第15章轴对称分层作业-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章轴对称分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共6小题） 1．（2026•德阳）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　） A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．平行四边形 2．（2026•酒泉模拟）已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025秋•宁乡市期末）如图，若△ABC的面积为2，且点A，B，C分别是EC，AF，BD的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（2025秋•泌阳县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE，CD，且DE垂直平分BC．若∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 5．（2026秋•江油市月考）如图，在△ABC中，直线CD交AB于点D，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．23 6．（2025秋•碑林区校级同步）在平面直角坐标系中，点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32025 D．0 二．填空题（共6小题） 7．（2026•秦淮区校级模拟）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为_______ ． 8．（2025秋•泸州期末）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为 _____ ． 9．（2026秋•岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且AB＝AD＝DC，若∠C＝40°，则∠B＝_______ °． 10．（2026春•秦都区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，延长AC、BE交于点F，点G在BC上，连接EG．若AB＝6，AC＝4，，则EG的长为_____ ． 11．（2025秋•娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为________ ． 12．（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设PM与BC的夹角为∠1（∠1≠0°）． （1）若AP＝AC，则∠BPC的度数为_________ ； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为____________ ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，∠ADF＝40°． （1）求出∠BCE的度数； （2）求证：BC＝BF． 14．（2025秋•绥棱县期末）上午8时．一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 15．（2025秋•信都区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△A′B′C′的面积是_____ ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，则点P的坐标是__________________ ． 16．（2025秋•梅县区期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE，EF，其中AE平分∠BAC，EF平分∠AED，AC＝CE． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠CAE＝30°，求∠AFE的度数． 17．（2025秋•兖州区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，连接EF． （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．求证：∠DEF＝45°； （2）如图2，∠DEF＝45°，△ABC是等边三角形．求证：AE＝AF． 18．（2025秋•贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点． （1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值． 19．（2025春•淮安期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点E，F分别在边AB，CD上，沿PE折叠，使顶点A落在点A'处．其中题中所有角都是指小于180°的角． （1）如图1，∠A′PE_____ ∠APE（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图1，若沿PF折叠，使顶点D落在点D'处，点A'，点D'，点P恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕PF（在图1上标注出点F）； （3）如图2，若∠APE＝40°；∠A'PD'＝α（α≠0），求∠FPA′的度数（用含α的代数式表示）； （4）连接CP，若∠CPD＝m°，∠APE＝n°，且射线PC，射线PA'，射线PD'都与长方形的边相交．若射线PC是∠A'PD'的角平分线，求出∠EPF的度数（用含m、n的代数式表示）． 20．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 第15章轴对称分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2026•德阳）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　） A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．平行四边形 【解答】解：A、是轴对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，故B不符合题意； C、是轴对称图形，故C不符合题意； D、不是轴对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2．（2026•酒泉模拟）已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如果等腰三角形的腰长是2， ∴等腰三角形的底边长是8﹣2×2＝4， ∵2+2＝4，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是2； 如果等腰三角形的底边长是2， ∴等腰三角形的腰长是（8﹣2）＝3， ∵3+2＞3，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长是3， 综上所述，等腰三角形的腰长是3． 故选：B． 3．（2025秋•宁乡市期末）如图，若△ABC的面积为2，且点A，B，C分别是EC，AF，BD的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：连接AD， ∵CD＝BC，AE＝CA， ∴S△ABC＝S△ACD＝S△AED， ∵S△DEC＝2S△ABC＝4， ∴S△CDE＝S△AEF＝S△BFD＝4， ∴阴影部分的面积为＝3×4＝12， 故选：C． 4．（2025秋•泌阳县期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE，CD，且DE垂直平分BC．若∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴BD＝CD， ∴∠BCD＝∠B＝40°， ∵BA＝BC， ∴∠BCA＝∠A＝70°， ∴∠ACD＝∠BCA﹣∠BCD＝70°﹣40°＝30°， 所以∠ACD的度数是30°， 故选：B． 5．（2026秋•江油市月考）如图，在△ABC中，直线CD交AB于点D，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．23 【解答】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，BC＝9，AB＝10，AC＝4， ∴AC＝CE＝4，AD＝DE， ∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BE＝AB+BE＝15． 故选：B． 6．（2025秋•碑林区校级同步）在平面直角坐标系中，点E的坐标为（m，1），其关于y轴对称的点F的坐标为（2，n），则（m+n）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32025 D．0 【解答】解：∵点（m，1）与点F（2，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣2，n＝1， ∴（m+n）2025＝（﹣2+1）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•秦淮区校级模拟）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为　15　 ． 【解答】解：利用三角形的三边关系分情况讨论： 若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为3+3＝6，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为3+6＞6，能构成三角形，所以三角形周长为：3+6+6＝15， 即三角形的周长为15； 故答案为：15． 8．（2025秋•泸州期末）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a+b的值为 　5　 ． 【解答】解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3）， ∴a＝3，b＝2， ∴a+b＝5． 故答案为：5． 9．（2026秋•岳麓区校级月考）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且AB＝AD＝DC，若∠C＝40°，则∠B＝　80　 °． 【解答】解：在△DAC中，AD＝DC，∠C＝40°， ∴∠DAC＝∠C＝40°， ∵∠ADB是△DAC的外角， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝80°， 在△ABD中，AB＝AD ∴∠B＝∠ADB＝80°． 故答案为：80°． 10．（2026春•秦都区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，延长AC、BE交于点F，点G在BC上，连接EG．若AB＝6，AC＝4，，则EG的长为　1　 ． 【解答】解：AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，延长AC、BE交于点F，点G在BC上， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， ∵AE＝AE， ∴△BAE≌△FAE（ASA）， ∴AF＝AB＝6， ∴CF＝AF﹣AC＝2， ∴． 故答案为：1． 11．（2025秋•娄星区期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为　20°　 ． 【解答】解：∵点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B（等边对等角）， ∵∠DCA＝40°，∠DCA＝∠CAB+∠B， ∴∠B∠DCA40°＝20°， 则∠B的大小为20°， 故答案为：20°． 12．（2025秋•瑶海区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC．已知∠MPN的顶点P是线段AB上一点，PM经过顶点C，PN与AC交于点D，∠MPN＝30°，设PM与BC的夹角为∠1（∠1≠0°）． （1）若AP＝AC，则∠BPC的度数为　105°　 ； （2）当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为　45°或90°　 ． 【解答】解：（1）已知AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°（等边对等角）， 又∵AP＝AC， ∴， ∴∠BPC＝∠ACP+∠A＝75°+30°＝105°， 则∠BPC的度数为105°， 故答案为：105°； （2）分类讨论： 当DP＝CP时，如图： ∵∠CPD＝30°，DP＝CP， ∴， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣75°＝45°； 当DP＝DC时，如图： ∵∠CPD＝30°，DP＝DC， ∴∠CPD＝∠PCD＝30°， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠1＝∠ACB﹣∠PCD＝120°﹣30°＝90°； 当DC＝CP时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ∠1＝0°，题干要求∠1≠0°，故该情况不存在； 综上所述，∠1的度数为45°或90°． 故答案为：45°或90°． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，∠ADF＝40°． （1）求出∠BCE的度数； （2）求证：BC＝BF． 【解答】（1）解：∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BCE＝90°﹣40°＝50°； （2）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD＝∠CBD， ∵∠ABC＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵∠ADF＝40°， ∴∠AFD＝180°﹣50°﹣40°＝90°， ∴∠BFD＝∠AFD＝∠BCD＝90° ∴在△FBD和△CBD中， ， ∴△FBD≌△CBD（AAS）， ∴BC＝BF． 14．（2025秋•绥棱县期末）上午8时．一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）， ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴AB＝BC＝30（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）∵∠NBC＝60°，BC＝BD＝30， ∴△BCD是等边三角形， ∴CD＝BC＝30， 海岛B派出的救援队用的时间为（小时）＝90（分钟）， 海岛C派出的救援队用的时间为1060＝82（分钟）， ∵82＜90， ∴海岛C派出的救援队先到达渔船处． 15．（2025秋•信都区月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（3，0），C（6，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）△A′B′C′的面积是　7　 ； （3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为8，则点P的坐标是　（11，0）或（﹣5，0）　 ． 【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，如图： （2）S△A′B′C′， 故答案为：7； （3）设点P的坐标为（m，0）， ∵△ABP的面积为8， ∴， 解得m＝11或﹣5， ∴点P的坐标为（11，0）或（﹣5，0）， 故答案为：（11，0）或（﹣5，0）． 16．（2025秋•梅县区期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE，EF，其中AE平分∠BAC，EF平分∠AED，AC＝CE． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠CAE＝30°，求∠AFE的度数． 【解答】（1）证明：如图， ∵AC＝CE， ∴∠2＝∠3 ∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AFE﹣∠CAE＝30°， ∴∠AFE＝∠2+30°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°， ∵∠3+∠AED＝180°， ∴∠3+2∠2+60°＝180°， ∵∠3＝∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠AFE＝∠2+30°＝70°， ∴∠AFE的度数为70°． 17．（2025秋•兖州区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且DE⊥DF，连接EF． （1）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝AC．求证：∠DEF＝45°； （2）如图2，∠DEF＝45°，△ABC是等边三角形．求证：AE＝AF． 【解答】证明：（1）连接AD， ∵∠A＝90°，AB＝AC，点D是边BC的中点， ∴，∠C＝∠BAD＝45°， 又∵在四边形AEDF中， ∠BAC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠AED+∠AFD＝180°， 又∵∠CFD+∠AFD＝180°， ∴∠AED＝∠CFD， 在△AED和△CFD中， ， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∴ED＝FD（全等三角形对应边相等）， ∴△EDF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝45°（等腰直角三角形的性质）； （2）连接AD，过点D作DJ⊥AB于J，过点D作DK⊥AC于K， ∵点D是边BC的中点，△ABC是等边三角形， ∴AD平分∠BAC， ∴DJ＝KD， 又∵在等腰Rt△EDF中， ED＝FD（等腰直角三角形的性质）， ∴在Rt△EDJ和Rt△FDK中， ， Rt△EDJ≌Rt△FDK（HL）， ∴EJ＝FK（全等三角形对应边相等）， 同理可证Rt△ADJ≌Rt△ADK（HL）， ∴AJ＝AK（全等三角形对应边相等）， ∴AJ﹣EJ＝AK﹣FK， ∴AE＝AF． 18．（2025秋•贵州校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0），AB＝5，点O与坐标原点重合，C是边OB上一点，连接AC，P是y轴上一动点． （1）若AC是△AOB的中线，求PB+PC的最小值； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点，求QO+QP的最小值． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B的坐标分别为（0，3），（4，0）， 如图1，作点C关于y轴对称的点C1，连接BC1，与y轴交于点P1，当点P在P1位置时，PB+PC最小． ∵AC是△AOB的中线， ∴C是边OB的中点， ∵A，B的坐标分别为（0，3），（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴． 由对称可知C1C＝2OC＝4， ∴PB+PC最小值为P1C1+P1B＝C1C+CB＝4+2＝6； （2）若AC是△AOB的角平分线，Q是AC上一点， ∵AC是△AOB的角平分线， ∴点P关于AC对称的点P2在AB上，如图2． 此时PQ＝P2Q， ∴QO+QP＝QO+P2Q． 当OQ⊥AB时，垂足为H，QO+P2Q最小，即QO+QP最小，为OH的长． 由，得3×4＝OH×5， 解得， ∴QO+QP的最小值为． 19．（2025春•淮安期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点E，F分别在边AB，CD上，沿PE折叠，使顶点A落在点A'处．其中题中所有角都是指小于180°的角． （1）如图1，∠A′PE　＝　 ∠APE（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图1，若沿PF折叠，使顶点D落在点D'处，点A'，点D'，点P恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕PF（在图1上标注出点F）； （3）如图2，若∠APE＝40°；∠A'PD'＝α（α≠0），求∠FPA′的度数（用含α的代数式表示）； （4）连接CP，若∠CPD＝m°，∠APE＝n°，且射线PC，射线PA'，射线PD'都与长方形的边相交．若射线PC是∠A'PD'的角平分线，求出∠EPF的度数（用含m、n的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵沿PE折叠，使顶点A落在点A'处， ∴∠A′PE＝∠APE； 故答案为：＝； （2）如图所示，折痕PF即为所求； （3）如图，当点D′在PA′的右边时， ∵沿PE折叠，使顶点A落在点A'处， ∴∠APE＝∠A′PE＝40°； ∵∠A'PD'＝α， ∴∠D′PD＝180°﹣40°﹣40°﹣α＝100°﹣α， ∵沿PF折叠，使顶点D落在点D'处， ∴∠FPD′∠D′PD＝50°α， ∴∠FPA′＝∠A′PD′+∠D′PF＝α+50°α＝50°α； 当点D′在PA′的左边时， ∵沿PE折叠，使顶点A落在点A'处， ∴∠APE＝∠A′PE＝40°； ∵∠A'PD'＝α， ∴∠D′PD＝180°﹣40°﹣40°+α＝100°+α， ∵沿PF折叠，使顶点D落在点D'处， ∴∠FPD′∠D′PD＝50°α， ∴∠FPA′＝∠D′PF﹣∠A′PD′＝α50°α﹣α＝50°α； 综上所述，∠FPA′的度数为50°α或50°α； （4）如图，当点D′在PA′的右边时， ∵折叠， ∴∠A'PE＝∠APE＝n°， 又∵∠CPD＝m°， ∴∠CPA'＝180°﹣∠A'PE﹣∠APE﹣∠CPD＝（180﹣2n﹣m）°， ∵射线PC是∠A'PD'的角平分线， ∴∠CPD'＝∠CPA'＝（180﹣2n﹣m）°， ∴∠DAA'＝∠CPD﹣∠CPD'＝（2m+2n﹣180）°， ∵折叠， ∴∠DPF∠DAA′＝（m+n﹣90）°， ∴∠EPF＝180°﹣∠APE﹣∠DPF＝（270﹣2n﹣m）°； 当点A'在PC的右侧，D'在PC的左侧时，如图， ∵折叠， ∴∠A'PE＝∠APE＝n°， ∴∠DPA'＝（180﹣2n）°， 又∵∠CPD＝m°， ∴∠CPA'＝∠CPD﹣∠A'PD＝（2n+m﹣180）°， ∵射线PC是∠A'PD'的角平分线， ∴∠CPD'＝∠CPA'＝（2n+m﹣180）°， ∴∠DAA'＝∠CPD+∠CPD'＝（2n+2m﹣180）°， ∵折叠， ∴∠EPF＝180°﹣∠APE﹣∠DPF＝（270﹣2n﹣m）°； 综上，∠EPF 的度数为（270﹣2n﹣m）°． 20．（2026春•上海期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：　△ABC与△CBD ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 【解答】解：（1）根据“等角三角形”的定义可知△ABC与△ACD是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△CBD； （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的巧等线； （3）当△ACD是等腰三角形，如图2， DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3， DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4， DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B（）°， 当△BCD是等腰三角形，如图5， DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x＝（）°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $