安徽省皖北十三校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．集合的子集个数为 A．8 B．7 C．6 D．4 3．函数的图象在点处的切线方程为 A． B． C． D． 4．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是 A． B． C． D． 6．函数的定义域为 A． B． C． D． 7．已知函数（且），若，且，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．已知a，，且，设的所有可能值构成的集合为A，则 A．A中有1个元素 B．A中有有限个元素，且元素个数不是1 C．A中有无穷多个元素，且无最大元素 D．A中有无穷多个元素，且有最大元素 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则 A． B． C． D． 10．已知定义在R上的函数满足，函数在区间内有20个零点，则 A． B．在内有个零点 C．在内有个零点 D．在内有个零点 11．已知函数的定义域为区间I，若，，使得，，且，都有，则称在区间I上具有性质R．下列说法正确的是 A．在上具有性质 B．在上不具有性质 C．在上具有性质 D．在上不具有性质 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，函数若，则________． 13．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________． 14．已知m，，若，则n的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数的一个极值点是． （1）求a的值； （2）求在上的最值． 16．（15分） 已知函数． （1）求的值域； （2）若函数存在两个不同的零点，求实数m的取值范围． 17．（15分） 已知函数． （1）证明：的图象是轴对称图形； （2）证明：． 18．（17分） 已知函数，． （1）若，讨论的单调性； （2）若关于x的不等式恒成立，求a的最大值； （3）若存在唯一的正数a，使得在时恒成立，求的值． 19．（17分） 已知函数的定义域为I，，现有如下定义： ①若，，且，有，则称在D上具有“2次幂性质”，否则称在D上不具有“2次幂性质”； ②若，，恒成立，则称在D上有上界； ③对于一类函数，若，使得这一类函数中的每一个函数在D上的所有取值都小于等于M，则称M为这一类函数的公共上界． 基于上述定义，完成如下问题： （1）已知函数在上不具有“2次幂性质”，求实数a的取值范围； （2）已知函数在上具有“2次幂性质”，且，其中，比较与100的大小关系，并说明理由； （3）将所有在上具有“2次幂性质”，且在上有上界的函数归为一类，求这类函数在上的公共上界M的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三10月数学·答案 一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．D 二、选择题 9．AC 10．ABD 11．ABD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解析（1）由题意，得， （2分） 由，解得． （4分） 经检验，符合题意． （5分） （2）由（1）可知，，则． （7分） 令，解得（舍去）， （8分） 当时，，单调递减，当时，，单调递增， （10分） 故当时，取得极小值，也是最小值，． （11分） 又，， 故在上的最大值为，最小值为． （13分） 16．解析（1）， 故在R上单调递增． （3分） 当时，，， 当时，，， 故的值域为． （6分） （2）令，即，解得或． （8分） 若，则，因为在R上单调递增，所以有唯一零点0，即有唯一零点，不符合题意． （11分） 若，因为在R上单调递增且值域为，所以只需或解得或． 综上所述，实数m的取值范围为． （15分） 17．解析（1）由，可得或． （2分） 因为， （4分） 所以的图象关于直线对称，故的图象是轴对称图形． （6分） （2）令，则且，，所以． （7分） 要证，即证，即证． （8分） 设函数，则． 设函数，则． （10分） 令，可得， 当时，，即单调递减，当时，，即单调递增， 又，故，则在上单调递增． （13分） 又因为，所以当时，，，则，即， 当时，，，则，即． 综上所述，． （15分） 18．解析（1）当时，，其定义域为，， 令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减． （3分） （2）由题意知，的定义域为，， （4分） 令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， （5分） 所以． 由题意可知，恒成立． （6分） 设，，则，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， （8分） 而，故a的最大值为1． （9分） （3）不等式即为． 设． 由题意可知，，即，故． ，令，得． （10分） 当时，在上单调递增，在上单调递减， ． （11分） 设，． 欲存在唯一的正数a，使得，只需，且取得最小值时的a值唯一． ，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，解得 （13分） 当时，，则在上单调递减， 欲满足题意，则，解得，故． 若且给定，显然满足的a值不唯一， 若，则满足的a为1． （15分） 但当时，， 由（2）知，当时，均有，故a的值不唯一． （16分） 综上所述，． （17分） 19．解析（1）由题意，得． （1分） 令，则，．易知与的单调性相反． 假设在上具有“2次幂性质”，则，解得， （3分） 则当在上不具有“2次幂性质”时，实数a的取值范围为． （5分） （2）．理由如下： 易知， 则，， （7分） 因为， 所以，， （8分） 则． （10分） （3）假设存在，使得，则． 因为在上具有“2次幂性质”，所以对任意的，都有． 令，则，且对任意的，都有，与有上界矛盾． 所以若有上界，则对任意的，都有． （13分） 假设存在，使得， 则对任意的，都有，故，矛盾． 所以在上具有“2次幂性质”的有上界时，恒成立，则均满足题意． （15分） 假设存在符合题意，不妨取，， 则在上单调递增，且， 但当时，，矛盾，即不存在满足题意． 故M的取值范围为． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $