2.1.3 方程组的解集知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.1.3 方程组的解集　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章（等式） 把“解方程组”提升为“求解集的交集”：消元法、二元与三元一次方程组、二元二次方程组 图 1　本节知识地图：方程组的解集、二元与三元一次方程组、二元二次方程组、消元法 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解方程组及其解集的概念，知道方程组的解集是各方程解集的交集，会把解集用集合正确表示； ② 掌握代入消元法与加减消元法，会求二元一次、三元一次方程组的解集； ③ 了解二元二次方程组，会用消元、降次的思想求它的解集； ④ 能列方程组解决简单的实际问题。 重点 方程组解集的集合表示；用消元法求方程组的解集 难点 根据方程组的特点选择消元方法并准确计算；解集表示规范；二元二次方程组的降次 前两节把“求一个方程的解”提升为“求解集”；实际生活中的数量关系往往需要多个条件同时成立，这就要把多个方程联立。本节用集合的语言说清方程组的解集是什么，并把消元法练熟，进而研究三元一次方程组与简单的二元二次方程组。 二、情境引入 甲、乙两班共有学生 52 人，且甲班比乙班多 4 人。甲、乙两班各有多少人？ 设甲班有 人、乙班有 人，把两个条件联立：① ；② 。两个方程合在一起组成一个方程组，要找的 必须同时满足这两个方程。解得 、，即甲班 28 人、乙班 24 人。 与初中衔接代入消元法、加减消元法在初中已经熟悉；本节先用集合的语言说清“方程组的解集是什么”，再练熟方法，并推广到三元一次方程组与二元二次方程组。 三、方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。 联立把几个方程编成一组，组内各个方程要同时满足； 交集若方程①的解集为 、方程②的解集为 ，则方程组的解集为 ； 元素二元方程组的元素是实数对 ，三元方程组的元素是 ，统称 n 元数组。 图 2　方程组的解集：由每个方程的解集得到的交集，每个元素都要同时满足每一个方程 解集的表示方法：二元一次方程组的解集常写成 的形式，三元一次方程组的解集写成 的形式；只有一个解时也可用列举法 ；有两个解时用列举法逐一写出，如 ；方程组无解时，解集为空集 。 方程组的类型 解集的形式 示例 二元一次方程组 三元一次方程组 只有一个解 也可用列举法 有两个解 用列举法逐一写出 没有解 空集 注意：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素。此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来。 体会“无穷多个元素”只含一个方程 时，把 看成常数，则 ：x 每取一个实数，就得到解集里的一个元素，解集 含有无穷多个元素。两个方程“实质相同”时（如 与 ），解集同样含有无穷多个元素。 四、求方程组解集的方法——消元法 求方程组解集的过程，要不断应用等式的性质（2.1.1 学过：等式两边同加、同减、同乘或同除同一个非零数，等式仍成立），常用的方法是消元法。 (1) 代入消元法把一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，代入另一个方程，从而消去一个未知数。当某个未知数的系数是 1 或 −1 时，代入法最方便。 (2) 加减消元法把两个方程的两边分别相加或相减，消去某个未知数。当某个未知数的系数相等或互为相反数时最方便；系数不合适时，可先把某个方程的两边同乘一个适当的数。 解方程组的步骤：消元 → 解一元一次方程 → 回代 → 把解写成集合。三元一次方程组要消两次元、回代两次。 图 3　消元法解方程组的流程：化“多元”为“一元”，回代后把解写成集合 五、二元一次方程组 方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程组的解集元素是实数对 ，常写成 的形式。 换个角度看（几何直观）：在平面内，满足一个二元一次方程的所有点组成一条直线；方程组的解集是各方程解集的交集，所以它就是两条直线的公共点。两条直线相交时解集含一个元素；两条直线平行时没有公共点，解集为 。 图 4　二元一次方程组解集的几何解释：两条直线的公共点；平行时解集为空集 例 1（代入消元法） 求方程组：① ；② 。 解：由①得 。③ 把③代入②，得 ，解得 。把 代入③，得 。所以方程组的解集为 。 说明：这个方程组也可用加减消元法——②−①得 ，同样得 。消哪个未知数，要看哪种方法更简便。 例 2（加减消元法） 求方程组：① ；② 。 解：①+②，得 ，所以 。把 代入①，得 ，解得 。所以方程组的解集为 。 说明：y 的系数 −7 与 7 互为相反数，两式相加直接消去 y；x 的系数都是 3，两式相减则可消去 x。 六、三元一次方程组 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 三元一次方程组的解集元素是三元数组 ，解集常写成 的形式。 解法仍然是消元：先消去同一个未知数，把三元化为二元；再消一次，化为一元；求出两个未知数后回代，求出第三个未知数。 例 3（《九章算术》“方程”问题） 《九章算术》第八章“方程”中有这样一个问题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 解：设上禾一秉 斗、中禾一秉 斗、下禾一秉 斗。由题意， ① ② ③ ①−②，得 ，即 。④ 把④代入①，得 ，整理得 ，即 。⑤ 把④、⑤代入③，得 ，整理得 ，解得 。 代入④，得 ；代入⑤，得 。 所以方程组的解集为 。 答：上禾一秉 9又 斗，中禾一秉 4又 斗，下禾一秉 2又 斗。 数学文化《九章算术》是世界上最早系统记载方程组问题的数学著作之一，其“方程”章中的“遍乘直除”就是反复消元；直到今天，消元仍是解方程组的基本思想。 七、二元二次方程组 含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为 2 的方程，叫做二元二次方程。方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为 2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组。 二元二次方程组常见两种类型：一种由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成（简称“二·一”型，是主要学习的类型）；另一种由两个二元二次方程组成（简称“二·二”型）。 解二元二次方程组的基本思想仍是消元与降次：消元把“二元”化为“一元”，降次把“二次”降为“一次”。当方程组有两个解时，常把它们分别记作 、。 例 4（“二·一”型二元二次方程组） 求方程组：① ；② 的解集。 解：由①得 。③ 把③代入②，得 ，整理得 ，因式分解得 ，所以 或 。代入③： 时 ； 时 。所以方程组的解集为 。 说明：代入后得到一元二次方程，它有两个根，所以方程组有两个解——解集有两个元素，回代时每个根都要代一次。 例 5（“二·二”型二元二次方程组） 求方程组：① ；② 的解集。 解：由①得 ，所以 或 。分别与②联立： 时，，解得 或 ； 时，，解得 或 。所以方程组的解集为 。 方法归纳解“二·二”型方程组的基本思想是转化，方法是降次与消元：常先把其中一个方程因式分解，化为两个一次方程，分别与另一个方程组成“二·一”型方程组求解；也可把两个方程作差，消去二次项，得到一次方程后回代。 八、方程组的应用 列方程组解决实际问题的步骤：审题（弄清题意与数量关系）→ 设元 → 根据等量关系列方程组 → 解方程组 → 检验并作答。设几个未知数，一般就要列出几个方程。 例 6（配制营养品问题） 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品：每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。若病人每餐需 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解：设每餐需甲原料 克、乙原料 克。根据蛋白质与铁质的含量，可列方程组： ① ② 两边同乘 10（第二个方程再同除以 2）化简，得 　。两式相减，得 ，所以 。代入 ，得 ，所以 。 检验：，，符合题意。 答：每餐需甲原料 28 克、乙原料 30 克。 例 6 的求解过程，可以概括为下表所示的几个步骤： 步骤 要点与说明 审题设元 弄清题意，找出已知量、未知量与等量关系，设出未知数 列方程组 把等量关系逐条“翻译”成方程，联立成方程组 解方程组 用消元法（代入消元或加减消元）求出方程组的解集 检验并作答 解要代回每一个方程，并检查是否符合实际意义 九、易错辨析 解集写法不规范写成 丢了解的外括号，成了两个数；写成 只是一个解，不是集合；写成 那是方程组，不是解集（对照图 5）。 把“交集”当成“并集”方程组的解必须同时满足每一个方程，所以方程组的解集是各方程解集的交集，不是并集。 消元时符号出错两式相减时，后一个方程的每一项都要变号；系数不配平时，先把某个方程的两边同乘一个适当的数再加减。 回代不完整回代要选系数简单的方程；三元一次方程组求出两个未知数后，还要回代一次求出第三个未知数，不要漏。 二元二次漏解降次之后每种情况都要算：由 得 或 ，两个结果都要与另一个方程联立；一元二次方程有两个根时，每个根都要回代一次。 不解检验实际意义应用题求出未知数后，要检验是否符合实际意义（如人数、质量都是正数），再作答。 图 5　解集的表示方法：规范写法与常见错误对照 十、本节边界 本节已学方程组与方程组解集的概念（各方程解集的交集）及表示方法；消元法（代入消元、加减消元）解二元一次、三元一次方程组；二元二次方程组的“二·一”型与“二·二”型及消元、降次的思想；列方程组解决简单的实际问题。 本节不涉及本章后续将要研究的不等关系，本节不展开；变量之间的依赖关系属于更后面的章节；前章学习过的条件与结论之间的逻辑关系，本节不引入；更复杂的高次方程组在后续内容中展开。 十一、课后巩固 1. 解集的写法方程组 与 的解集为 ____（写出一种即可）。 2. 代入消元求方程组：， 的解集。 3. 加减消元求方程组：， 的解集。 4. 三元一次方程组求方程组：，， 的解集。 5. 二元二次（“二·一”型）求方程组：， 的解集。 6. 方程组的应用《孙子算经》记载：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺。问木长几何？（提示：设木长 x 尺、绳长 y 尺） 7. 二元二次（“二·二”型）求方程组：， 的解集。 8. 辨析判断下列说法是否正确，并说明理由：① 方程组的解集是各方程解集的并集；② 与 表示同一个集合；③ 三元一次方程组解集的元素是三元数组；④ 解方程组的核心思想是消元，解二元二次方程组还要降次。 参考答案 1. 两式相加得 ，，。解集为 （列举式 也可）。 2. 由①得 ，代入②：，即 ，，。解集为 。 3. ①+②得 ，即 ；与①相减得 ，从而 。解集为 。 4. ①−②得 ，；①−③得 ，；代入①得 。解集为 。 5. 把②代入①：，整理得 ，解得 或 。对应 或 。解集为 。 6. 设木长 尺、绳长 尺，则 ，。由第二式得 ，代入第一式：，解得 ，。答：木条长 6.5 尺，绳子长 11 尺。 7. ①+2×②，得 ，所以 或 。 且 时，x、y 是 的两个根，得 、； 且 时，x、y 是 的两个根，得 、。解集为 。 8. ① 错，方程组的解集是各方程解集的交集，不是并集；② 错， 是一个解， 才是解集；③ 对，三元一次方程组的元素是三元数组 ；④ 对，解方程组靠消元，解次数较高的方程组还要降次。 学科网（北京）股份有限公司 $