第十五章 轴对称 综合与实践 最短路径问题（第1课时） （分层同步练习·反思性作业单） 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦最短路径问题（含将军饮马模型、轴对称转化折线为直线、两点之间线段最短），分层清晰，梯度合理，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三阶设计，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识内化与差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心概念与基本作图|填空/作图题强化概念记忆（如轴对称性质、将军饮马基本作图）| |能力提升|综合几何应用|选择/解答题结合图形变换（如等边三角形、直角坐标系中最短路径）| |拓展探究|证明与复杂实际问题|证明题培养推理能力（如造桥选址原理证明），探究题提升应用意识（如多桥路径优化）|

综合与实践 最短路径问题（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①最短路径问题：利用轴对称将折线转化为直线； ②将军饮马问题：直线l同侧两点A、B，在l上找一点P使PA+PB最小； ③解法：作A关于l的对称点A′，连接A′B与l交于P； ④原理：两点之间线段最短。 2. 与本节课相关的旧知识：轴对称的性质、两点之间线段最短。 3. 预习时遇到的疑问：如何解决直线同侧两点到直线上一点距离和最小的问题？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①对称点要作对； ②连接对称点和另一点，与直线交点即为所求； ③原理是两点之间线段最短。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 最短路径问题利用____将折线转化为直线。 2. 将军饮马问题：作其中一点关于直线的____点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求。 3. 最短路径问题的原理是____。 4. 两点之间，____最短。 5. 轴对称前后，对应线段____。 6. 解决最短路径问题的关键是利用____把折线段转化为直线段。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2. 如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ 3. 在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ （1）三角形的三边关系：______________________________________； （2）直角三角形中边的关系：__________________________________。 4. 如图，如何作点A关于直线l的对称点？ 5. 如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C，使AC+BC最短。 6. 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 7. 要点归纳：作点B关于直线l的对称点（　　），连接（　　），与直线l相交于点（　　），则点C即为所求。 8. 如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下列说法正确的是（　　） A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 9. 如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）。点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P。 10. 如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是______米。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5　　B．5　　C．4　　D．不能确定 2. 例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） A．（0，3）　　B．（0，2）　　C．（0，1）　　D．（0，0） 3. 如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10。若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（　　） A．10　　B．15　　C．20　　D．30 4. 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄。欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（　　） 5. 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径。 6. 实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？ ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 如图，点A、B在直线l的同侧，点C是直线l上使AC+BC最短的点。你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：在直线l上任取一点C′（不与点C重合），连接AC′、BC′、B′C′。 ∵点B、B′关于直线l对称，点C、C′在直线l上， ∴CB=______，C′B=______。 ∴AC+BC=AC+______=______，AC′+BC′=AC′+______。 在△AB′C′中，AB′______AC′+B′C′， ∴AC+BC<AC′+BC′，即AC+BC最短。 2. 想一想：如何说明造桥选址中，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N，作桥MN时，AM+MN+BN最短？ 证明：另任作桥M1N1，连接AM1、BN1、A1N1。 由平移性质知：AM=A1N，AM1=A1N1，MN=M1N1=AA1。 ∴AM+MN+BN=______+AA1+______=AA1+A1B， AM1+M1N1+BN1=______+AA1+______=AA1+A1N1+BN1。 在△A1BN1中，A1B______A1N1+BN1， ∴AA1+A1B<AA1+A1N1+BN1，即AM+MN+BN<AM1+M1N1+BN1。 ∴此时AM+MN+BN最短。 3. 如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥DD′、EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB最短？ 4. （1）如图1，在AB直线一侧有C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点。 （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短？找出E、F两点。 （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成的四边形的周长最短？找出E、F两点。 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 实际问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 2. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。 （1）若要使厂址到A、B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）？ （2）若要使厂址到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？ 3. 造桥选址问题中，我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下，把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？ 画一画：（1）把A平移到岸边；（2）把B平移到岸边； （3）把桥平移到和A相连；（4）把桥平移到和B相连。 比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？ 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 综合与实践 最短路径问题（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 最短路径：利用轴对称将折线转直线；将军饮马模型；两点之间线段最短。 二、基础随堂自检 1. 轴对称 2. 对称 3. 两点之间线段最短 4. 线段 5. 相等 6. 轴对称 三、分层自主作业 ★ 基础巩固：1. ②最短；两点之间线段最短　2. PC最短；垂线段最短　3. （1）三角形任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方　4. 过点A作AO⊥l于O，延长AO至A′，使OA′=AO，则点A′即为所求　5. 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点C，点C即为所求（AC+BC=AB′最短）　6. 连接AB，AB与直线l的交点即为所求（两点之间线段最短）　7. B′；AB′；C　8. A（P是A′B与m的交点，AP+PB=A′P+PB=A′B最短；A、B关于n对称，Q在n上∴QA=QB）　9. 作A关于x轴的对称点A′（3，-2），连接A′B交x轴于P，P（11/5，0）即为所求　10. 1000（作A关于CD的对称点A′，连A′B交CD于E，最短距离A′B=2AO=1000米） ★★ 能力提升：1. B（作E关于AD的对称点E′，E′为AC的中点，BF+EF=BF+FE′≥BE′；等边三角形中BE′=AD=5）　2. A（作A关于y轴的对称点A′（-1，4），连A′B交y轴于C，直线A′B：y=-x+3，C（0，3））　3. A（分别作P关于OA、OB的对称点P1、P2，△PQR周长=P1Q+QR+RP2≥P1P2；∠P1OP2=60°，OP1=OP2=10，△OP1P2为等边三角形，P1P2=10）　4. C（作P关于l的对称点P′，连接P′Q交l于M，管道长PM+MQ=P′Q最短，此时PM、MQ均为斜线）　5. 作Q关于河岸BC的对称点Q′，连接P Q′交BC于R，则最短路径为P→Q→R→P　6. 将A沿垂直于河岸方向平移河宽至A1，连接A1B交河岸于N，过N作MN⊥河岸交另一岸于M，桥建在MN处，此时AM+MN+NB最短 ★★★ 拓展探究：1. CB′；C′B′；B′C；AB′；B′C′；<（证明：CB=CB′，C′B=C′B′，AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′；△AB′C′中AB′<AC′+B′C′）　2. A1N；BN；A1N1；BN1；<（AM=A1N，AM1=A1N1，MN=M1N1=AA1，AM+MN+BN=A1N+AA1+BN=AA1+A1B，AM1+M1N1+BN1=A1N1+AA1+BN1；△A1BN1中A1B<A1N1+BN1）　3. 作AA1∥DD′且AA1=DD′，作BB1∥EE′且BB1=EE′，连接A1B1，交河岸于D1、E1，再分别过D1、E1作桥DD′、EE′（垂直于河岸），则A→D→D′→E′→E→B的路径最短　4. （1）作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于P，点P即为所求（CP+DP最短，CD为定值）；（2）存在。分别作P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于E、F，则E、F即为所求（周长=PE+EF+FP=P1P2最短）；（3）存在。作M关于OA的对称点M′，作N关于OB的对称点N′，连接M′N′，分别交OA、OB于E、F，则E、F即为所求（四边形周长=ME+EF+FN+MN=M′N′+MN最短） 五、学以致用：1. 作点A关于河岸l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则牧马人在P处饮马，路径AP+PB最短　2. （1）连接AB，作AB的垂直平分线，与河岸的交点即为厂址（该点到A、B距离相等）；（2）作A关于河岸的对称点A′，连接A′B，与河岸的交点即为厂址（此时到A、B两村水管总长最短）　3. 平移（平移变换）。画一画：将桥MN沿河岸方向平移至与点A（或B）相连处，使AM、BN折线转化为直线；比一比：第（3）种把桥平移到和A相连（或第（4）种平移到和B相连）的作法可使AM+MN+BN最短，即把A（或B）沿桥的方向平移一个河宽后与另一端点连接 学科网（北京）股份有限公司 $