频率与概率、事件的独立性 练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

频率与概率、事件的独立性 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员( ) A.投篮10次至少有8次命中 B.投篮命中的频率为0.86 C.投篮命中的概率为0.86 D.投篮100次有86次命中 2.甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为( ) A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98 3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.26 5.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 6.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则( ) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是( ) A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8 B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大 C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大 D.已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大 8.已知事件A与B，且，，则下列结论正确的是( ) A.如果A与B互斥，那么 B.如果A与B相互独立，则 C.如果A与B相互独立，那么 D.如果A与B相互独立，那么 9.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.若前两局中乙队以领先，则( ) A.甲队获胜的概率为 B.乙队以获胜的概率为 C.乙队以获胜的概率为 D.乙队以获胜的概率为 10.下列对各事件发生的概率判断正确的是( ) A.某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中，6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为__________. 12.为了解高中生上学带手机的情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”，由此可以估计这800人中上学经常带手机的人数是__________. 13.抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为5的概率为.若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为________. 14.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，答对第二题的概率分别是，，. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 参考答案 1.答案：B 解析：由题意可知投篮命中的频率为，而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误； 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的，其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小， 不代表事件一定会发生，故AD错误，故选：B. 2.答案：D 解析：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”， 因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，所以，，所以飞行目标被雷达发现的概率为.故选：D 3.答案：C 解析：已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为，已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为，密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为.故选：C 4.答案：C 解析：由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为.故选：C. 5.答案：A 解析：记甲、乙、丙投中分别即为事件，，，由题知，则3人中至少有2人投中的概率为： .故选：A. 6.答案：D 解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为，则，记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则，记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，则，则，， 即，，则p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关，故A错误.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大，故B、C错误，D正确.故选D. 7.答案：AD 解析：由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为，则至少有一个零件发生故障的概率为0.8，A正确； 有两个零件发生故障的概率为，只有一个零件发生故障的概率为，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误； 乙零件发生故障的概率为，甲零件发生故障的概率为，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误； 由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.故选：AD. 8.答案：ABC 解析：对A，A与B互斥，则，A对； 对B，A与B相互独立，则，B对； 对C、D，A与B相互独立，， 故C对D错；故选：ABC 9.答案：AB 解析：对于A，在乙队以领先的前提下，若甲队获胜，则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确； 对于B，乙队以获胜，即第三局乙队获胜，概率为，故B正确； 对于C，乙队以获胜，即第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，概率为，故C错误； 对于D，若乙队以获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局甲队获胜，所以乙队以获胜的概率为，故D错误.故选AB. 10.答案：AC 解析：对于A，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这4张卡片中随机抽取2张，不同结果为12，13，14，23，24，34共6个，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为12，14，23，34共4个，概率为，B错误； 对于C，甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得，解得，D错误.故选：AC 11.答案： 解析：根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，假如甲、乙、丙三人实力相当，则每局比赛双方获胜的概率均为，比赛进行4场，丙最终获胜，则后3场丙全胜，概率为； 比赛进行5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为；所以丙获胜的概率为.故答案为：. 12.答案：120 解析：因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是，所以被调查者中大概有400人回答了问题（2），有400人回答了问题（1）.又因为学号为奇数或偶数的概率也是，所以在回答问题（1）的400人中大约有200人回答了“是”，在回答问题（2）的400人中大约有（人）回答了“是”.所以被调查的800人中上学经常带手机的人数约为120. 13.答案： 解析：因为每次掷出点数为5的概率为，则每次掷出其他点数的概率为，故事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率为 ，当且仅当，即时等号成立，所以事件“三次抛掷中恰有1次掷出的点数为5”的概率的最大值为.故答案为：. 14.答案：15 解析：设盒子中红球的个数为n，由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知，摸到黑球的概率为0.25，则，解得，即盒子中红球个数大约15个.故答案为：15 15.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)甲通过考核进入面试环节， 答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. (2)乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . (3)丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： 学科网（北京）股份有限公司 $