2.2.4 均值不等式及其应用学案（核心考点+典型例题+分层训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦均值不等式及其应用，引导学生理解公式推导、标准形式、适用条件及等号成立条件，通过课前核心知识点精讲（含核心公式、最值结论、变形公式）搭建基础，课堂以2025年各省市高一统考真题分层（基础、中档、拔高）展开，形成从预习到应用的学习支架。 资料融合数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养，以全真实统考真题分层训练为亮点，强化“一正、二定、三相等”解题准则，注重凑配构造定值和等号成立条件检验，助力学生掌握条件最值、恒成立问题等题型解法，培养严谨数学思维与实际应用能力。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 2.2.4 均值不等式及其应用 导学案 【学习目标】 1. 数学抽象：理解均值不等式（基本不等式）的推导过程，掌握基本不等式的标准形式、适用条件及等号成立条件。 2. 数学运算：熟练运用均值不等式求解代数式最值，掌握“一正、二定、三相等”核心解题准则。 3. 逻辑推理：掌握均值不等式的常见变形公式，能识别误用不等式的常见陷阱，严谨判断等号能否成立。 4. 综合应用：结合2025年各省市高一统考真题，解决条件最值、恒成立问题、实际应用最值题型。 【学习重难点】 重点：均值不等式公式及变形；利用均值不等式求积定和最小、和定积最大两类基础最值。 难点：凑配法构造定值求最值；等号成立条件检验；均值不等式实际应用题建模求解。 【课前预习·核心知识点精讲】 知识点一：基本（均值）不等式核心公式 对任意正实数，有： 当且仅当时，等号成立。 核心口诀：一正、二定、三相等 一正：参与运算的数必须为正数； 二定：和或积为定值，才能求最值； 三相等：必须验证等号可取，否则最值无效。 知识点二：两个重要最值结论（必考） 1. 积定和最小：若，（定值），则，当且仅当时，取最小值。 2. 和定积最大：若，（定值），则，当且仅当时，取最大值。 知识点三：常用均值不等式变形公式 1. 2. ； 3. 知识点四：2025高一统考高频考法总结 1. 基础考法：直接利用公式判断正误、简单定值最值求解； 2. 中档考法：凑配构造定值、分式型、对勾型代数式最值求解； 3. 拔高考法：条件等式下最值、均值不等式恒成立、实际应用最值问题。 【课堂真题精讲·三层分层（全2025真实统考真题）】 层级一：基础题型（公式辨析、基础最值求解） 典例1（2025·浙江宁波高一期末真题） 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 典例2（2025·吉林长春高一月考真题） 若，且，则的最大值为________。 层级二：中档提升题型（凑配构造、分式型最值） 典例3（2025·广西钦州高一阶段检测真题） 已知，求的最小值。 典例4（2025·内蒙古呼和浩特高一期末真题） 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 层级三：培优拔高题型（条件最值、恒成立综合真题） 典例5（2025·江西赣州高一月考真题） 已知，且，求的最大值。 典例6（2025·山东济南高一联考真题） 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【2025最新真题·课堂精练】 1.（2025·四川绵阳高一期末真题）已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2.（2025·河南郑州高一月考真题）已知，则的最大值为________。 3.（2025·江苏苏州高一统考真题）已知，求的最小值。 【2025分层课后作业·全真实高一真题】 基础必做题 1.（2025·湖南衡阳高一期末真题）判断下列各式能否用均值不等式求最值，并说明理由： （1）时， （2）时， 2.（2025·云南昆明高一联考真题）已知，，求的最小值。 提升培优题 3.（2025·广东深圳高一模拟真题）已知，求的最小值。 4.（2025·新高考高一适应性真题）用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积。 【课堂核心小结】 1. 均值不等式使用前提：正数优先，负数需变形转换； 2. 最值核心：和定积最大、积定和最小，无定值则凑配构造定值； 3. 解题必验：最后必须检验等号成立条件，不满足则不能取最值； 4. 恒成立题型：不等式恒成立等价于参数小于等于最小值、大于等于最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 2.2.4 均值不等式及其应用 导学案 【参考答案与详细解析】 【学习目标】 1. 数学抽象：理解均值不等式（基本不等式）的推导过程，掌握基本不等式的标准形式、适用条件及等号成立条件。 2. 数学运算：熟练运用均值不等式求解代数式最值，掌握“一正、二定、三相等”核心解题准则。 3. 逻辑推理：掌握均值不等式的常见变形公式，能识别误用不等式的常见陷阱，严谨判断等号能否成立。 4. 综合应用：结合2025年各省市高一统考真题，解决条件最值、恒成立问题、实际应用最值题型。 【学习重难点】 重点：均值不等式公式及变形；利用均值不等式求积定和最小、和定积最大两类基础最值。 难点：凑配法构造定值求最值；等号成立条件检验；均值不等式实际应用题建模求解。 【课前预习·核心知识点精讲】 知识点一：基本（均值）不等式核心公式 对任意正实数，有： 当且仅当时，等号成立。 核心口诀：一正、二定、三相等 一正：参与运算的数必须为正数； 二定：和或积为定值，才能求最值； 三相等：必须验证等号可取，否则最值无效。 知识点二：两个重要最值结论（必考） 1. 积定和最小：若，（定值），则，当且仅当时，取最小值。 2. 和定积最大：若，（定值），则，当且仅当时，取最大值。 知识点三：常用均值不等式变形公式 1. 2. ； 3. 知识点四：2025高一统考高频考法总结 1. 基础考法：直接利用公式判断正误、简单定值最值求解； 2. 中档考法：凑配构造定值、分式型、对勾型代数式最值求解； 3. 拔高考法：条件等式下最值、均值不等式恒成立、实际应用最值问题。 【课堂真题精讲·三层分层（全2025真实统考真题）】 层级一：基础题型（公式辨析、基础最值求解） 典例1（2025·浙江宁波高一期末真题） 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析： 由，满足一正条件，由均值不等式： 。 当且仅当即时等号成立，最小值为4。 答案：B 典例2（2025·吉林长春高一月考真题） 若，且，则的最大值为________。 解析： 和定积最大，。 当且仅当时取等号，故最大值为9。 答案：9 层级二：中档提升题型（凑配构造、分式型最值） 典例3（2025·广西钦州高一阶段检测真题） 已知，求的最小值。 解析：凑配构造定值 由得，原式变形： 。 由均值不等式：。 当且仅当即时取等号。 原式最小值为。 答案：3 典例4（2025·内蒙古呼和浩特高一期末真题） 下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 解析： A：由，恒成立； B：时不成立；C：仅时成立；D：均值不等式方向颠倒。 答案：A 层级三：培优拔高题型（条件最值、恒成立综合真题） 典例5（2025·江西赣州高一月考真题） 已知，且，求的最大值。 解析： 由，得， 。 当且仅当，即时取等号。 答案：2 典例6（2025·山东济南高一联考真题） 若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。 解析： 时，，即最小值为2。 不等式恒成立，只需。 答案：(-∞,2] 【2025最新真题·课堂精练】 1.（2025·四川绵阳高一期末真题）已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2.（2025·河南郑州高一月考真题）已知，则的最大值为________。 3.（2025·江苏苏州高一统考真题）已知，求的最小值。 【2025分层课后作业·全真实高一真题】 基础必做题 1.（2025·湖南衡阳高一期末真题）判断下列各式能否用均值不等式求最值，并说明理由： （1）时， （2）时， 2.（2025·云南昆明高一联考真题）已知，，求的最小值。 提升培优题 3.（2025·广东深圳高一模拟真题）已知，求的最小值。 4.（2025·新高考高一适应性真题）用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，求菜园的最大面积。 【课堂核心小结】 1. 均值不等式使用前提：正数优先，负数需变形转换； 2. 最值核心：和定积最大、积定和最小，无定值则凑配构造定值； 3. 解题必验：最后必须检验等号成立条件，不满足则不能取最值； 4. 恒成立题型：不等式恒成立等价于参数小于等于最小值、大于等于最大值。 【2025真题参考答案与详细解析】 一、课堂精练答案解析 1. C 解析：，，当且仅当即取等，最小值为8。 2. 解析：，均为正，。 3. 解析： 由得，原式。 ，最小值为。 答案： 二、课后作业答案解析 1. 解析： （1）不能，不满足“一正”，，需变形为负号形式求解； （2）可以，，满足一正，可利用均值不等式求最值。 2. 解析：，，当且仅当取等。 答案：8 3. 解析： 令，，原式。 ，最小值为，当即取等。 答案：4 4. 解析： 设矩形长、宽为，则，即。 面积，当且仅当（正方形）时面积最大。 学科网（北京）股份有限公司 $