第5章 §2 2.1 实际问题的函数刻画&2.2 用函数模型解决实际问题(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．310元 B．300元 　 C．290元 D．280元 解析　设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 函数图象过点(1,800)，(2,1300)， 则解得 所以y＝500x＋300， 当x＝0时，y＝300. 所以营销人员没有销售量时的收入是300元． 答案　B 2．某地2019年人均GDP(国内生产总值)为8000元，预计以后年增长率为10%，使该地区人均GDP超过16 000元，至少要经过(　　) A．4年 B．5年 C．8年 D．10年 解析　依题意，8000(1＋10%)x>16 000(x∈N＋)，则1.1x>2⇒x>log1.12＝≈7.3. 答案　C 3．有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2020年约为400万吨，2021年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从__________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 解析　设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2020年开始增加的年份的数量，由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×n， 由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨， 所以4000＝400×n，所以n＝10， 两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1， 所以n(0.4771－0.3010)＝1， 解得0.1761n＝1，解得n≈6， 所以从2020＋6＝2026年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨． 答案　2026 4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2000ln ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 解析　依题意知2000ln＝12 000， ∴ln＝6,1＋＝e6，故＝e6－1. 答案　e6－1 5．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________． 解析　由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0， 解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s)． 答案　10　15 m/s 6．(2025·昆明高一联考)某种候鸟每年都按一定的路线迁徙，科学家经过测量发现这种候鸟的飞行速度可以表示为v＝log3－lg x0(v的单位：km/min)，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧量偏差．(取lg 2＝0.3,31.2＝3.74,31.4＝4.66) (1)若x0＝2，则当候鸟每分钟的耗氧量为900个单位时，它的飞行速度是多少？ (2)若x0＝5，则当候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为1.2 km/min，雌鸟的飞行速度为0.7 km/min，那么雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解析　(1)当x0＝2，x＝900时， v＝log39－lg 2＝1－lg 2＝1－0.3＝0.7， 故此时候鸟的飞行速度为0.7 km/min. (2)当x0＝5，v＝0时，0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5＝2·(1－lg 2)＝2×0.7＝1.4， 所以＝31.4＝4.66，解得x＝466. 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． (3)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位，雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位， 由题意，得 两式相减可得0.5＝log3，于是＝3. 故雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的3倍． [关键能力·综合提升] 7．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　) A．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km 解析　在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75＜22.6知x＞8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确 . 答案　BCD 8．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 解析　设经过n次过滤，产品达到市场要求， 则×n≤，即n≤， 由nlg ≤－lg 20， 即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)， 得n≥≈7.4，所以选BC. 答案　BC 9．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝________毫克/升． 解析　因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝， 所以p0＝600ln 2， 因为p(t)＝p02－， 所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)． 答案　150ln 2 10．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于__________(取lg 2≈0.3进行计算)． 解析　由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时， y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2. 所以 ②－①，得0.2＝alg ，0.2＝alg 2. 所以a＝≈＝. 答案　 11．(2025·泉州高一检测)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 解析　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示． 设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入， 得解得 所以y＝0.3x. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)， 所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2＝－0.15(x－3)2＋4.55. 当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B种商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元． [核心价值·探索创新] 12．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准确制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金f(x)(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，资金总数不低于100万元，且资金总数不超过投资收益的20%. (1)现有三个奖励函数模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3000,9000]．试分析这三个函数模型是否符合公司要求； (2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使资金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？ 解析　(1)①函数f(x)＝0.03x＋8， 当x＝3000时，f(3000)＝98＜100，不符合要求； ②函数f(x)＝0.8x＋200为减函数，不符合要求； ③函数f(x)＝100log20x＋50在[3000,9000]上为增函数，且当x＝3000时， f(3000)＝100log203000＋50＞100log2020＋50＞100， 又因为当x∈[3000,9000]时，f(x)≤f(9000)＝100log209000＋50＜100log20160 000＋50＝450，≥＝600， 所以f(x)≤恒成立． 因此，f(x)＝100log20x＋50为满足条件的函数模型． (2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3， 所以x≥8000， 所以公司的投资收益至少要达到8000万元. 学科网（北京）股份有限公司 $$