5.2 实际问题中的函数模型(能力提升)同步练-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

5.2 实际问题中的函数模型 1.如图中的文物叫作“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时注满，设注水过程中，壶中水面高度为h（单位：cm），注水时间为t（单位：s），则下列选项中最符合h关于t的函数图象的是( ) A. B. C. D. 2.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是( ) A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒 3.某种鲜花的进价为5元/枝，据市场调查，当销售价格为元/枝时，每天售出该鲜花的枝数，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为( ) A.9元/枝 B.11元/枝 C.13元/枝 D.15元/枝 4.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，v为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( ) A.135 B.149 C.165 D.195 5.假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系是（k为大于0的常数）.已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度( ) A. B. C. D. 6.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）( ) A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年 7.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( ) A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16 8.某公司为了提高销售部业务制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元.该公司拟定销售额x（万元）与奖励金额y（万元）之间的函数关系为，某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为( ) A.128万元 B.256万元 C.512万元 D.1024万元 9.（多选）如图，某湖泊蓝细菌的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是( ) A.蓝细菌面积每个月的增长率为200% B.蓝细菌每个月增加的面积都相等 C.第4个月时，蓝细菌面积就会超过 D.若蓝细菌的面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有 10.（多选）某食品的保鲜时间y（单位：h）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，b为常数）.若该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是，则下列说法正确的是( ) A. B.储存的温度越高，该食品的保鲜时间越长 C.该食品在时的保鲜时间是 D.该食品在时的保鲜时间是 11.（多选）某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间t（单位：时）变化的图象近似符合如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是( ) A. B.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为小时 12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过1000元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过1000元，则超过1000元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元部分 超过500元的部分 若某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为________元. 13.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙.研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度v（单位：）与其耗氧量Q之间的关系为（其中a，b是常数）.据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，飞行速度为.若这种候鸟为了赶路，飞行的速度不能低于，则其耗氧量至少要________个单位. 14.学校教室与办公室相距a米，某同学有重要材料要送交给老师.他从教室出发先匀速跑步2分钟来到办公室，在办公室停留2分钟，然后匀速步行6分钟返回教室，请写出该同学行走路程y关于时间t的函数关系式：___________. 15.批发市场的某种水果在过去的10个月内，第x个月的批发价格（单位：元／千克）满足函数解析式，第x个月的月交易量（单位：百吨）的部分数据如下表，给出两个函数模型：①；②. x 1 2 4 5 10 11 10.5 10.25 10.2 10.1 （1）请你根据表中的数据，通过计算说明可以用哪种函数模型来描述该水果第x个月的月交易量与x的函数关系，并求出该函数解析式； （2）根据（1）中得到的函数解析式，求出该水果在过去10个月内第x个月的月交易额（单位：十万元）的函数解析式，并求其最小值.（月交易额=月交易量×批发价格） 答案以及解析 1.答案：A 解析：圆壶的结构是底端与上端细、中间粗，所以在注水水流速度恒定的情况下，开始时水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水的高度增加的速度又变快，由图可知选项A符合题意，故选A. 2.答案：A 解析：由题意，，则当时，烟花达到最高点，即爆裂的时刻是第4秒.故选A. 3.答案：D 解析：设每天获得的利润为y元，则，，此函数是增函数，故当时，y取得最大值.故选D. 4.答案：B 解析：由题意得，当且仅当，即时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B. 5.答案：D 解析：当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时，则，得，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度.故选D. 6.答案：D 解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 则，即， 解得. 因为x取整数，所以取，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年. 7.答案：D 解析：由题意可得，所以，而，所以，解得，故.故选D. 8.答案：B 解析：由题意得解得所以.由，得，所以该业务员的销售额应为256万元. 9.答案：ACD 解析：由题图可知，函数的图象经过点，即，则，，不是常数.由可知蓝细菌每个月的面积是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为200%，A正确，B错误； 当时，，C正确； 若蓝细菌的面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，，，则，D正确.故选ACD. 10.答案：CD 解析：根据题意，将，分别代入，得所以，所以，所以，故储存的温度越高，该食品的保鲜时间越短. 该食品在时的保鲜时间是，该食品在时的保鲜时间为. 故选CD. 11.答案：ACD 解析：由题图可知当时，，因为点在直线上，所以，所以，所以y与t之间的函数关系式近似为 对于A，当时，，即，得，故A正确. 对于B，D，当药物刚好起效时，由，得，当药物刚好失效时，由，得， 所以该药物治疗该病的有效时长为（时），故B错误，D正确. 对于C，注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为（微克），故C正确.故选ACD. 12.答案：1610 解析：设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元，则当时，. 当时，， 令，得，解得，不符合题意. 当时，，令，得，解得，符合题意，所以他实际所付金额为(元). 13.答案：270 解析：由题意知解得 所以，要使飞行速度不能低于，则有， 即，即，解得， 即.所以耗氧量至少要270个单位. 14.答案： 解析：匀速跑步的速度为米/分，匀速步行的速度为米/分，故 15.答案：（1）模型②适合，解析式为 （2）当时，函数取得最小值，为441 解析：（1）对于模型①，将，代入，得即两式相减得，得，其中，无解，故模型①不适合；对于模型②，将，代入，得即解得即，经验证，点，，均在的图象上，所以模型②适合，所以与x的函数解析式为. （2）由（1）知，所以时，由基本不等式，可得，当且仅当，即时等号成立；当，时，，为减函数，所以的最小值为. 综上，当时，函数取得最小值，为441. 学科网（北京）股份有限公司 $