7.4 事件的独立性同步练(能力提升)—2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

7.4 事件的独立性 1.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车经过这三处时共遇到两次绿灯的概率为( ) A. B. C. D. 2.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为( ) A.0.3 B.0.5 C.0.52 D.0.7 3.如图所示的电路有a，b，c，d四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A. B. C. D. 4.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A. B. C. D. 5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为( ) A. B. C. D. 6.若，，，则事件A与B的关系是( ) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B互斥又独立 7.抛掷红、蓝两个除颜色外其他完全相同的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，则( ) A.事件与对立 B.事件与不互斥 C.事件与相互独立 D.事件与相互独立 8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和P，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则( ) A. B. C. D. 9.（多选）设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( ) A.若A，B是互斥事件，，，则 B.若A，B是对立事件，则 C.若事件A与事件B相互独立，，，则 D.若，，且，则A与B相互独立 10.（多选）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，等它停止后，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件，，，则下列说法正确的是( ) A.E，F相互独立 B.E，G相互独立 C.F，G相互独立 D. 11.（多选）小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则下列结论中正确的有( ) A.文学社和话剧社均面试成功的概率为 B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为 C.有且只有辩论社面试成功的概率为 D.三个社团至少一个面试成功的概率为 12.已知A，B是相互独立事件，且，，则___________. 13.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，A，B同时正常工作或C正常工作则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是__________. 14.俗话说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”.“皮匠”实际上是“裨将”的谐音，“裨将”在古代指“副将”，原意是指三个副将的智慧合起来能顶一个诸葛亮.现有三名“副将”，这三名“副将”能解决某个问题的概率均为，且三人能否解决这个问题互不影响，则这个问题被解决的概率为___________. 15.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，，，在面试部分合格的概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录取的可能性最大？ （2）当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其他因素，求三人中至少有一人被录取的概率. 答案以及解析 1.答案：D 解析：汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，，， 汽车经过三处遇两次绿灯的事件记为M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，则，所以汽车经过这三处时共遇到两次绿灯的概率为.故选D. 2.答案：C 解析：记“甲获奖”为事件A，“乙获奖”为事件B，则，，且，所以，即事件A与事件B相互独立，因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为.故选C. 3.答案：C 解析：记“c，d至少有一个闭合”为事件M，则，所以灯泡亮的概率.故选C. 4.答案：D 解析：设甲、乙获一等奖的概率分别是，，不获一等奖的概率是，，则这两人中恰有一人获一等奖的概率为.故选D. 5.答案：B 解析：设，分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则，.记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D，则.故选B. 6.答案：C 解析：因为，所以A与B能同时发生，不是互斥事件，故A，D错误；因为，所以.因为，所以，所以事件A与B不是对立事件，故B错误；因为，所以事件A与B相互独立，故C正确.选C. 7.答案：C 解析：对于A，事件：红骰子的点数为2，：红骰子的点数为3，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如4，故A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为7，：两个骰子的点数之和为9，与不可能同时发生，所以与互斥，故B错误； 对于C，，两个骰子的点数之和为7的情况有，，，，，，共6种，总的样本点个数为36，所以，，所以，所以与相互独立，故C正确； 对于D，，两个骰子的点数之和为9的情况有，，，，共4种，总的样本点个数为36，所以，，所以，D错误.故选C. 8.答案：A 解析：设“系统A发生故障”为事件A，“系统B发生故障”为事件B，“任意时刻恰有一个系统发生故障”为事件C，则，解得，故选A. 9.答案：BC 解析：对于A，由互斥事件的概率加法公式知，故A错误； 对于B，由对立事件的概率公式知，故B正确； 对于C，若事件A与事件B相互独立，则A与也相互独立，易知，则，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，则与B不相互独立，故A与B也不相互独立，故D错误.故选BC. 10.答案：BCD 解析：由题设知，，且，，，，所以，，所以，，，. 综上，E，F不相互独立，E，G相互独立，F，G相互独立，故A错误，B，C，D正确，故选BCD. 11.答案：BCD 解析：对于A，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确； 对于B，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确； 对于C，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确； 对于D，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确.故选BCD. 12.答案：0.42 解析：因为A，B是相互独立事件，所以，B也是相互独立事件.因为，，所以. 13.答案： 解析：设题图中上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E. ，.，，，即该电子元件能正常工作的概率是. 14.答案： 解析：由题意，这个问题未被解决的概率为，故三人能解决该问题的概率为. 15.答案：（1）丙被录取的可能性最大 （2） 解析：（1）记甲、乙、丙被录取分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立， 则，，， ，丙被录取的可能性最大. （2）记三人中至少有一人被录取为事件D， 则D与互为对立事件， . 三人中至少有一人被录取的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $