安徽省皖北十三校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三10月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自已的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.命题“3x∈(2，+∞)，cosx+x<0”的否定为 A.3x∈(2，+∞)，c0sx+x>0 B.3x∈(2，+∞），c0sx+x≥0 C.Vx∈(2，+0)，cosx+x>0 D.Hx∈(2，+)，c0sx+x≥0 2.集合A={x∈N*1x2-4x<0}的子集个数为 A.8 B.7 C.6 D.4 3.函数f(x)=x3-3x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=1 B.y=-2 C.y=3x-5 D.y=x-3 4.“x>0”是2，+3>1”的 2+x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是 A) B.f(x)=1x1-1 x2 C.f(x）=nlx灯 D./()=nizi 数学第1页（共4页） 6.函数f代x)=1x1+1x-21-12x-2的定义域为 A.(0,1) B.(0,2) C.（1,2) D.(-1,2) 7.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a<b),若f(x)≥0，且f(1)≥A(b-a),则实数入的取 值范围为 A.（-∞，2] B.[2,+oo) C.(-∞，3] D.[3,+o)） 8.已知a,b∈R,且a3+b3+3ab=1,设ab的所有可能值构成的集合为A,则 A.A中有1个元素 B.A中有有限个元素，且元素个数不是1 C.A中有无穷多个元素，且无最大元素 D.A中有无穷多个元素，且有最大元素 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a>b>0,则 A-2<分-2 B.I2a-31>I2b-31 C.1-a2<1-b2 D.a-cos a<b-cos b 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+4),函数y=f(2)在区间[0,5)内有20 个零点，则 A.f(x+5)=f(x) B.f(x)在[1,32)内有20个零点 C.f(x)在[1,6)内有4个零点 D.f(x)在[2,16)内有7个零点 11.已知函数f(x)的定义域为区间I,若Vε>0,38>0，使得Hx1,x2∈1，且1x1-x21<8,都有 lf(x,)-f(x2)1<e,则称f(x)在区间I上具有性质R.下列说法正确的是 A.f(x)=x2在[0,1]上具有性质R B.f(x)=e在[0，+∞)上不具有性质R C.f(x)=lnx在(0,1)上具有性质R D.f(x)=sinx2在R上不具有性质R 数学第2页（共4页） 。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (In(-x),x<a, 12.已知a<0,函数f(x)= 若f(2a)=0,则a= x3-8,x≥a, 13.若函数x=6os2x-asin在，羽]上单洞递减，则实数a的取值范围是 4已知m,E0,+∞)，若nn-nm-h6,测n的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=x2-12lnx-ax的一个极值点是x=3. (1)求a的值； (2)求f(x)在[1,4]上的最值 16.(15分) 4+*1 已知函数代)=4+12 (1)求f(x)的值域； (2)若函数g(x)=[f代x)]2-3mf(x)+2m2存在两个不同的零点，求实数m的取值范围. 17.（15分) 已知函数(x)=(x-3)·n=6+6. (1)证明：f(x)的图象是轴对称图形； (2)证明：f(x)<0. 数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=ln(a+x)-ax,a>0. (1)若a=1,讨论f(x)的单调性； (2)若关于x的不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a,使得f(x)≤a(入-1)x在x∈(0，+∞)时恒成立，求入的值. 19.(17分) 已知函数f(x)的定义域为I,D二I,现有如下定义： ①若V西1，%D,且<，有，则称x)在D上具有“2次幂性质”，否则称 f(x)在D上不具有“2次幂性质”； ②若38∈R,Vx∈D,f(x)≤8恒成立，则称f(x)在D上有上界δ； ③对于一类函数，若]M∈R,使得这一类函数中的每一个函数在D上的所有取值都小于 等于M,则称M为这一类函数的公共上界， 基于上述定义，完成如下问题： (1)已知函数f(x)=2x2+ax-3在[1,4]上不具有“2次幂性质”，求实数a的取值范围； (2)已知函数f(x)在(0，+∞)上具有“2次幂性质”，且f(x1+x2+x3)=100,其中0<x1< 2<x3,比较f(x)+f(2)+f(x)与100的大小关系，并说明理由； (3)将所有在(0，+∞)上具有“2次幂性质”，且在(0，+∞)上有上界的函数f(x)归为一 类，求这类函数在(0，+∞)上的公共上界M的取值范围. 数学第4页（共4页） 1 高三10月数学·答案 一、选择题 1.答案D 命题透析 本题考查全称量词命题与存在量词命题及其否定， 解析将“3xe(2,+0)”改为“Vxe(2,+∞)”，将“cosx+x<0”改为“cosx+x≥0”. 2.答案A 命题透析本题考查集合间的基本关系、一元二次不等式的解法. 解析A=xeN·I0<x<4}={1,2,3},故A的子集个数为23=8. 3.答案B 命题透析本题考查导数的几何意义、导数的运算. 解析由题意，得f'(x)=3x2-3,则f'(1)=0.又f1)=-2,故所求切线方程为y+2=0,即y=-2. 4.答案A 命题透析本题考查分式不等式的解法、充分必要条件的判断。 解析 号>1，可得号-1>0，即>0解得x<-2或>0.则>0是经>1的充分不必要 2+x 2+x 条件。 5.答案D 命题透析本题考查函数的图象与性质， 解析 由题图可知代)的图象关于原点对称，故()为奇函数，排除C:对于B,当x>1时，(x)=x产=1+ 一该两数在1，+2)上单调递诚排除B,对于A。)=。=宁<2.排除A枚选D 6.答案B 命题透析本题考查函数的定义域。 解析由题可知，|xl+1x-2|-12x-21≠0，即1x|+|x-21≠|2x-21.因为|x1+|x-21≥|x+(x-2)1= 12x-21,当且仅当x(x-2)≥0时，等号成立，所以1xl+1x-21≠12x-21时，有1xl+1x-21>12x-21.所以 x(x-2)<0,解得0<x<2,故f(x)的定义域为(0,2). 7.答案C 命题透析 本题考查一元二次不等式、基本不等式， ra>0, 解析 由题意知 4=b2-4ac≤0 则6>a>0且e≥名由I)≥A(6-a).可得a+b+e≥A(-a),即 一1 a+b +1+b+ 4a a+b+c2X而0十0≥b-a =b-1 1+t+4t-1 b-a b-a a4(*),设1=。，则>1，(*)式可化为1-1 4 a 2+2≥2牙2+号=3.当且仅”即=4即=6=a时等号成立，故实数 9 3 入的取值范围为(-∞，3]· 8.答案D 命题透析本题考查集合的元素个数. 解析因为x3+y3+z3-3xz=(x+y+z)(x2+y2+z2-y--z),所以由a3+b3+3ab=1,得a3+b3+(-1)3 3ab(-1)=0.令x=a,y=b,z=-1,可得(a+b-1)(a2+b2+1-ab+a+b)=0,所以a+b=1或a2+b2+1- b+a+b=0若a+b=1,则a山=a(1-o)=-d+a=-(a-广+子，因为aeR所以a6的取值范周是 (-x,4若d2++1-ab+a+6=0,则2(d+8+1-ab+a+b)=0,得(a-6)2+(a+1)2+(6+1)2= 0,所以a-b=a+1=b+1=0.所以a=b=-1,则ab=1.综上，A中有无穷多个元素，且有最大元素1. 二、选择题 9.答案AC 命题透析本题考查不等式的性质、函数的单调性， 解析对于A,因为函数y=士-2在(0，+×)上单调递减，且a>b>0,所以。-2<-2.故A正确 a 对于B,令a=2,b=1,可知12a-31=12b-31,故B错误. 对于C,因为a>b>0,所以a2>b2>0,则1-a2<1-b2,故C正确 对于D,令y=x-cosx,则y'=1+sinx≥0，故y=x-cosx在R上单调递增，故a-cosa>b-cosb,故D错误， 10.答案ABD 命题透析本题考查抽象函数的周期性和零点， 解析对于A,因为f(x-1)=f(x+4),所以f(x+5)=f(x),即f(x)的周期为5，故A正确 对于B,令t=2*,因为x∈[0,5)，所以t=2∈[1,32).因为y=f2*)在区间[0,5)内有20个零点，所以f(t)在 区间[1,32)内有20个零点，即f(x)在区间[1,32)内有20个零点，故B正确. 对于C,因为f(x)在区间[1,32)内有20个零点，且周期为5，区间[1,32)可分为[1,6)，[6,11)，[11,16)， [16,21),[21,26),[26,31),[31,32),共7个区间，所以f(x)在每个长度为5的区间内的零点个数相同，且 fx)在[1,6)，[6,11)，[11,16)，[16,21)，[21,26)，[26,31)这6个区间内各有3个零点，在[31,32)内有2个 零点，故C错误 对于D,由C可知f(x)在[1,6)内有3个零点，在[31,32)内有2个零点.又因为f(x)的周期为5，所以f(x)在 [1,2)和[31,32)内的零点个数相等，即为2个.所以(x)在[2,6)内有1个零点.所以f(x)在[2,16)内共有 1+3+3=7个零点，故D正确. 一2 11.答案ABD 命题透析本题考查函数的性质、新定义问题 解析对于A,Hx1,x2e[0,1],lf八x,)-f(x2)1=1x-x1=|x1-x21x1+x21,因为x1,x2e[0,1],所以 1x+≤2.所以1-引≤21x-xl任给6>0，取8=号，当1x-名1<8时，恒有x)-fx)1<28=6, 故A正确 对于B,取气=n以=n+则当n一+时，l-=0,但1e心-e1=e片-e=ec-1一+， 故B正确。 x=六则当一+时，lx-l=0,但h-h1=。-h易=h2≠0，故 1 对于C,取xn=。 C错误. T 对于D,取。= 2nm+受水=2nm则当一+x时，k-y1=1k0,但1im号-n1=1≠0， 2 故D正确 三、填空题 12答案 命题透析本题考查分段函数求值， 解析 因为a<0,所以2a<a所以2a)=lh(-2a)=0,解得a=- 13.答案（-，-2√5] 命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性 解析f'(x)=-2sin2x-acos x,令f'(x)≤0，可得2sin2x+acos x≥0，即4 sin xcos x+acos x≥0(*)，当x∈ []时，o<0则(+)式可化为a≤-4mx因为y=-4snx在[，上的最小值为-25，所以 a≤-2√3，即实数a的取值范围是(-∞，-2√3]. 14,答案号 命题透析 本题考查利用导数研究函数的性质。 o3·（uu9)T怕`w23·u乙=(u9)u叮·uu9的`。=（u9)u‘9-u四-=u四甲4鹅 解析 e2m.设f(x)=xe'(x>0),则f'(x)=(x+1)e*>0,可知f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以ln(6mn)=2m,则 6mm心即n6新设函数g国)6x>0.则g)c6x-e·6-2x-令g()0,得定 (6x)2 6x1 2,当0<x<时，g()<08()单调递减，当>2时，g()>0,g(x)单调递增，所以8(x)=(分） 兮，即n的最小值为兮 一3 四、解答题 15.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)由题意，得f'(x)=2x-12 (2分) 由f'(3)=2-a=0,解得a=2. (4分) 经检验，=2符合题意.… (5分) (2)由(1)可知x)=2-12lnx-2x,则f'(x)=2x-12-2=2(x-3)(x+2) …(7分)】 令f'(x)=0,解得x=3(x=-2舍去)，… (8分) 当xe[1,3)时，f'(x)<0,fx)单调递减，当xe(3,4]时f'(x)>0,f(x)单调递增，…(10分) 故当x=3时f八x)取得极小值，也是最小值，(3)=3-12ln3.…(11分) 又f(1)=-1,f4)=8-24ln2<8-24ln√e=-4, 故f(x)在[1,4]上的最大值为-1，最小值为3-12ln3.… (13分) 16.命题透析本题考查函数的图象与性质、函数的零点， 解析（1)=4-2-4+44-2=2-4 4*+1 4+1 4+1 故f(x)在R上单调递增. … (3分) 当一+时0)-2. 4 当时4+14)一-2， 故f代x)的值域为(-2,2).… (6分) (2)令g(x)=0,即[f八x)]2-3m(x)+2m2=0,解得f八x)=m或f八x)=2m. ……… (8分) 若m=0,则f八x)=0,因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)=0有唯一零点0，即g(x)有唯一零点，不符合 题意。… …(11分)】 rm>0,fm<0, 若m≠0，因为f(x)在R上单调递增且值域为(-2,2)，所以只需 或》 解得0<m<1或-1< 2m<22m>-2, m<0. 综上所述，实数m的取值范围为(-1,0)U(0,1).… (15分) 17.命题透析本题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的性质. 解析(1)由6>0，可得x<0或>6. (2分) 因为6-0=(3-)h6+6=(x-3)1n:6+6=, (4分) 所以f(x)的图象关于直线x=3对称，故f(x)的图象是轴对称图形， (6分) -4 (2)令：6=1，则1>0且11x=色，所以-3=76,3312 1-t …(7分 要证x)<0,即证31+)nL+6<0,即证1+）n1-2-D>0 1-t t-1 …(8分) 设函数g()=(1+)ln1-2(4-1),则g(0)=n1+上-1. 设函数h()=g'(),则'()=‘1 2 (10分) 令h'(t)=0,可得t=1, 当0<t<1时，h'(t)<0,h(t)即g'(t)单调递减，当t>1时，h'(t)>0,h(t)即g'(t)单调递增， 又g'(1)=0,故g'(t)≥0，则g(t)在(0，+∞)上单调递增. (13分) 又因为g1)=0,所以当0<t<1时，g)<0,t-1<0,则1+)n-2-山>0，即代)<0， t-1 当1>1时，g0>0,1-1>0,则1+)lh-2-1山>0，即fx)<0. t-1 综上所述(x)<0.…(15分)》 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质， 解析()当a=1时八)=h(1+)-x,其定义域为(-1，+)f(x)=1+ 令f'(x)=0,可得x=0 当x∈(-1,0)时f'(x)>0f(x)单调递增，当x∈(0，+∞)时f'(x)<0f(x)单调递减， 所以f八x)在(-1,0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减。…（(3分) --a- (2)由题意知，(x)的定义域为(-a,+)f'(x)=1 (4分)》 a+x a+x 令f'(x)=0,可得x= a -a, 当xe(-a,。-a时，()>0x)单调递增，当xe(日-a+)时()<0x)单调递减。 (5分) 所以)=-）=d2-ha-1 由题意可知，a2-lna-1≤0恒成立.… (6分) 设8a）=a-lha-l,a>0,则g(a)=2a-,令g(a)=0,可得a=号 2 当a∈(0，号）时，g(a)<0,8a)单调递减，当ae 7,+∞时，g(a)>0,g(a)单调递增，…(8分) 而g(1)=0,故a的最大值为1.… (9分) (3)不等式f(x)≤a(入-1)x即为ln(a+x)-a入x≤0. 5 设p(x）=ln(a+x)-aAx. 由题意可知，p(1)=ln(a+1)-aA≤0，即A≥h(a+山，故A>0. a p'(x)=-A,令p(x)=0,得=1-a2入 Γa+x (10分) a入 当0<A<时，(x)在(0，)上单调递增，在(6，+)上单调递减。 p(x)mmx=p(x）=ln(a+x0）-aλx0=a2A-ln(aA)-1.. (11分)》 ih(a)=a'A-In(aA)-1.0<a<L 欲存在唯一的正数a,使得h(a)≤0，只需h(a)im=0,且取得最小值时的a值唯一 N(o)=2a-2(-,令o=0.可得a72示 当ae(0,)时，h(a)<0,h(a)单调递减，当ae 时，h'(a)>0,h(a)单调递增， 所以)=个员)=-h-1=0，解得A 2 (13分) 当A≥三时，≤0，则p(x)在(0，+)上单调递减， a 欲满足题意，则p(0)=lna≤0，解得a≤1，故A≥之≥1 若A>1且给定，显然满足}≤d≤1的a值不唯一， ≥1的a为1. 1 若入=1，则满足入≥ (15分) 但当入=1时，p(x)=ln(a+x)-ax, 由(2)知，当a (.时，均有)≤0.故的值不唯一… (16分) 2 综上所述，入= (17分) 19.命题透析 本题考查新定义问题、函数的图象与性质. 解析D由题意得2+-32 (1分) 令=1，则1∈[子小g)=-3+u+2.易知x)与g)的单调性相反. 假设x)在[1,4]上具有2次幂性质”，则名≤子，解得a≤子 1 …(3分) 则当f(x)在[1,4]上不具有“2次幂性质”时，实数a的取值范围为 2, …(5分) 6 (2)f(x,)+f(x2)+f八x3)<100.理由如下： 易知0<x1<x2<x3<x+x2+3, 则）八++)八)+西+)八)++) 元(x+名+)2’亏C(x,++年户”写(++) …(7分) 因为f(x1+x2+x)=100, 100x +五+))< 100x (西++)P名)< 100x 所以f(x,)< 1+x3+3)2 …(8分)》 则f(x1)+f(x2)+f八x3)< 100(x好+x2+x3) 100(x好+x号+x) 100(x号+x号+x3) =100. (（x1+七2+x3)2 x+x号+x号+2x1x2+2x1x3+2x2x3 x++ …(10分） （3)假设存在A>0.使得A)>0,则>0 因为在0.+)止其有？次彩性质”所以对任意的>A,都有号)公>0 令A=m,则m>0,且对任意的x>,都有f(x)>mx2,与(x)有上界矛盾。 所以若f八x)有上界，则对任意的x>0,都有f(x)≤0.… (13分) 假设存在u>0,使得f(u)=0, 则对任意的x>4,都有少=0，故fx)>0,矛盾。 所以在(0，+∞)上具有“2次幂性质”的f(x)有上界时，f(x)<0恒成立，则M≥0均满足题意. (15分) 假设存在M<0符合题意，不妨取(x)=- xx>0, 则号：在0，+)上单调选增，且)<0， 但当x>- 时x)>M,矛盾，即不存在M<0满足题意 故M的取值范围为[0，+∞).…(17分) 一7