精品解析：江苏省扬州市新华中学2026-2027学年高二上学期自主练习一数学试题

高二数学自主练习一 一､单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法计算，结合复数的虚部定义即得. 【详解】由,可知其虚部为. 2. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 3. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将直线化为，其与， 则这两条平行直线间的距离为：. 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0，即或求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故选：C. 5. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据复数的几何意义即可得解. 【详解】设，由， 得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则表示点到原点的距离， 又圆心到原点的距离为， 所以圆上的点到原点的距离的最小值为. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线与直线互相垂直，则 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 实数满足方程，则的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用斜截式直接读出y轴截距； B用一般式直线垂直的系数关系求参数； C由斜率范围求解倾斜角范围； D将分式几何化，看作定点与圆上点连线斜率，利用切线距离公式求斜率最大值． 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A正确； 对于B，，解得或，B错误； 对于C，直线的斜率为，故. 设其倾斜角为，则且，所以或，C正确； 对于D，由，得， 设，则表示直线的斜率，其中为圆上的动点， 过作圆的上方切线，设其斜率为，则切线为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得，所以的最大值为，D正确． 11. 已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与圆相切 B. 直线倾斜角为150° C. 当时，可能为90° D. 若，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项运用点到直线的距离，B选项运用两直线垂直的相关知识，C选项代入和验证直线是否与圆相交，D选项运用，建立直线与圆的半径之间的关系去求半径的范围. 【详解】对于A选项，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆相切，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以直线， 又因为，所以， 而直线l的倾斜角为，因此直线倾斜角为150°，故B选项正确； 对于C选项，设，，圆心O到直线的距离为， 设为A点到直线的距离，则， 因为，所以为等腰直角三角形 则，由B选项得出直线的方程为， 联立，得出A点坐标为，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， 点A到直线的距离为， 又因为，所以， 解得，则，，故直线与圆相交，所以C选项正确 对D选项，若，且，所以为等边三角形，则 点A到直线的距离，设直线方程为， 则圆心O到直线距离为， ， 因为，， 所以，化简可得，故，所以， 又因为，得出，故，所以， 若，则， 若，则（舍去）或，所以，故D选项错误 三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若是虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，． 13. 已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【解析】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，由AB的中点坐标在直线上，进而求出a的值，根据角平分线的性质知点A关于角平分线对称的点在直线BC上，进而求得，求出直线BC方程，进而求出点C坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设， ∵AB的中点在直线上， ∴，解得，∴. 由角平分线的性质，点A关于平分线的对称点在直线BC上， 得，解得，所以， 由和B得BE的方程. 由，解得，即， 得， 点A到直线BE的距离为， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共6题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点. （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称点与A连线垂直直线，以及对称点与A的中点在直线上列方程组解得结果； （2）根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点和，再根据点斜式求直线方程. 【小问1详解】 设点关于直线的对称点为， 故的中点在直线上， 所以，解得， 即点关于直线l的对称点为 【小问2详解】 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 则反射光线所在直线的方程为即. 17. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； 【小问2详解】 因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，半径为，根据，列方程求，即可得到圆心和半径，从而得到圆的标准方程. （2）利用圆心到切线的距离等于半径，分斜率存在和不存在两种情况求解即可； （3）先求出圆心到直线的距离为，再利用的面积，得到 ，从而求出斜率即可求解. 【小问1详解】 设圆心，半径为， 因为圆与直线相切于点， 所以直线，解得 ， 所以圆心，所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率存在时，设斜率为 k， 切线方程为 ，即， 由圆心到切线的距离等于半径得到， 即，解得， 所以切线方程为， 当斜率不存在时直线也是切线。 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 所以， 因为的面积， 即，解得 所以， 所以直线的方程为. 19. 已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. （1）求曲线的轨迹方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为3 （3）存在，当时，，当时， 【解析】 【分析】（1）用直接法求曲线的轨迹方程. （2）先求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是圆，然后由圆的性质即可求出的最值. （3）先由切线长公式求出，将其代入，由点的任意性及恒成立问题即可求出. 【小问1详解】 设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆. 【小问2详解】 如图所示； 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， ，且. 的最大值为，的最小值为. 【小问3详解】 如图所示； 设，则，即， 是到圆的切线，由切线长公式得，， 设，. 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学自主练习一 一､单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数满足，则在复平面内的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线与直线互相垂直，则 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 实数满足方程，则的最大值是 11. 已知点在直线上，点，在圆上，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与圆相切 B. 直线倾斜角为150° C. 当时，可能为90° D. 若，则的取值范围为 三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 若是虚数单位，则__________． 13. 已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 14. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，则面积为_____________ 四､解答题：本题共6题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点. （1）求点关于直线对称点的坐标； （2）求反射光线所在直线的一般式方程． 17. 已知中，，. （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线与圆交于A，B两点，若的面积为2，求直线的方程. 19. 已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. （1）求曲线的轨迹方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； （3）已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $