专题07 相似三角形判定证明及性质 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题07相似三角形判定证明及性质期中复习讲义 1.理解相似三角形三个判定定理的证明思路，了解证明过程依托平行线分线段成比例定理，体会转化的几何思想；能复述判定定理内容，加深对两角相等、两边成比例夹角相等、三边成比例判定相似的理解。 2.掌握相似三角形的性质：相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方，能区分周长比与面积比的差别。 3.会利用相似三角形的性质，由相似比求线段长度、周长、面积；已知面积之比反向求出相似比，解决线段、面积相关计算。 4.能够结合判定定理与性质综合解题：先证明三角形相似，再利用相似性质计算线段、面积，规范几何证明的书写步骤。 5.厘清易错点：面积比是相似比的平方，不要直接将面积比当作相似比；找准相似三角形的对应线段，对应关系出错会导致比例式列错；判定定理证明的辅助线作法要理解原理。 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点04：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点05：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 题型一：由平行判断成比例的线段 1．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 2．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 3．在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截、所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由平行线间对应线段的部分与整体的比例相等，即成立，不符合题意； B．由平行线间对应线段成比例，即成立，不符合题意； C．由平行线间整体与整体、部分与部分的比例相等，即成立，不符合题意； D．由平行线分线段成比例可得，即不成立，符合题意． 故选D． 题型二：由平行截线求相关线段的长或比值 4．如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．如图， 直线，，， 那么____________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，分别在和中建立与、与的关系，通过中间比进行等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即选项C正确，符合题意． 题型三：利用平行判定相似 7．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案】3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 9．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四：证明三角形的对应线段成比例 10．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 11．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 12．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则(　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定△DEF∽△BAF，然后利用相似三角形的性质求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB=5 ∴△DFE∽△BFA， ∵ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 题型五：利用相似三角形的性质求解 13．已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 14．如图，，且，，则的面积是________． 【答案】24 【分析】通过相似三角形的相似比可以得出两个三角形的面积比，再根据面积比即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 16．如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先利用坐标求出与的长度得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵的面积为， ∴． 故选： D． 题型六：相似三角形的判定与性质综合 17．如图，在中，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形相似对应边成比例，得到，根据，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 18．如图，与交于点O，且，若，则__________． 【答案】/0.5 【分析】由可证，利用相似三角形对应边成比例及等比性质即可求解． 【详解】解： ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点F．已知，，，则的长为（     ） A． B．7 C． D．6 【答案】C 【分析】由角平分线得，结合已知，推出，从而，代入数值计算即可得到． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ，，， ， ． 20．如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 【答案】 【分析】过点C作交的延长线于点K，证明，得到，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交的延长线于点K， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型七：利用相似求坐标 21．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 23．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 题型八：在网格中画与已知三角形相似的三角形 24．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 25．如图，在的正方形网格中，为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为___________． 【答案】1:10 【分析】根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最小和面积最大的格点三角形，从而计算结果． 【详解】解：∵AB=2，BC=，AC=， 如图所示，△A′B′C′和△DEF分别是面积最小和面积最大的三角形． 则S△A′B′C′=，S△DEF==5， ∴图中与△ABC相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为：5=1:10， 故答案为：1:10． 【点睛】此题考查了作图-相似变换，解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解． 26．如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 题型九：相似三角形 —— 动点问题 27．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 28．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 29．如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 【答案】或 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 题型十：相似三角形实际应用 30．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 【答案】 【分析】证明得到，据此求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【答案】B 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 32．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 【答案】81米/ 【分析】由可得即，易得；同理依次求出、、、． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：； 同理：， ∴，即， ∴，解得：． 题型十一：相似三角形的综合问题 33．如图，，，，在边上取点P，使得，与两两相似，则长为___________．（结果用含的代数式表示）    【答案】或 【分析】根据△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可； 【详解】∵△PAD，△PBC都是直角三角形，△PAD，△PBC，△PDC两两相似， ∴△PDC是直角三角形， 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴，此时CD∥AB，，四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，与题意矛盾，故不存在这种情况； 当时， ∴，， ∴， 过点P作于M， ∴，，    在△PAD和△PMD中， ， ∴， ∴PA=PM， 在△PBC和△PMC中， ， ∴， ∴PB=PM， ∴， ∵， ∴； 当时， 当时， ， ∴， ∴， 在△DPC和△BPC中， ， ∴， ∴PD=PB， ∴， ∴； ∴AP的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键． 34．如图，都是等边三角形，且是以内部一点为位似中心的位似图形，已知的边长为2，的边长为1，则与之间的距离（ ）    A．等于1 B．等于 C．等于 D．随点位置的变化而变化 【答案】D 【分析】作OH⊥BC于H，交EF于G，根据相似三角形的性质得到，得到，根据题意得到答案． 【详解】如图，过点O作OH⊥BC于H，交EF于G，      ∵△ABC与△DEF都是等边三角形，是以△ABC内部一点O为位似中心的位似图形， ∴EF∥BC， ∴OH⊥EF，△OEF∽△OBC， ∴， ∴， ∴EF与BC之间的距离随点O位置的变化而变化； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念和性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 35．如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则=_____． 【答案】 【分析】根据题意，设，，由，分别得到，，进而得到，再由列式求出x的值，代入即可得到的值． 【详解】根据题意，设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或 ∴（由图可知） ∴当时， 当时，（舍） 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，熟练掌握相似的证明方法是解决本题的关键． 解答题 36．如图，在中，，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据平行线所截线段成比例可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，在四边形中，，点在边上，连接交对角线于点，交延长线于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， 又， ， 又， ， ， ； (2) 证明：， ， ，即， 两边平方得：， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定定理和性质，结合平行线分线段成比例定理进行推理证明． （1）由，得到，从而，已知，得到，证明，从而证明； （2）由，得到，，即，两边平方得：，结合已知条件，得到，再由，得到，从而证明出． 【详解】（1）略 （2）略 38．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 即， 又， ， ； (2) 【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 40．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 41．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似三角形判定证明及性质期中复习讲义 1.理解相似三角形三个判定定理的证明思路，了解证明过程依托平行线分线段成比例定理，体会转化的几何思想；能复述判定定理内容，加深对两角相等、两边成比例夹角相等、三边成比例判定相似的理解。 2.掌握相似三角形的性质：相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比都等于相似比；周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方，能区分周长比与面积比的差别。 3.会利用相似三角形的性质，由相似比求线段长度、周长、面积；已知面积之比反向求出相似比，解决线段、面积相关计算。 4.能够结合判定定理与性质综合解题：先证明三角形相似，再利用相似性质计算线段、面积，规范几何证明的书写步骤。 5.厘清易错点：面积比是相似比的平方，不要直接将面积比当作相似比；找准相似三角形的对应线段，对应关系出错会导致比例式列错；判定定理证明的辅助线作法要理解原理。 题型 考察方向 难度 题型一 由平行判断成比例的线段 ★ 题型二 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★ 题型三 利用平行判定相似 ★★ 题型四 证明三角形的对应线段成比例 ★★★ 题型五 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型六 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 题型七 利用相似求坐标 ★★★ 题型八 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型九 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十一 相似三角形的综合问题 ★★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点02:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点03：平行引理（由平行线分线段成比例推导而来） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言：若 DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 对应模型：A 字型、8 字型（对顶相似）。 知识点04：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点04：特殊拓展：直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点05：相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 题型一：由平行判断成比例的线段 1．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 3．在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：由平行截线求相关线段的长或比值 4．如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图， 直线，，， 那么____________． 6．如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 题型三：利用平行判定相似 7．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 9．如图，在中，，，则的值为______． 题型四：证明三角形的对应线段成比例 10．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 12．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则(　　 A． B． C． D． 题型五：利用相似三角形的性质求解 13．已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 14．如图，，且，，则的面积是________． 15．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，且，若的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 题型六：相似三角形的判定与性质综合 17．如图，在中，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．如图，与交于点O，且，若，则__________． 19．如图，在中，E是边上一点，连接，，的平分线交于点D，交于点F．已知，，，则的长为（     ） A． B．7 C． D．6 20．如图，D，E分别是的边，上的点，且，，连接，交于点F，则的值为______________． 题型七：利用相似求坐标 21．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是___． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 题型八：在网格中画与已知三角形相似的三角形 24．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于_____． 25．如图，在的正方形网格中，为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为___________． 26．如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九：相似三角形 —— 动点问题 27．如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 28．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 29．如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 题型十：相似三角形实际应用 30．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根笔直的钢筋，与的交点为E．已知，，则点E到地面的距离为______________． 31．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 32．如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则_______． 题型十一：相似三角形的综合问题 33．如图，，，，在边上取点P，使得，与两两相似，则长为___________．（结果用含的代数式表示）    34．如图，都是等边三角形，且是以内部一点为位似中心的位似图形，已知的边长为2，的边长为1，则与之间的距离（ ）    A．等于1 B．等于 C．等于 D．随点位置的变化而变化 35．如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则=_____． 解答题 36．如图，在中，，且，若，求的长． 37．如图，在四边形中，，点在边上，连接交对角线于点，交延长线于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 38．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 39．如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 40．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 41．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $