2.2.3 一元二次不等式的解法 知识清单-2026-2027 学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章（不等式） 从“会解一元一次”到“会解一元二次”：用图象、因式分解、配方三种工具，把解集一个不漏地求出来 图 1　本节知识地图：一元二次不等式的概念、图象法、因式分解法、配方法与分式不等式 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解一元二次不等式的概念，知道一般形式中二次项系数不能为 0，会判断一个不等式是不是一元二次不等式； ② 掌握图象法：借助二次函数的图象与判别式解一元二次不等式，理解“三个二次”之间的联系； ③ 掌握因式分解法与配方法，理解“大于取两边、小于取中间”； ④ 了解分式不等式化归为整式不等式的基本思路； ⑤ 会解可分解型含参不等式与简单的实际问题。 重点 一元二次不等式的解法（图象法、因式分解法、配方法）；判别式与解集的对应关系 难点 “三个二次”（不等式、方程、函数）的联系与转化；含参分类讨论；分式不等式中分母不为 0 的处理 前两节依次解决了“未知数能取哪些值”（解与解集）和“含绝对值、含参数的不等式怎么解”。本节把未知数的最高次数提高到 2：一元二次不等式怎么解？工具还是那两样——不等式的性质与数轴，再加上一位新朋友：二次函数的图象。 二、情境引入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉。若栅栏的长度是 24 米，围成的矩形区域的面积要大于 20 平方米，则这个矩形的边长要满足什么条件？ 设这个矩形的一条边长为 米，则另一条边长为 米。由题意得 面积大于 20：，其中 。整理得 去括号、移项：，即 ，且 。 这是一个一元二次不等式。边长 究竟落在哪个范围？本节学完三种解法后，可以回头验证：它的解集是 (2, 10)。 想一想如果把“面积大于 20 平方米”改成“面积不小于 20 平方米”，解集会怎样变化？如果栅栏长度改成 8 米（即一边长 4−x 米）、面积仍要求大于 20 平方米，情形又会怎样？带着这两个问题阅读下文。 三、一元二次不等式的概念 一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式。它的一般形式是（不等号也可以是 <、≥、≤），其中 、、 均为常数，而且。 判断要点看两点：未知数只有一个；整理后未知数的最高次数是 2。例如中，当时未知数最高次数是 1，它表示的是一元一次不等式，所以“形如二次”不等于“一定是二次”。 解一元二次不等式，关键要抓住“三个二次”的联系：不等式 的左边，正是二次函数 的解析式，也是一元二次方程 的左边。使 的实数 叫做二次函数的零点，从图象上看就是抛物线与 轴交点的横坐标。 方程 函数 不等式 式子 （） （） 或 （） 关心的问题 哪些 x 使左边等于 0 图象的形状与位置 哪些 x 使左边大于（或小于）0 解集的来源 方程的根 零点与开口方向 图象在 x 轴上方（或下方）的所有 x 四、图象法：从函数的观点看不等式 用图象法解一元二次不等式的步骤① 把不等式化为标准形式：右边为 0，左边二次项系数为正（即或，）；② 求出相应一元二次方程的根（或算判别式判断交点个数）；③ 画出函数图象的简图；④ 观察图象在 轴上方还是下方，写出解集。 以课本例 1 的不等式 为例：函数 的图象是开口向上的抛物线，与 轴交于 和 两点；抛物线在 轴上方，正好对应 或 这两段。 图 2　二次函数图象与一元二次不等式的解集：抛物线在 x 轴上方、下方，对应解集的两段与中间一段 例 1 的规范书写（图象法）解：考虑二次函数 。 因为 ，方程 的两根为 与 ，所以抛物线与 轴交于这两点。 抛物线开口向上，且位于 轴上方时 或 ，所以原不等式的解集为 {x|x< 或 x>}，用区间记号写为(−∞, )∪(, +∞)。写出解集后，可代入数值检验（如 x=3 在解集中，x=0 不在）。 推广到一般形式，交点个数由判别式 决定，解集的形态随之确定（以下均设 ）： 判别式 方程的根 大于 0 的解集 小于 0 的解集 两个不相等的实数根 、（<） {x|x<x 或 x>x} {x|x<x<} 两个相等的实数根 {x|x≠} 空集 ∅ 没有实数根 全体实数 R 空集 ∅ 两点说明：① 不等号带等号（≥、≤）时，有实数根就把端点“闭口”（方括号）； 时“大于”的解集要补上唯一根，“小于”仍是空集； 时“大于”仍是全体实数。② 若 ，先两边同乘 把二次项系数化为正，不等号方向随之改变。③ 解集的“形态”由判别式确定，“端点”由方程的根确定：先判形态，再求根、写区间；描述法与区间记号只是同一集合的两种写法。 图 3　判别式的三种情形：两个交点、一个交点、没有交点，对应解集的三种形态 五、因式分解法与配方法 因式分解法如果<，那么<0 的解集是(, )，>0 的解集是(−∞, )∪(, +∞)。口诀：大于取两边，小于取中间；带等号时端点取闭。 配方法一元二次不等式（）通过配方，总可以变为或的形式，再根据 的正负求解。当时开平方，化为或，正好接上 2.2.2 的绝对值不等式。 例 1（因式分解法） 求不等式 的解集。 分解因式：，所以原不等式等价于 。对应方程的两根为 与 ，且 。大于取两边，得 或 ，所以原不等式的解集为 (−∞, )∪(, +∞)。 回头看情境情境中的 可以分解为，小于取中间，得(, )；结合 ，矩形的一条边长应在 2 米 与 10 米 之间（不含端点），另一条边随之在 2 米 与 10 米 之间。 例 2（配方法） 求下列不等式的解集： ① ；② ；③ ；④ 。 解 ①：配方，，原不等式化为 ，即。两边开平方（算术平方根）：，所以 或 ，即 或 。解集为 (−∞, ]∪[, +∞)。 解 ②：配方，，化为 ，即。开平方：，所以 ≤，即 ≤。解集为 [, ]。 解 ③：两边同乘 （方向改变），得，即 。只要，上式就成立，所以解集为 (−∞, )∪(, +∞)。 解 ④：两边除以 2，得。配方： ，所以原不等式就是 。不论取什么实数，左边都是正数，不等式恒成立，解集为 全体实数 R。 规律例 2 的四个小题正好覆盖判别式的三种情形：①、② 是 Δ>0（配方后开平方）；③ 是 Δ=0（完全平方式与 0 比）；④ 是 Δ<0（配方后恒正）。配方后式子变成“平方与常数比”，思路与 2.2.2 的绝对值不等式完全一致。 六、分式不等式 解分式不等式的思路① 移项、通分，把右边化为 0，化成“分式大于 0（或小于 0）”的形式，再转化为整式不等式；转化时要注意分母不为 0，以及等号能不能取到（带等号时分子可以为 0）。 ② 如果能判断分母的符号，可以直接去分母：分母是平方（如）时恒正且不为 0，两边同乘即可，不等号方向不变。 例 3（分式不等式） 求不等式 的解集。 由题意 ，所以。两边同乘，得 ，且。移项、分解因式： ，即 ，且。大于取两边（带等号，端点取闭），得 或 ；再去掉，所以解集为 (−∞, ]∪(, +∞)。 易错提醒若把答案写成(−∞, ]∪(, +∞)就错了：端点 2 使分母为 0，不在定义范围内，右端必须用圆括号。去分母乘的是分母的平方，最后一定要把“分母不为 0”补回来。 七、一般步骤与应用 解一元二次不等式的一般步骤第一步：把各项系数变为整数，二次项系数变成正数；第二步：分解为两个因式的乘积的形式，或配方成完全平方式的形式；第三步：写出不等式的解集。 图象法的对应步骤：化为标准形式 → 求根或判判别式 → 画函数图象简图 → 观察图象写出解集。解集常用集合或区间表示，并可在数轴上图示。 图 4　解一元二次不等式的一般流程：标准化、选方法、写解集，分式不等式先化归为整式不等式 例 4（实际问题：刹车距离） 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 （单位：米）与车速 （单位：千米/时）之间满足 。在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于 40 米，这辆汽车刹车前的车速至少是多少？ 由题意得。两边乘 180，得 ，即。分解因式： ，解得 或 。 因为车速 ，所以。答：这辆汽车刹车前的车速不低于 80 千米/时。 方法提炼实际问题列出一元二次不等式后，解法与前面完全一样；不同之处在于最后要结合实际意义取舍：车速、边长等必须为正，负的一段即使满足不等式也要舍去。 例 5（含参不等式：可分解型） 解关于 的不等式（ 为常数）。 分解因式：。对应方程的两根为与，解集要先比较两根的大小： ① 当时，，解得 或 ，解集为 (−∞, )∪(, +∞)； ② 当时，不等式为，解得，解集为 (−∞, )∪(, +∞)； ③ 当时，，解得 或 ，解集为 (−∞, )∪(, +∞)。 含参要点能分解的一律先分解，再看两根谁大谁小：分类的标准是两根相等的时刻（本题即）。若参数出现在二次项系数，还要先讨论它等于 0 时不等式退化成一次的情形。 例 6（由解集反求参数） 已知关于 的不等式 的解集为 (−∞, )∪(, +∞)，求、 的值。 解集是“大于取两边”的两段，说明对应方程的两个根为和。由根与系数的关系（2.1.2 已学）： ，，所以，。 代入检验：， 的解集确为 (−∞, )∪(, +∞)，符合题意。 八、易错辨析 ① 二次项系数为负，忘记变号解应先两边乘，化为；直接解会得到正好相反的两段。 ② “无实根”误当“无解”解时且开口向上，解集是全体实数R，不是空集。 ③ 端点开闭与等号错位解得[, ]；写成(, )就把端点丢掉了（带等号必须闭口）。 ④ 分式不等式忘分母不为 0例 3 的解集右端是(, +∞)，不是[, +∞)：端点 2 使分母为 0。 ⑤ 含参漏讨论、忘比根的大小解含参不等式先问二次项系数能为 0 吗；参数在两根之中时，要先比较两根大小，再定“两边”谁左谁右。 ⑥ 忽视实际意义应用问题中边长、车速必须为正，求出解集后要结合实际取舍（如例 4 舍去的一段）。 图 5　解一元二次不等式：规范写法与常见错误对照 九、本节边界 本节已学一元二次不等式的概念与判断；图象法（判别式与解集形态的对应）、因式分解法、配方法三种解法；分式不等式化归为整式不等式的基本思路；解一元二次不等式的一般步骤、含参分类讨论与简单的实际问题。 本节不涉及不等式的更综合应用、高次不等式与分式不等式的系统解法、含参分式不等式，留待后续章节专门研究；变量之间的依赖关系（函数）的系统内容在本册后续章节才引入，本节只借助二次函数的图象解不等式，不出现任何函数记号；推理过程只用文字衔接，不使用逻辑符号。 十、课后巩固 1. 解不等式 ，并把解集写成区间形式。 2. 解不等式 。 3. 解不等式 。 4. 解不等式 。 5. 解不等式 。 6. 解不等式 。 7. 解关于 的不等式（ 为常数）。 8. 某商品原来每件售价 25 元，年销售 8 万件。据市场调查，价格每提高 1 元，年销售量将相应减少 2000 件。要使销售的总收入不低于原来的收入，该商品每件定价最多为多少元？ 9. 解不等式 。 10. 已知关于 的不等式 的解集为[, ]，求、 的值。 11. 某农户家有一段足够长的墙，另有 24 米长的篱笆，想靠墙围一个矩形菜园（墙作为矩形的一条边，篱笆围另外三边）。这个菜园的面积能超过 80 平方米吗？请说明理由。 参考答案 1. 分解为，小于取中间，解集为[, ]。 2. 分解为，解得 或 ，解集为(−∞, )∪(, +∞)。 3. 两边乘，化为，即，解集为[, ]。 4. ，且开口向上，解集为全体实数R。 5. 开平方得，所以，解集为[, ]。 6. 分子、分母同号或分子为 0： 或 ，解集为(−∞, ]∪(, +∞)。 7. 分解为，比较两根：当时，解集为(−∞, )∪(, +∞)；当时，不等式为，解集为(−∞, )∪(, +∞)；当时，解集为(−∞, )∪(, +∞)。 8. 设每件定价为 元（），则年销售量为 万件，即 万件。原来的收入为 万元，由题意 ，整理得，即，所以。答：每件定价最多为 40 元。 9. 两边乘（方向改变），化为，即，小于取中间，解集为[, ]。 10. 解集为[, ]，说明相应方程 的两根为和。由根与系数的关系：，，所以，。代入检验： 的解集确为[, ]，符合题意。 11. 不能。设垂直于墙的边长为 米，则平行于墙的边长为 米，菜园面积为 平方米。假设面积能超过 80 平方米，则 ，化简得。因为，且抛物线开口向上，这个不等式无解，所以面积不能超过 80 平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $