝10，a2＝0（不符合题意，舍去）， ∴（200﹣a﹣150）（20+4a）+（280﹣a﹣160）（10+a）＝（200﹣10﹣150）（20+4×10）+（280﹣10﹣200）（10+10）＝3800（元）， 答：第二个月的销售利润为3800元． 21．在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝CD，连结BE． （1）证明：四边形ADBE是菱形； （2）若AC＝5，AB＝10，求菱形ADBE的面积． （1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点， ∴ AD＝BD＝CD＝BC， ∵ AE＝CD，∴ AE＝BD， ∵AE∥BC， ∴四边形ADBE是平行四边形， ∴平行四边形ADBE是菱形； （2）解：∵平行四边形ADBE是菱形， ∴S△ABD＝S△ABE， ∵D是BC的中点， ∴S△ADC＝S△ABD， ∴菱形ADBE的面积＝三角形ABC的面积＝AC•AB＝5×10＝25． 22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，m），B（﹣4，1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）将一次函数的图象沿y轴向下平移n个单位（n＞0），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求n的值． 解：（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，m），B（﹣4，1）两点． ∴ k＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数解析式为：； ∴m＝4，即A（﹣1，4）， ∴，  解得： ∴一次函数的表达式为： （2）由（1）知：将一次函数的图象沿y轴向下平移n个单位（n＞0），可得y＝x+5﹣n， ∵平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点， ∴， 即：， ∴， 解得：n＝9或1， 答：n的值为9或1． 23．如图，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，AB、CD交于点O，已知AE•BD＝AD•CE，∠ADB＋∠AED＝180°． （1）求证：△DAB∽△EAC； （2）若AC＝3.5， BD＝1.4，OA＝3，求OD的长． （1）证明：∵AE•BD＝AD•CE，， ∴， ∵∠ADB＋∠AED＝180°，∠AEC＋∠AED＝180°， ∴∠ADB＝∠AEC， ∴△DAB∽△EAC． （2）解：∵△DAB∽△EAC，∴∠ABD＝∠ACE， 又∵∠BOD＝∠AOC，∴△BOD∽△COA． ∴，即：， ∴OD＝1.2 24．如图，直线与双曲线（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且． （1）求k的值并直接写出点B的坐标； （2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值； （3）点P是坐标轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵A（m，﹣3）在直线上， ∴， 解得m＝﹣2， ∴A（﹣2，﹣3）， ∵A（﹣2，﹣3）在上， ∴k＝6， ∴， ∵直线与双曲线（k≠0）交于点A、B， ∴， 解得：或 ∴B（2，3）； （2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F， ∴BE∥CF， ∴△DCF∽△DBE， ∴， ∵，BE＝3， ∴， ∴CF＝1， ∵点C是双曲线第一象限分支上的一点， ∴C（6，1）， 作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G， 则B′C即为BG+GC的最小值， ∵B′（﹣2，3），C（6，1）， ∴B′C＝， ∴BG+GC＝B′C＝； 故GB+GC的最小值为； （3）存在．理由如下： ①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0）， 过点B作BE⊥x轴于点E， ∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB， ∴△OBE∽△OP1B， ∴， ∵B（2，3）， ∴， ∴， ∴点P1的坐标为（，0）； ②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2， 设点P2的坐标为（0，b）， ∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB， ∴△BON∽△P2OB， ∴， ∴， ∴点P2的坐标为（0，）； 综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）． 25．(1)【问题情景】如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的一动点，连接AE、AF，且∠EAF＝45°，如图，延长CB至G，使BG=DF，通过证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF可得EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF，即：BE+DF＝EF． (2)【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF＝45°时，探究EF、BE、DF之间的数量关系，请说明理由； (3)【模型建立】如图3，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边DC、BC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明； (4)【拓展应用】如图4，已知△ABC是边长为5的等边三角形，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，且BD＝CD，∠BCD＝30°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长． （2） 解：DF＝EF+BE； 理由如下：如图所示． ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∵∠ADC＝∠ABE＝90°， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD． 又∵∠BAG+∠GAD＝90°， ∴∠EAG＝∠BAD＝90°． ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°． ∴∠EAF＝∠GAF． ∴△EAF≌△GAF（SAS）． ∴EF＝FG． ∵FD＝FG+DG， ∴DF＝EF+BE， (3) 如图， DF+BE＝EF成立． 证明：将△ADF绕A顺时针旋转∠BAD的度数，此时，AD与AB重合， 由旋转得：BG＝DF，∠1＝∠2，AF＝AG， ∠ABG＝∠D＝90°， 同理得：点G，B，E在同一条直线上， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE+∠FAD＝∠BAD， ∴∠BAE+∠GAB＝∠BAD， ∴∠EAG＝∠EAF， ∵AF＝AG，AE＝AE， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EG， ∴EF＝BG+BE＝DF+BE， ∴（1）中的结论还成立，DF+BE＝EF； (4 )解：∵△ABC是边长为5的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝5，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BCD＝30°， ∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∠BDC＝120°， ∠DBE＝∠DCA＝60°+30°＝90°， 把△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCM，可使DB与DC重合， 由旋转得：DM＝DE，∠CDM＝∠BDE，CM＝BE， ∠DCM＝∠DBE＝90°， 同理得：点F，C，M在同一条直线上， ∵∠EDF＝60°＝∠BDC， ∴∠BDE+∠CDF＝60°， ∴∠CDM+∠CDF＝60°， ∴∠MDF＝∠EDF， ∵DE＝DM，DF＝DF， ∴△MDF≌△EDF（SAS）， ∴EF＝FM， ∴EF＝CM+CF＝BE+CF， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝5+5＝10． ( 初三数学 第 10 页，共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $