第三章《图形的形式》期中考点总结与练习——考点4《相似三角形的判定》2026-2027北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 4｜相似三角形的判定 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 4—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·相似三角形的判定·AA·SAS·SSS·平行线·添加条件与模型 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2025—2026 年全国各地各级各类考试（期中、期末、月考、一模、二模、开学考等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；题面数值与设问未作改动；带图题共 23 道（仅变式 4 为无图题），题图均取自原卷原图，严禁自绘； 全卷按例题、变式、拔高三组编排，每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列，且每组都含有一定数量的带图题：例题组（2 选＋2 填＋2 解，全部带图）、变式组（4 选＋3 填＋3 解，9 道带图）、拔高组（3 选＋1 填＋4 解，全部带图）； 本考点是期中卷解答题的必考板块：平行线找相似、AA 添加条件、SAS 与 SSS 判定、网格作图与测量应用反复出现——先认准判定依据，再按对应书写，是本资料的训练主线； 每题按答案、解析、详解三段式编排，详解段按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；部分题目的题面符号由原卷公式图还原（衢江、白银），个别填空为开放性答案（观山湖、金华网格），均已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本资料所有题目的解法都严格限定在本考点范围内：只用相似三角形的判定（平行于三角形一边的截线、两角分别对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）、相似三角形的对应关系、勾股定理与一元二次方程，不使用任何后续考点的方法（命题边界见考法速览后的说明）； 本考点与第三章考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线判定选择——看清已知哪几组量，选 AA、SAS 还是 SSS；二线平行与模型——平行截线、公共角、对顶角、双垂直是隐藏的角相等；三线添加条件与作图——逆向补条件、网格中构造相似三角形。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似；两角分别对应相等的两三角形相似；两边成比例且夹角相等的两三角形相似；三边成比例的两三角形相似；判定依据的选择与添加条件；网格作图与测量应用）。 一、平行截线与判定引理——见平行就写相似 ◆ 判定引理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似——DE∥BC 时，△ADE 与△ABC 的对应角全部由平行关系得到，直接由引理写相似，不必再验边。 ◆ 两大基本模型：A 字型（DE∥BC 于△ABC 内）与 8 字型（对顶角＋两双边平行）；找对应时先抓平行线，平行线截得的对应边按“上对上、下对下、斜对斜”书写。 二、两角分别对应相等（AA）——最常用的判定 ◆ AA 判定：两角分别对应相等的两个三角形相似；公共角、对顶角是图中现成的相等角，再补一个角相等即可——添加条件类题目优先补角，不要上来就补边。 ◆ 隐藏的相等角：公共角（同顶点共边型，即母子型 △ACD 与△ACB 的∠A）、对顶角（8 字型）、双垂直得同角的余角（CD⊥AB 于 D 时，∠ACD＝∠B 都与∠A 互余）。 三、两边成比例且夹角相等（SAS）——夹角必须对应 ◆ SAS 判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似——成比例的两条边的夹角必须是对应角；公共角两侧的对应边成比例（AD∶AC＝AE∶AB 型）是最常见的落点。 相似三角形·判定·模型速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 平行截线 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 DE∥BC，直接写 △ADE∽△ABC 把平行线截得的对应边写反 AA 判定 两角分别对应相等，两三角形相似；公共角、对顶角是现成的角 添加条件题优先补一个角 只证一角相等就下结论 SAS 判定 两边成比例且夹角相等；夹角必须是对应角的夹角 公共角两边对应成比例 两边成比例但夹角不对应 SSS 判定 三边对应成比例，两三角形相似；三边比要按对应顺序写 三边比 3∶4∶5 型判断 对应顺序错位比值错 公共角模型 A 字型、8 字型（对顶角＋平行）、双垂直（同角余角） 母子型 △ACD 与 △ACB 公共角 ∠A 对顶角误当公共角使用 网格与测量 格点三角形比三边；测高用标杆与视线构造相似 网格作图、偃矩测高 数格只数边长不验三边比 ◆ 化比为积：把比例式交叉相乘转化为乘积式（AD·AB＝AE·AC 型），再代入数值求边——乘积式与比例式是同一关系的两种写法，证明时按书写顺序选一种。 四、三边成比例（SSS）与判定选择——按图索骥 ◆ SSS 判定：三边对应成比例的两个三角形相似；网格题先算三条边的平方（都是勾股数型），三组比统一后才下结论。 ◆ 判定选择：已知一组角相等——再补一角用 AA；已知两边成比例——找它们的夹角用 SAS；已知三边长或三边比——直接 SSS；见平行线——直接用引理。 ◆ 分类讨论：点在边上取几处能得到相似（如 DE 截两边与△ABC 相似），要按“DE∥BC 平行型”与“对应边成比例型”两种可能分别求点，两个解都有效时答两处。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 相似三角形的判定是第三章的核心、也是期中卷解答题的必考板块：上承考点 2 的相似多边形，下启相似三角形的性质与应用；选择填空考“添加条件与不能判定”、解答考“证明相似＋求边”，网格作图与测高应用作为压轴情境反复出现； 判定依据的选择是全考点的心脏：先数已知几组量——一组角相等再补一角（AA）、两边成比例找夹角（SAS）、三边成比例直接（SSS）、见平行直接引理；“先认依据、再按对应书写”是第一习惯，证明题书写顺序与对应字母一一对齐。 答题方法（三步法） 第一步·认依据：看清题目给了什么——平行线（引理）、一组角（再补一角用 AA）、两边成比例（找夹角用 SAS）、三边长或三边比（SSS）；添加条件题先排除不能判定的选项； 第二步·写对应：把两个三角形的顶点按对应顺序对齐，相似符号∽两侧字母一一对位（△ABC∽△AED 即 A 对 A、B 对 E、C 对 D），对应角、对应边照字母顺序翻译，不许错位； 第三步·验与答：证明题每一步写明依据（AA／SAS／SSS／引理）；求边题由相似列比例式或乘积式，代入数值解出；网格与开放题检查所作图形三边比是否统一、答案是否满足所有条件。 注意事项（易错警示） 两边成比例但夹角不对应就下结论是第一错点：SAS 的夹角必须是对应角的夹角，“第三边”的比配上公共角不能判定相似——添加条件类选择题的高频陷阱； 对应字母错位是第二错点：△ABC∽△AED 中 B 与 E 对应、C 与 D 对应，写比例式时照字母顺序翻译；公共角写成“对顶角”、对顶角当成“公共角”都是表述错误； 分类讨论不可漏解：DE 截两边与原三角形相似的取点题，平行型与成比例型都要算；两个解都有效时答两处；网格作图先算三边平方，三组比统一才能下结论，不要只看形状像。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 添加条件判断 排除不能判定的条件，补角优先 仍不能判定的是／可添加的条件 ★☆ 平行截线 引理直接用，对应边按平行找 由 AB∥CD 求垂线段之比、边之比 ★★☆ 判定依据选择 AA／SAS／SSS 按已知量选用 给出条件组合，判断能否相似 ★★☆ 证明相似 公共角＋等角，书写判定依据 证明两三角形相似 ★★★ 相似求边 列比例式或乘积式解边 证相似后求线段长 ★★★ 网格与测量 算三边平方比；标杆视线构相似 网格作图、偃矩测高、光学测量 ★★★ 命题边界：本资料所有题目与详解都严格限定在本考点范围内——只用相似三角形的判定（平行截线、AA、SAS、SSS）与判定引理、勾股定理、一元二次方程；不使用相似三角形的性质（对应高、周长比、面积比，属考点 5）、位似（属考点 6）、黄金分割（属考点 1）与三角函数（九下）等本考点外内容。素材选自 2025—2026 年全国各地各级各类考试。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：添加条件不能判定型（选择）→ 添加条件不能判定型（选择）→ 直角添加条件开放填空（填空·嵌空）→ 平行截线求垂线段之比（填空·嵌空）→ 四条件选择判定证明（解答）→ 网格作图构造相似（解答）——先辨判定依据、再补条件、后综合运用，逐级递进。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教添加条件的辨析：已知∠1＝∠2 即一组公共角相等，选项中“两角相等（AA）”与“公共角两侧对应边成比例（SAS）”都能判定，“第三边之比”不能判定——排除法锁定答案； ◆ 例 3 教直角添加条件（填空·嵌空）：一组直角相等已具备，再补一个锐角相等（AA）或直角边对应成比例（SAS）即可，答案不唯一； ◆ 例 4 教平行截线求垂线段之比（填空·嵌空）：AB∥CD 得内错角相等，△ABF∽△DCG（AA），由对应边成比例得 AF∶DG＝AB∶CD＝2∶3； ◆ 例 5 教四条件选择判定（解答）：①②③都能判定（∠AED＝∠B 用 AA、∠BDE＋∠C＝180°转化为∠ADE＝∠C、AD·AB＝AE·AC 化比为积用 SAS），④两边不夹公共角不能判定； ◆ 例 6 教网格作图（解答）：先算原三角形三边的平方，按相似比缩小（扩大）三边，在格点上逐一构造并验证。 例 1　选择题 （2026·邛崃期末）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A.＝ B.∠B＝∠D C.∠C＝∠AED D.＝ 例 2　选择题 （2025·长兴月考）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A.∠C＝∠E B.∠B＝∠D C.＝ D.＝ 例 3　填空题（嵌空） （2025·观山湖月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC的延长线上，过点D作DE⊥BD，连接CE，请添加一个条件：______（不添加字母及辅助线），使△ABC∽△CDE．（写出一个即可） 例 4　填空题（嵌空） （2026·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G．若AB＝10，CD＝15，则 的值为______。 例 5　解答题 （2026·临平月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结DE．有以下四个条件：①∠AED＝∠B；②∠BDE＋∠C＝180°；③AD·AB＝AE·AC；④＝． (1)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED，并说明理由； (2)在(1)的前提下，若E为AC中点，AE＝2AD＝6，求线段AB的长． 例 6　解答题 （2025·金华开学考）在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1∶2，且各顶点都在格点上； (2)在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点三角形（各顶点都在格点上）． PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 公共角模型不能判定型——两边成比例但夹角不对应；变 2 弦图角条件逐项验证；变 3 分类讨论数点——平行型与成比例型都算；变 4 三边比设 k 求边； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 正方形折叠构造，设未知数列一元二次方程，两根都有效；变 6 直角三角形相似求面积所需的边，先由相似求 BE；变 7 测高应用，标杆视线构造相似列比例式； ◆ 变 8—变 10 练解答三型：变 8 角平分线＋双垂直证相似再求边；变 9 光学测量（平面镜反射构造对称角）证相似求距离；变 10 相似三角形的对应角与内角和：由对应角相等、内角和 180°求∠F。 变式 1　选择题 （2026·南湖期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，添加下列条件，不能判定△ABC∽△ACD的是（　　） A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.＝ D.＝ 变式 2　选择题 （2025·金华期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　） A.＝ B.＝ C.CA平分∠BCD D.∠DAC＝∠ABC 变式 3　选择题 （2026·玉田期末）△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式 4　选择题 （2026·扶绥期中）若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，最长边长为21cm，则其余两边长的和为（　　） A.24cm B.21cm C.19cm D.9cm 变式 5　填空题（嵌空） （2026·衢江模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交PA于点E．当PE＝3AE时，则PC的长为_____。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为______。 变式 7　填空题（嵌空） （2026·莲池期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是______m。 变式 8　解答题 （2026·海曙期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，分别交CB、CD于点E和点F． (1)求证：△ACF∽△ABE； (2)若AC＝6，＝，求BC的长． 变式 9　解答题 （2025·青白江期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求反射点B到木板的距离（即BC的长）； (2)求灯泡到地面的高度AG． 变式 10　解答题 （2025·温州期末）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝110°，∠B＝30°．求∠F的度数． PART 05 拔高巩固（8 题） 相似三角形的判定 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1、拔 2 练图上判定与观点辨析：拔 1 平行线夹花架，由对应边成比例求 CE；拔 2 甲乙观点判断——等距外扩的三角形三边仍平行（AA 相似），矩形等距外扩后邻边比改变不相似； ◆ 拔 3 练填空压轴：矩形沿对角线平移，由题给等角发现两组相似，设 r＝AD∶CD 建立比例求 AH；拔 4 选择压轴：锐角三角形内接正方形，设边长 x，由两次 AA 相似相加列比例解得； ◆ 拔 5—拔 8 练解答压轴：拔 5 由两边成比例且夹角相等证相似得等角，推出等腰后用 AA 相似求 AP；拔 6—拔 8 为证明链——对顶角＋平行（盱眙）、等角＋直角（杨浦）、等腰＋对顶角（庐江），按“认依据、写对应、写依据”三步规范书写。 拔高 1　选择题 （2025·浙江期中）如图是放置在水平地面上的一个花架，用来摆放花草．花架的一层由三条互相平行的横杆AB、CD、EF构成（AB、CD、EF均在竖直平面内），两条支杆AC、BF相交于点O，测得AC＝30cm，BD∶DF＝3∶4，则CE的长为（　　） A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm 拔高 2　选择题 （2026·南湖期末）在研究相似问题时，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似； 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 拔高 3　填空题（嵌空） （2026·龙湾二模）将矩形ABCD沿其对角线AC所在的方向向右平移得到矩形EFGH（A，B，C，D的对应点分别为E，F，G，H），边CD、EH分别与边BC、EF相交于点M、N，连结AH，AH与CD相交于点K．若AE＝2，EO＝1（O为矩形ABCD对角线的交点），∠DAH＝∠ACD，则AH的长为______。 拔高 4　选择题 （2026·深圳模拟）一块三角形材料如图所示，BC＝120mm，高AD＝80mm，工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，另外两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　） A.40mm B.48mm C.60mm D.64mm 拔高 5　解答题 （2026·白银期末）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为A，DP⊥BC，垂足为P，且 ＝． (1)求证：△APB∽△DPC； (2)如果AB＝3，AD＝1，求AP的长． 拔高 6　解答题 （2025·盱眙县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点F，∠ADB＝∠ACB． (1)求证：∠ABD＝∠ACD； (2)过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：EF·BC＝AD·AF． 拔高 7　解答题 （2025·杨浦区二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAE＝∠DAF，射线AG交边CD于点F，与BC的延长线交于点G，射线AH交边BC于点E，与DC的延长线交于点H． (1)求证：DF·CD＝BE·BC； (2)连结EF、HG，若EF∥HG，求证：四边形ABCD是正方形． 拔高 8　解答题 （2025·庐江县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且CD＝CB，过点A作AE⊥CD，与CD的延长线交于点E．求证：△ADE∽△ABC． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 公共角＋添加条件辨析（AA、SAS） 例 2 公共角＋添加条件辨析（反例） 例 3 开放条件：直角＋再添一组角或夹边比 例 4 平行线同位角＋AA＋对应边求垂线段比 例 5 四条件选择：积化比＋SAS 例 6 网格作图：三边成比例＋最小格点讨论 变式 1 公共角＋添加条件辨析 变式 2 四边形中添加条件辨析（夹角识别） 变式 3 分类讨论：截两边找相似点 变式 4 三边成比例设参数 变式 5 AA＋勾股＋一元二次方程两解 变式 6 AA相似求边＋勾股＋面积 变式 7 双直角＋公共角测高（单位换算） 变式 8 直角双角相似＋比例式＋勾股 变式 9 光学反射建模：AA＋相似列方程 变式 10 内角和＋对应角 拔高 1 平行线分线段成比例 拔高 2 说理判断：角不变相似与边比变化 拔高 3 平移性质＋两步相似＋方程求AH 拔高 4 内接正方形：相似比＝高之比 拔高 5 SAS相似＋等腰＋AA求线段 拔高 6 对顶角＋两步相似证等积式 拔高 7 矩形＋全等推出正方形 拔高 8 等腰＋对顶角证相似 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：见平行直接写相似；判定先看角——两角相等用 AA；再看边——两边成比例看夹角用 SAS，三边成比例用 SSS；公共角、对顶角是白送的角，添加条件优先补角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第三章 考点 4｜相似三角形的判定 ——第 3 章〈图形的相似〉考点 4—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·相似三角形的判定·AA·SAS·SSS·平行线·添加条件与模型 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，全部选自 2025—2026 年全国各地各级各类考试（期中、期末、月考、一模、二模、开学考等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；题面数值与设问未作改动；带图题共 23 道（仅变式 4 为无图题），题图均取自原卷原图，严禁自绘； 全卷按例题、变式、拔高三组编排，每组内部均按选择、填空、解答的顺序排列，且每组都含有一定数量的带图题：例题组（2 选＋2 填＋2 解，全部带图）、变式组（4 选＋3 填＋3 解，9 道带图）、拔高组（3 选＋1 填＋4 解，全部带图）； 本考点是期中卷解答题的必考板块：平行线找相似、AA 添加条件、SAS 与 SSS 判定、网格作图与测量应用反复出现——先认准判定依据，再按对应书写，是本资料的训练主线； 每题按答案、解析、详解三段式编排，详解段按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式；部分题目的题面符号由原卷公式图还原（衢江、白银），个别填空为开放性答案（观山湖、金华网格），均已标注待教师复核； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； 本资料所有题目的解法都严格限定在本考点范围内：只用相似三角形的判定（平行于三角形一边的截线、两角分别对应相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）、相似三角形的对应关系、勾股定理与一元二次方程，不使用任何后续考点的方法（命题边界见考法速览后的说明）； 本考点与第三章考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线判定选择——看清已知哪几组量，选 AA、SAS 还是 SSS；二线平行与模型——平行截线、公共角、对顶角、双垂直是隐藏的角相等；三线添加条件与作图——逆向补条件、网格中构造相似三角形。 PART 01 本考点知识点总结（与第三章考点速览保持一致） 考点范围：相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似；两角分别对应相等的两三角形相似；两边成比例且夹角相等的两三角形相似；三边成比例的两三角形相似；判定依据的选择与添加条件；网格作图与测量应用）。 一、平行截线与判定引理——见平行就写相似 ◆ 判定引理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似——DE∥BC 时，△ADE 与△ABC 的对应角全部由平行关系得到，直接由引理写相似，不必再验边。 ◆ 两大基本模型：A 字型（DE∥BC 于△ABC 内）与 8 字型（对顶角＋两双边平行）；找对应时先抓平行线，平行线截得的对应边按“上对上、下对下、斜对斜”书写。 二、两角分别对应相等（AA）——最常用的判定 ◆ AA 判定：两角分别对应相等的两个三角形相似；公共角、对顶角是图中现成的相等角，再补一个角相等即可——添加条件类题目优先补角，不要上来就补边。 ◆ 隐藏的相等角：公共角（同顶点共边型，即母子型 △ACD 与△ACB 的∠A）、对顶角（8 字型）、双垂直得同角的余角（CD⊥AB 于 D 时，∠ACD＝∠B 都与∠A 互余）。 三、两边成比例且夹角相等（SAS）——夹角必须对应 ◆ SAS 判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似——成比例的两条边的夹角必须是对应角；公共角两侧的对应边成比例（AD∶AC＝AE∶AB 型）是最常见的落点。 相似三角形·判定·模型速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 平行截线 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 DE∥BC，直接写 △ADE∽△ABC 把平行线截得的对应边写反 AA 判定 两角分别对应相等，两三角形相似；公共角、对顶角是现成的角 添加条件题优先补一个角 只证一角相等就下结论 SAS 判定 两边成比例且夹角相等；夹角必须是对应角的夹角 公共角两边对应成比例 两边成比例但夹角不对应 SSS 判定 三边对应成比例，两三角形相似；三边比要按对应顺序写 三边比 3∶4∶5 型判断 对应顺序错位比值错 公共角模型 A 字型、8 字型（对顶角＋平行）、双垂直（同角余角） 母子型 △ACD 与 △ACB 公共角 ∠A 对顶角误当公共角使用 网格与测量 格点三角形比三边；测高用标杆与视线构造相似 网格作图、偃矩测高 数格只数边长不验三边比 ◆ 化比为积：把比例式交叉相乘转化为乘积式（AD·AB＝AE·AC 型），再代入数值求边——乘积式与比例式是同一关系的两种写法，证明时按书写顺序选一种。 四、三边成比例（SSS）与判定选择——按图索骥 ◆ SSS 判定：三边对应成比例的两个三角形相似；网格题先算三条边的平方（都是勾股数型），三组比统一后才下结论。 ◆ 判定选择：已知一组角相等——再补一角用 AA；已知两边成比例——找它们的夹角用 SAS；已知三边长或三边比——直接 SSS；见平行线——直接用引理。 ◆ 分类讨论：点在边上取几处能得到相似（如 DE 截两边与△ABC 相似），要按“DE∥BC 平行型”与“对应边成比例型”两种可能分别求点，两个解都有效时答两处。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 相似三角形的判定是第三章的核心、也是期中卷解答题的必考板块：上承考点 2 的相似多边形，下启相似三角形的性质与应用；选择填空考“添加条件与不能判定”、解答考“证明相似＋求边”，网格作图与测高应用作为压轴情境反复出现； 判定依据的选择是全考点的心脏：先数已知几组量——一组角相等再补一角（AA）、两边成比例找夹角（SAS）、三边成比例直接（SSS）、见平行直接引理；“先认依据、再按对应书写”是第一习惯，证明题书写顺序与对应字母一一对齐。 答题方法（三步法） 第一步·认依据：看清题目给了什么——平行线（引理）、一组角（再补一角用 AA）、两边成比例（找夹角用 SAS）、三边长或三边比（SSS）；添加条件题先排除不能判定的选项； 第二步·写对应：把两个三角形的顶点按对应顺序对齐，相似符号∽两侧字母一一对位（△ABC∽△AED 即 A 对 A、B 对 E、C 对 D），对应角、对应边照字母顺序翻译，不许错位； 第三步·验与答：证明题每一步写明依据（AA／SAS／SSS／引理）；求边题由相似列比例式或乘积式，代入数值解出；网格与开放题检查所作图形三边比是否统一、答案是否满足所有条件。 注意事项（易错警示） 两边成比例但夹角不对应就下结论是第一错点：SAS 的夹角必须是对应角的夹角，“第三边”的比配上公共角不能判定相似——添加条件类选择题的高频陷阱； 对应字母错位是第二错点：△ABC∽△AED 中 B 与 E 对应、C 与 D 对应，写比例式时照字母顺序翻译；公共角写成“对顶角”、对顶角当成“公共角”都是表述错误； 分类讨论不可漏解：DE 截两边与原三角形相似的取点题，平行型与成比例型都要算；两个解都有效时答两处；网格作图先算三边平方，三组比统一才能下结论，不要只看形状像。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 添加条件判断 排除不能判定的条件，补角优先 仍不能判定的是／可添加的条件 ★☆ 平行截线 引理直接用，对应边按平行找 由 AB∥CD 求垂线段之比、边之比 ★★☆ 判定依据选择 AA／SAS／SSS 按已知量选用 给出条件组合，判断能否相似 ★★☆ 证明相似 公共角＋等角，书写判定依据 证明两三角形相似 ★★★ 相似求边 列比例式或乘积式解边 证相似后求线段长 ★★★ 网格与测量 算三边平方比；标杆视线构相似 网格作图、偃矩测高、光学测量 ★★★ 命题边界：本资料所有题目与详解都严格限定在本考点范围内——只用相似三角形的判定（平行截线、AA、SAS、SSS）与判定引理、勾股定理、一元二次方程；不使用相似三角形的性质（对应高、周长比、面积比，属考点 5）、位似（属考点 6）、黄金分割（属考点 1）与三角函数（九下）等本考点外内容。素材选自 2025—2026 年全国各地各级各类考试。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：添加条件不能判定型（选择）→ 添加条件不能判定型（选择）→ 直角添加条件开放填空（填空·嵌空）→ 平行截线求垂线段之比（填空·嵌空）→ 四条件选择判定证明（解答）→ 网格作图构造相似（解答）——先辨判定依据、再补条件、后综合运用，逐级递进。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 教添加条件的辨析：已知∠1＝∠2 即一组公共角相等，选项中“两角相等（AA）”与“公共角两侧对应边成比例（SAS）”都能判定，“第三边之比”不能判定——排除法锁定答案； ◆ 例 3 教直角添加条件（填空·嵌空）：一组直角相等已具备，再补一个锐角相等（AA）或直角边对应成比例（SAS）即可，答案不唯一； ◆ 例 4 教平行截线求垂线段之比（填空·嵌空）：AB∥CD 得内错角相等，△ABF∽△DCG（AA），由对应边成比例得 AF∶DG＝AB∶CD＝2∶3； ◆ 例 5 教四条件选择判定（解答）：①②③都能判定（∠AED＝∠B 用 AA、∠BDE＋∠C＝180°转化为∠ADE＝∠C、AD·AB＝AE·AC 化比为积用 SAS），④两边不夹公共角不能判定； ◆ 例 6 教网格作图（解答）：先算原三角形三边的平方，按相似比缩小（扩大）三边，在格点上逐一构造并验证。 例 1　选择题 （2026·邛崃期末）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A.＝ B.∠B＝∠D C.∠C＝∠AED D.＝ 【答案】D 【解析】∠1＝∠2 说明∠DAE与∠BAC是同一组对应角。选项A的两组边恰好夹这组公共角，能用“两边成比例且夹角相等”判定；选项B、C各给出一组对应角，与公共角配合用“两角分别相等”判定；选项D中的两组边不夹公共角，不满足任何一个判定定理。 【详解】∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，即两三角形有一组公共角相等。 选项A：由 ＝ 变形得 ＝，且AB与AC夹∠BAC、AD与AE夹∠DAE，两边成比例且夹角相等，△ABC∽△ADE，能判定； 选项B：∠B＝∠D，加上∠DAE＝∠BAC，两角分别相等，能判定； 选项C：∠C＝∠AED，加上∠DAE＝∠BAC，两角分别相等，能判定； 选项D：AB与AD、BC与DE这两组边不夹公共角∠BAC（∠DAE），不构成“夹角两边对应成比例”，三个判定定理均不满足，无法判定。 故选D。 例 2　选择题 （2025·长兴月考）如图，已知∠1＝∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A.∠C＝∠E B.∠B＝∠D C.＝ D.＝ 【答案】C 【解析】与例1同构反考：∠1＝∠2 给出公共角∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E、∠B＝∠D 都是“再添一角”用两角分别相等判定；D 中 AB 与 AD、AC 与 AE 恰好夹公共角，用两边成比例且夹角相等判定；只有 C 的两组边不夹公共角，不能判定。 【详解】∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，△ABC与△ADE已有一组公共角相等。 选项A：∠C＝∠E，加上公共角，两角分别相等，△ABC∽△ADE，能判定； 选项B：∠B＝∠D，加上公共角，两角分别相等，能判定； 选项D：＝，AB与AD、AC与AE分别夹公共角∠BAC、∠DAE，两边成比例且夹角相等，能判定； 选项C：AB与AD、BC与DE不夹公共角，“两边成比例”缺少对应的夹角相等，无法判定。 故选C。 例 3　填空题（嵌空） （2025·观山湖月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边BC的延长线上，过点D作DE⊥BD，连接CE，请添加一个条件：___∠ACB＝∠CED___（不添加字母及辅助线），使△ABC∽△CDE．（写出一个即可） 【答案】∠ACB＝∠CED（答案不唯一，添加∠BAC＝∠DEC 或 AB∶DE＝BC∶CD 等亦可） 【解析】∠B＝90° 与 DE⊥BD 已经给出∠ABC＝∠CDE＝90°，所以只差一组角或夹直角的两边成比例。任意补一组对应角（或夹直角两边的比）即可，属于条件开放题。 【详解】∵∠B＝90°，DE⊥BD，∴∠CDE＝90°，即∠ABC＝∠CDE。 添加∠ACB＝∠CED时： ∵∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠CED， ∴△ABC∽△CDE（两角分别相等的两三角形相似）。 （若添加AB∶DE＝BC∶CD，则夹∠B与∠D两组直角的两边成比例，由两边成比例且夹角相等同样可判定相似。） 例 4　填空题（嵌空） （2026·辽宁）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G．若AB＝10，CD＝15，则 的值为______。 【答案】 【解析】AF⊥BC、DG⊥BC 给出两个直角；AB∥CD 借截线BC得同位角相等，△ABF与△DCG两角分别相等而相似，再由对应边成比例直接得垂线段之比。全程只用“判定＋对应边”，无须引入对应高的性质。 【详解】∵AF⊥BC，DG⊥BC，∴∠AFB＝∠DGC＝90°。 ∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠DCG（两直线平行，同位角相等）。 ∴△ABF∽△DCG（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝（相似三角形的对应边成比例）。 即 ＝＝。 例 5　解答题 （2026·临平月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结DE．有以下四个条件：①∠AED＝∠B；②∠BDE＋∠C＝180°；③AD·AB＝AE·AC；④＝． (1)请你从中任选一个条件，使得△ABC∽△AED，并说明理由； (2)在(1)的前提下，若E为AC中点，AE＝2AD＝6，求线段AB的长． 【答案】(1)选条件③（①②亦可，④不能），理由见详解；(2)AB＝24。 【解析】∠DAE与∠BAC是公共角。①∠AED＝∠B再添一角，用两角分别相等；②∠BDE＋∠C＝180°转化为∠ADE＝∠C后同①；③化“积”为“比”得两边夹公共角成比例，用两边成比例且夹角相等；④两边不夹公共角，不能判定。第(2)问直接用③的等积式代入。 【详解】(1)选择条件③： ∵AD·AB＝AE·AC，∴＝，即 ＝。 又∵∠DAE＝∠CAB（公共角）， ∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两三角形相似）。 (2)∵AE＝2AD＝6，∴AD＝3，AE＝6。 ∵E为AC中点，∴AC＝2AE＝12。 由AD·AB＝AE·AC，得 AB＝＝＝24。 例 6　解答题 （2025·金华开学考）在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC，相似比为1∶2，且各顶点都在格点上； (2)在图2的网格中作出与△ABC相似的最小格点三角形（各顶点都在格点上）． 【答案】(1)取格点使B′C′为2格水平线段、A′在其上方1格处（作图见详解）；(2)相似比最小为1，取格点F、G、H使FG、GH、FH分别等于BC、AC、AB（作图见详解）。 【解析】图1是等腰直角三角形（BC＝4，AB＝AC＝2），相似比1∶2即各边取原的一半：B′C′＝2、A′B′＝A′C′＝。图2三边长的平方为13、10、5，由勾股定理在格点上数格子即可找到三边分别对应相等的格点三角形——相似比1∶1就是最小的格点相似三角形。 【详解】(1)图1中，由勾股定理数格子得BC＝4，AB＝AC＝2。 相似比为1∶2，故新三角形各边应为 B′C′＝2、A′B′＝A′C′＝。 作法：在网格中取B′C′为2格长的水平线段，取A′为B′C′中点上方1格处的格点，则 A′B′＝A′C′＝＝。 ∵＝＝＝， ∴△A′B′C′∽△ABC（三边成比例的两三角形相似），各顶点均为格点，满足要求。 (2)图2中，由勾股定理数格子得 AB＝，BC＝，AC＝。 作法：取格点F、G、H，使 FG＝（横3格竖1格），GH＝（横1格竖2格），FH＝（横2格竖3格）。 此时 ＝＝＝1，△FGH∽△CBA（三边成比例），且相似比为1。 若相似比小于1，则新三角形最短边长的平方只能取1、2或4，而三边平方之比须为13∶10∶5，均无法同时满足（如 倍、 倍、 倍代入最长边平方都不是整数平方和），故相似比最小为1。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1—变 4 练选择四型：变 1 公共角模型不能判定型——两边成比例但夹角不对应；变 2 弦图角条件逐项验证；变 3 分类讨论数点——平行型与成比例型都算；变 4 三边比设 k 求边； ◆ 变 5—变 7 练填空三型（横线红色答案自测）：变 5 正方形折叠构造，设未知数列一元二次方程，两根都有效；变 6 直角三角形相似求面积所需的边，先由相似求 BE；变 7 测高应用，标杆视线构造相似列比例式； ◆ 变 8—变 10 练解答三型：变 8 角平分线＋双垂直证相似再求边；变 9 光学测量（平面镜反射构造对称角）证相似求距离；变 10 相似三角形的对应角与内角和：由对应角相等、内角和 180°求∠F。 变式 1　选择题 （2026·南湖期末）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，添加下列条件，不能判定△ABC∽△ACD的是（　　） A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.＝ D.＝ 【答案】C 【解析】△ABC与△ACD共用∠A。A、B都是“再添一组对应角”；D中AC与AB、AC与AD恰好夹公共角，两边成比例且夹角相等能判定；C中两组边所夹的角是∠ADC与∠ACB，未知是否相等，不能判定。 【详解】∵∠BAC＝∠CAD（公共角）， 选项A：∠ACD＝∠B，与公共角配合，两角分别相等，能判定△ABC∽△ACD； 选项B：∠ADC＝∠ACB，同理能判定； 选项D：＝，即AB与AC夹∠BAC、AD与AC夹∠DAC（同一个角），两边成比例且夹角相等，能判定； 选项C：＝ 中AD与CD夹∠ADC、AC与BC夹∠ACB，题目没有给出这两个角相等，两边成比例缺少夹角相等，无法判定。 故选C。 变式 2　选择题 （2025·金华期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　） A.＝ B.＝ C.CA平分∠BCD D.∠DAC＝∠ABC 【答案】A 【解析】已有∠ADC＝∠BAC。B中AD与AB、CD与AC所夹的角恰好是这两个等角，用两边成比例且夹角相等；C由角平分线再得一组对应角；D直接再给一组对应角；A中两组边所夹的角是∠ACD与∠BCA，与已知等角无关，不能判定。 【详解】∵∠ADC＝∠BAC， 选项B：＝，且AD与CD夹∠ADC、AB与AC夹∠BAC，两组等角恰为夹角，两边成比例且夹角相等，能判定； 选项C：CA平分∠BCD，得∠DCA＝∠ACB，与∠ADC＝∠BAC配合，两角分别相等，能判定； 选项D：∠DAC＝∠ABC，与∠ADC＝∠BAC配合，两角分别相等，能判定； 选项A：＝ 中AC与CD夹∠ACD、BC与AC夹∠BCA，这两个角是否相等未知，已知的∠ADC＝∠BAC并非这两组边的夹角，无法判定。 故选A。 变式 3　选择题 （2026·玉田期末）△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AB上，AD＝5，点E在△ABC的边上，若直线DE截△ABC两边所得的三角形与△ABC相似，则这样的点E有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】过D的直线已截AB，只能再截AC或BC。截AC时△ADE与△ABC有公共角∠A，可平行于BC或再作一组角；截BC时△DBE与△ABC有公共角∠B，同理讨论。逐一验证存在性即得3个。 【详解】∵D在AB上，AD＝5，AB＝8，∴DB＝3。 ①E在AC上且DE∥BC：∠ADE＝∠B，∠A为公共角，△ADE∽△ABC，此时 ＝＝，AE＝＜6，存在； ②E在AC上且∠ADE＝∠C：∠A为公共角，△ADE∽△ACB，此时 ＝，AE＝＝＞6，超出AC，不存在； ③E在BC上且DE∥AC：∠BDE＝∠A，∠B为公共角，△DBE∽△ABC，此时 ＝＝，BE＝＜7，存在； ④E在BC上且∠BDE＝∠C：∠B为公共角，△DBE∽△BCA，此时 ＝，BE＝＝＜7，存在。 综上，满足条件的点E共有3个，故选C。 变式 4　选择题 （2026·扶绥期中）若一个三角形的三边长之比为3∶5∶7，最长边长为21cm，则其余两边长的和为（　　） A.24cm B.21cm C.19cm D.9cm 【答案】A 【解析】三边之比3∶5∶7共15份，最长边7份对应21cm，先求每份长，再求其余两边之和。本题不依赖图形，是“三边成比例”判定思想的数值化应用。 【详解】设三边长分别为3x、5x、7x。 ∵最长边为21cm，∴7x＝21，解得x＝3。 ∴其余两边长分别为3x＝9cm，5x＝15cm。 ∴其余两边长的和为9＋15＝24（cm）。 故选A。 变式 5　填空题（嵌空） （2026·衢江模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC延长线上一点，连接PA、PD；过点D作ED⊥PD交PA于点E．当PE＝3AE时，则PC的长为______。 【答案】 或 【解析】设PC＝x，利用“PE＝3AE”把AE、PE都用AP表示，再由ED⊥PD在Rt△PDE中用勾股定理列方程。辅助线：过E作EM⊥AB于M、EQ∥BC交CD于Q，把DE、PD、PE全部用x表示后化简得一元二次方程。 【详解】设PC＝x（x＞0），则PB＝1＋x。 在Rt△ABP中，AP＝＝。 过点E作EM⊥AB于点M，∵EM∥PB，△AEM∽△APB（∠AME＝∠ABP＝90°，∠A为公共角）， ∴＝＝。 ∵PE＝3AE，∴AP＝AE＋PE＝4AE，即 ＝， ∴EM＝PB＝，AM＝AB＝。 过点E作EQ∥BC交CD于点Q，则DQ＝AM＝，EQ＝PB−EM＝(1＋x)−＝。 在Rt△DEQ中，DE²＝DQ²＋EQ²＝()²＋()²。 在Rt△DCP中，DP²＝DC²＋PC²＝1＋x²。 ∵ED⊥PD，∴∠PDE＝90°，PE²＝PD²＋DE²。 又PE＝AP，故 ()²[1＋(1＋x)²]＝(1＋x²)＋()[1＋9(1＋x)²]。 展开化简得 16x²－48x＋16＝0，即 x²－3x＋1＝0。 解得 x＝ 或 x＝，两解均使P在BC延长线上且E在PA上，均符合题意。 变式 6　填空题（嵌空） （2025·朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为______。 【答案】 【解析】矩形对边相等得CD＝AB＝5。CE⊥BD给出双直角：∠CED＝∠BCD＝90°，加上公共角∠CDE（即∠CDB），△CDE∽△BCD，由对应边成比例先求BC，再回到Rt△BCE中用勾股定理求BE。 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝5。 ∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠CEB＝90°，又∠CDB为公共角（∠CDE＝∠CDB）， ∴△CDE∽△BCD（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 ＝。 设BC＝a，则BD＝，代入得 3＝5a， 两边平方：9(a²＋25)＝25a²，解得 a²＝，a＝（取正值）。 在Rt△BCE中，BE＝＝＝＝。 ∴S△BCE＝·BE·CE＝××3＝。 变式 7　填空题（嵌空） （2026·莲池期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，∠ABC＝∠AEF＝90°，AF与BC相交于点D．测得AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m，则树高EF是___3___m。 【答案】3 【解析】双直角加公共角∠A：△ABD与△AEF两角分别相等而相似，用对应边成比例把“矩”的已知边换算成树高。注意单位统一：AB＝60cm，BD＝20cm。 【详解】∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAF（公共角）， ∴△ABD∽△AEF（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝（相似三角形的对应边成比例）。 ∵AB＝60cm，BD＝20cm，AE＝9m＝900cm， ∴EF＝＝＝300cm＝3m。 即树高EF是3m。 变式 8　解答题 （2026·海曙期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，分别交CB、CD于点E和点F． (1)求证：△ACF∽△ABE； (2)若AC＝6，＝，求BC的长． 【答案】(1)证明见详解；(2)BC＝8。 【解析】(1)直角三角形斜边上的高CD⊥AB，把∠ACB与∠B都表示为∠CAB的余角，得∠ACD＝∠B；AE是角平分线，∠CAE＝∠BAE，两组对应角齐备用“两角分别相等”。(2)由(1)的相似得对应边成比例求AB，再回到Rt△ABC用勾股定理。 【详解】(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＋∠DCB＝90°，∠B＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B。 ∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，即∠CAF＝∠BAE。 ∴△ACF∽△ABE（两角分别相等的两三角形相似）。 (2)由(1)得 ＝＝。 ∵AC＝6，∴AB＝10。 在Rt△ABC中，BC＝＝＝＝8。 变式 9　解答题 （2025·青白江期末）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝4.6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求反射点B到木板的距离（即BC的长）； (2)求灯泡到地面的高度AG． 【答案】(1)BC＝3m；(2)AG＝0.8m。 【解析】(1)反射光线B→F→E是同一直线，B、C、D共线且CF⊥BD、DE⊥BD，△BCF与△BDE双直角加公共角（∠CBF与∠DBE是同一直线与水平线的夹角），两角分别相等得相似。(2)反射中入射角等于反射角，作B处的法线（竖直线），得入射光线GB与反射光线BE与水平面的夹角相等，构造Rt△ABG与Rt△DBE相似求解。 【详解】(1)设BC＝x m，则BD＝BC＋CD＝(x＋4)m。 ∵CF⊥BD，DE⊥BD，∴∠BCF＝∠BDE＝90°。 ∵B、F、E在同一条直线上，∴∠CBF＝∠DBE（同一直线与水平线BD的夹角）。 ∴△BCF∽△BDE（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 ＝。 解得 3.5x＝1.5x＋6，即 2x＝6，x＝3。 ∴BC＝3m。 (2)过点B作水平线BD的垂线（法线方向），由反射角等于入射角， 得入射光线GB与水平面的夹角等于反射光线BE与水平面的夹角， 即∠GBA＝∠EBD（等角的余角相等，其中∠ABD＝180°）。 ∵AG⊥AB，DE⊥BD，∴∠GAB＝∠EDB＝90°。 ∴△ABG∽△DBE（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝。 ∵AB＝AC－BC＝4.6－3＝1.6，BD＝BC＋CD＝3＋4＝7，DE＝3.5， ∴AG＝＝＝＝0.8。 ∴灯泡到地面的高度AG为0.8m。 变式 10　解答题 （2025·温州期末）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝110°，∠B＝30°．求∠F的度数． 【答案】∠F＝40° 【解析】先由三角形内角和求∠C，再由相似三角形的对应角相等确定∠C的对应角。关键在“认对应”：△ABC∽△DEF 中A↔D、B↔E、C↔F，故∠F＝∠C。 【详解】在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 ∴∠C＝180°－110°－30°＝40°。 ∵△ABC∽△DEF，∴∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。 ∴∠F＝∠C（相似三角形的对应角相等）。 ∴∠F＝40°。 PART 05 拔高巩固（8 题） 相似三角形的判定 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1、拔 2 练图上判定与观点辨析：拔 1 平行线夹花架，由对应边成比例求 CE；拔 2 甲乙观点判断——等距外扩的三角形三边仍平行（AA 相似），矩形等距外扩后邻边比改变不相似； ◆ 拔 3 练填空压轴：矩形沿对角线平移，由题给等角发现两组相似，设 r＝AD∶CD 建立比例求 AH；拔 4 选择压轴：锐角三角形内接正方形，设边长 x，由两次 AA 相似相加列比例解得； ◆ 拔 5—拔 8 练解答压轴：拔 5 由两边成比例且夹角相等证相似得等角，推出等腰后用 AA 相似求 AP；拔 6—拔 8 为证明链——对顶角＋平行（盱眙）、等角＋直角（杨浦）、等腰＋对顶角（庐江），按“认依据、写对应、写依据”三步规范书写。 拔高 1　选择题 （2025·浙江期中）如图是放置在水平地面上的一个花架，用来摆放花草．花架的一层由三条互相平行的横杆AB、CD、EF构成（AB、CD、EF均在竖直平面内），两条支杆AC、BF相交于点O，测得AC＝30cm，BD∶DF＝3∶4，则CE的长为（　　） A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm 【答案】B 【解析】三条平行横杆截两条支杆，用平行线分线段成比例：AC∶CE＝BD∶DF，把CE直接解出来。这是“平行截相似”最直接的度量应用。 【详解】∵花架的三条横杆AB、CD、EF互相平行， ∴AC∶CE＝BD∶DF（平行线分线段成比例）。 即 ＝。 ∴CE＝＝40（cm）。 故选B。 拔高 2　选择题 （2026·南湖期末）在研究相似问题时，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似； 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 【答案】A 【解析】三角形按对应边间距1向外扩张，各边保持互相平行，对应角不变，故新三角形与原三角形相似；矩形向外扩张间距1后长为5＋1＋1＝7、宽为3＋1＋1＝5，两组邻边比不相等，不相似。两人判断都正确。 【详解】甲的判断：新三角形的各边与原三角形的对应边分别平行， ∴新三角形与原三角形的各角分别相等， ∴新三角形与原三角形相似（两角分别相等的两三角形相似），甲对； 乙的判断：新矩形的长为5＋1＋1＝7，宽为3＋1＋1＝5， ∵≠，∴新矩形与原矩形的对应边不成比例，不相似，乙对。 ∴两人都对，故选A。 拔高 3　填空题（嵌空） （2026·龙湾二模）将矩形ABCD沿其对角线AC所在的方向向右平移得到矩形EFGH（A，B，C，D的对应点分别为E，F，G，H），边CD、EH分别与边BC、EF相交于点M、N，连结AH，AH与CD相交于点K．若AE＝2，EO＝1（O为矩形ABCD对角线的交点），∠DAH＝∠ACD，则AH的长为___4___。 【答案】4 【解析】平移沿对角线方向 → E、O、A 共线，先求AC＝6。设AD∶CD＝r，△ADK与△CDA有直角和已知等角而相似，得AK＝6r；再用平移性质（DH∥AE、DH＝AE＝2、EH＝AD）证△DHK∽△HAE，把KH用r表示，用相似对应边列方程求r。 【详解】∵平移沿对角线AC方向进行，∴E在AC上。 ∵AE＝2，EO＝1，∴AO＝AE＋EO＝3。 ∵O为对角线交点，∴AC＝2AO＝6。 设 ＝r。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，即∠CDA＝90°，又∠ADK＝∠CDA＝90°（K在CD上）， 且∠DAK＝∠DAH＝∠ACD＝∠DCA， ∴△ADK∽△CDA（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝＝r，∴AK＝6r；＝r，∴DK＝r·AD。 由平移的性质：DH∥AE，DH＝AE＝2；EH∥AD，EH＝AD。 ∵∠DHK＝∠HAE（两直线平行，同位角相等，其中HK与HA共线）， ∠DKH＝180°－∠AKD＝180°－∠CAD（相似三角形的对应角相等）， ∠HEA＝180°－∠DAC（两直线平行，同旁内角互补，EH∥AD）， 而∠CAD＝∠DAC（同一个角），∴∠DKH＝∠HEA。 ∴△DHK∽△HAE（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 ＝，∴HK＝2r。 ∴AH＝AK＋KH＝6r＋2r＝8r。 又 ＝，∴HK·HA＝DH·AE＝2×2＝4， 即 2r·8r＝4，解得 r＝（取正值）。 ∴AH＝8r＝4。 拔高 4　选择题 （2026·深圳模拟）一块三角形材料如图所示，BC＝120mm，高AD＝80mm，工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，另外两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　） A.40mm B.48mm C.60mm D.64mm 【答案】B 【解析】正方形上边平行于BC，截出的顶端小三角形与△ABC相似，相似比等于“上边到A的高”与“AD”之比，设边长为x即可列比例式求解。 【详解】设正方形的边长为xmm，正方形的一边为PQ（P在AB上，Q在AC上）， 则PQ∥BC，且PQ＝x，AP＝AQ边上的对应高为(80－x)mm。 ∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）， ∴△APQ∽△ABC（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 ＝。 解得 80x＝120(80－x)，200x＝9600，x＝48。 ∴正方形零件的边长为48mm，故选B。 拔高 5　解答题 （2026·白银期末）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为A，DP⊥BC，垂足为P，且 ＝． (1)求证：△APB∽△DPC； (2)如果AB＝3，AD＝1，求AP的长． 【答案】(1)证明见详解；(2)AP＝。 【解析】(1)两组双垂直给出一对直角，把已知的比例式交叉变形后发现恰好夹这对直角，用两边成比例且夹角相等。(2)由(1)的相似得∠B＝∠C，推出AB＝AC；再由垂直关系算出∠APD＝∠C，配合公共角证△APD∽△ACP，用对应边列方程。 【详解】(1)∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠PAB＝∠DPC＝90°。 ∵ ＝，∴ ＝。 ∴△APB∽△DPC（两边成比例且夹角相等的两三角形相似）。 (2)由(1)得∠ABP＝∠DCP，即∠B＝∠C。 ∴AB＝AC＝3（等角对等边）。 又∵AD＝1，∠BAP＝∠PDC＝90°， ∠APB＝180°－90°－∠B＝90°－∠B，∠APC＝180°－∠APB＝90°＋∠B， ∠APD＝∠APC－∠DPC＝(90°＋∠B)－90°＝∠B＝∠C。 又∠PAD＝∠CAP（D在AC上，公共角）， ∴△APD∽△ACP（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 AP²＝AD·AC＝1×3＝3。 ∴AP＝。 拔高 6　解答题 （2025·盱眙县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点F，∠ADB＝∠ACB． (1)求证：∠ABD＝∠ACD； (2)过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：EF·BC＝AD·AF． 【答案】(1)(2)证明见详解。 【解析】(1)已知角加对顶角先证△ADF∽△BCF，把比例式变形后再用一次“两边成比例且夹角相等”证△AFB∽△DFC。(2)AE∥DC造同位角，配对顶角证△AFE∽△CFD，把第(1)问与第(2)问的比例式串联起来即得等积式。 【详解】(1)∵∠ADB＝∠ACB，∠AFD＝∠BFC（对顶角相等）， ∴△ADF∽△BCF（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即 ＝。 又∠AFB＝∠DFC（对顶角相等）， ∴△AFB∽△DFC（两边成比例且夹角相等的两三角形相似）。 ∴∠ABF＝∠DCF，即∠ABD＝∠ACD。 (2)∵AE∥DC，∴∠AEF＝∠CDF（两直线平行，同位角相等）。 又∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）， ∴△AFE∽△CFD（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，变形得 ＝。 由(1)中△ADF∽△BCF，得 ＝。 ∴＝，∴EF·BC＝AD·AF。 拔高 7　解答题 （2025·杨浦区二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAE＝∠DAF，射线AG交边CD于点F，与BC的延长线交于点G，射线AH交边BC于点E，与DC的延长线交于点H． (1)求证：DF·CD＝BE·BC； (2)连结EF、HG，若EF∥HG，求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】(1)(2)证明见详解。 【解析】(1)矩形给双直角和∠BAE＝∠DAF，△BAE∽△DAF，对应边成比例后用矩形的对边相等换边。(2)EF∥HG配对顶角证△ECF∽△GCH；(1)的相似角配对顶角证△ECH∽△FCG，两组比例式联立推出CE＝CF、CG＝CH；再证△EAG≌△FAH得AE＝AF，回到(1)的相似比等于1，得AB＝AD。 【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°。 又∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即BE·AD＝DF·AB。 ∵AD＝BC，AB＝CD（矩形对边相等）， ∴BE·BC＝DF·CD，即DF·CD＝BE·BC。 (2)∵EF∥HG，∴∠CEF＝∠CGH，∠ECF＝∠GCH（对顶角相等）， ∴△ECF∽△GCH（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝。 由(1)∠AEB＝∠AFD，而∠CEH＝∠AEB，∠CFG＝∠AFD（对顶角相等）， ∴∠CEH＝∠CFG，又∠ECH＝∠FCG（对顶角相等）， ∴△ECH∽△FCG（两角分别相等的两三角形相似）。 ∴＝，即CE·CG＝CH·CF。 联立两式：由 ＝ 得CE·CH＝CF·CG。 两式相除得 ＝，∴CH＝CG（均为正长）， 代回得CE＝CF。 ∵G在AF的延长线上，H在AE的延长线上，∴∠EAG＝∠FAH＝∠EAF。 ∠EGA＝∠BGA＝90°－∠BAG（AB⊥BG），∠FHA＝∠DHA＝90°－∠DAH（AD⊥DH）， ∵∠BAE＝∠DAF，∴∠BAF＝∠BAE＋∠EAF＝∠DAF＋∠FAE＝∠DAH， ∴∠EGA＝∠FHA，∴△EGA∽△FHA（两角分别相等的两三角形相似）。 又EG＝EC＋CG，FH＝FC＋CH，CE＝CF，CG＝CH，∴EG＝FH。 ∴△EGA≌△FHA（两边成比例且夹角相等中相似比为1，即两边及其夹角对应相等）， ∴AE＝AF。 由(1)＝＝1，∴AB＝AD。 ∴矩形ABCD是正方形。 拔高 8　解答题 （2025·庐江县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，且CD＝CB，过点A作AE⊥CD，与CD的延长线交于点E．求证：△ADE∽△ABC． 【答案】证明见详解。 【解析】CD＝CB得等腰三角形，底角∠CBD＝∠CDB；B、D、A共线把∠CBD还原为∠B，E、C、D共线让∠ADE与∠CDB成为对顶角，于是∠ADE＝∠B；AE⊥CD给出∠AED＝90°＝∠ACB，两组对应角齐备用两角分别相等判定。 【详解】∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB（等腰三角形的两个底角相等）。 ∵D在边AB上，∴∠CBD即∠CBA，即∠CBD＝∠B。 ∵E在CD的延长线上，B、D、A共线， ∴∠ADE与∠CDB是对顶角，∴∠ADE＝∠CDB＝∠B。 ∵AE⊥CD，∴∠AED＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠AED＝∠ACB。 ∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两三角形相似）。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 公共角＋添加条件辨析（AA、SAS） 例 2 公共角＋添加条件辨析（反例） 例 3 开放条件：直角＋再添一组角或夹边比 例 4 平行线同位角＋AA＋对应边求垂线段比 例 5 四条件选择：积化比＋SAS 例 6 网格作图：三边成比例＋最小格点讨论 变式 1 公共角＋添加条件辨析 变式 2 四边形中添加条件辨析（夹角识别） 变式 3 分类讨论：截两边找相似点 变式 4 三边成比例设参数 变式 5 AA＋勾股＋一元二次方程两解 变式 6 AA相似求边＋勾股＋面积 变式 7 双直角＋公共角测高（单位换算） 变式 8 直角双角相似＋比例式＋勾股 变式 9 光学反射建模：AA＋相似列方程 变式 10 内角和＋对应角 拔高 1 平行线分线段成比例 拔高 2 说理判断：角不变相似与边比变化 拔高 3 平移性质＋两步相似＋方程求AH 拔高 4 内接正方形：相似比＝高之比 拔高 5 SAS相似＋等腰＋AA求线段 拔高 6 对顶角＋两步相似证等积式 拔高 7 矩形＋全等推出正方形 拔高 8 等腰＋对顶角证相似 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：见平行直接写相似；判定先看角——两角相等用 AA；再看边——两边成比例看夹角用 SAS，三边成比例用 SSS；公共角、对顶角是白送的角，添加条件优先补角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $