第15章 轴对称（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 新教材人教版第15章轴对称拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖轴对称图形识别、性质应用及综合探究，适配单元复习，可量化掌握程度，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（数学符号）、阴影部分轴对称设计、角平分线性质应用|基础题（符号识别）→能力题（阴影涂法），结合图形直观考查空间观念| |填空题|6/18|车牌号倒影应用、平移与轴对称综合、等腰三角形动态分类|生活情境（倒影）与几何动态结合，培养应用意识| |解答题|7/72|等边三角形判定、折叠问题计算、动态几何综合探究|分层设计，从证明（等边三角形）到创新探究（动点问题），发展推理能力与创新意识|

第15章 轴对称·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·江苏徐州·二模）下列数学符号中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形既不是轴对称图形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据作图方式得到是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，继而根据三角形外角的性质得到，通过证明垂直平分，得到，进而根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：如图，连接， 根据作图方式可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是斜边的中线，所以根据直角三角形斜边中线定理，可得到．因为垂直平分，所以，结合上一步结论，可推出，即是等边三角形，进而得到的度数，进而求出的度数，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，是的中线， ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，． 在中， ， ∴的度数为． 5．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义得出符合题意的图形，再解答即可． 【详解】解：如图所示，将方格1处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格2处涂黑是轴对称图形，且有一条过中心竖直方向的对称轴； 将方格3处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴； 将方格4处涂黑是轴对称图形，且有一条过对角线的对称轴， 所以涂法有4种． 6．（25-26七年级下·山东青岛市·期末）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 【答案】B 【分析】分别作点D关于的对称点G，H，连接，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，由垂线段最短求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别作点D关于的对称点G，H，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∵点C到的距离为2千米， ∴的最小值为2千米， ∴的周长的最小值为2千米． 7．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 【详解】解：在上取一点使得， ， ， ，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ； 故只需要知道的长即可求出的周长； 故选B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 9．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识．根据为等边三角形得到 ，根据，求出．同理可得，，……，得到规律即可求出边长为． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴, ∴． 同理可得，，…… ∴ ∴边长为． 故选：D 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】由，，，得，则，所以，可判断①正确；延长交于点Q，由于点M，得，可证明，进而证明≌，则，，，可判断②正确；再证明≌，得，则，所以，由，得，则，可判断③错误；再证明≌，得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：、分别是的高和角平分线，平分交于E， ，，， ， ， ， ， 故①正确； 延长交于点Q， 于点M， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，，， 故②正确； 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是钝角， ， ， ， 故③错误； ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 故④正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 【答案】6 【分析】先根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据平移的性质得到，根据求得的长． 【详解】解：在中，，， ， ， 由平移的性质可知，， ． 13．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是“”，那么它的实际车牌号是：___． 【答案】苏． 【分析】关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：它的实际车牌号是：苏， 故答案为：苏． 【点睛】本题考查了镜面反射的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字． 14．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为____． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关知识是解答本题的关键. 连接，利用三角形的面积公式求出，由直线垂直平分，推出，进而得到，可得，即可求解． 【详解】，，， ， 的面积为12， ， ， 已知直线垂直平分， 如图，连接， 则， P为直线上一动点， ， ， ，当且仅当点在线段上时取最小值， 则周长的最小值为8． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】由等边三角形的性质可得，，证明，得出，，，从而可得，，作，交的延长线于点，则，，从而可得为等边三角形，即，利用角平分线的性质定理和三角形面积公式计算可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，作，交的延长线于点，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即平分， 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， 设点到边的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 【分析】（1）根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形的性质得出； （2）证明，得出，，说明点A、D在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）略 18．（8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点D，E，F的坐标； (2)直接写出以B，C，F，E为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)解：画图如下： ∴，，. (2) 【分析】（1）分别确定关于y轴对称的对应点，再顺次连接，结合的位置可得其坐标； （2）利用四边形的面积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∴四边形的面积为：. 19．（10分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 20．（10分）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2)4 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）知：， ∴． 21．（12分）（25-26八年级下·北京密云·期末）已知正方形，射线交于点，点为线段上一点（不与点、重合），且，连接． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作垂直交射线于点，取线段中点，连接． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①如图： ②，证明如下： 连接， 设， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 在中,， 即， 解得，则， ， 在和中， ， ， ，即， 又为中点， ， 取中点为，连接， ， ， ，又， ， 在和中， ， ， ， 又中点为， ； 【分析】（1）由题可证，得到，进而可得，，再根据邻补角求即可； （2）①根据题意作图即可； ②连接，设，根据角的关系可得，进而得到，然后可证，得到，则，取中点为，连接，再证，得到，然后可得． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， 又在正方形中，， ， ， ， ， ； （2）略 22．（12分）（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系，A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形． (1)求 B 纵坐标； (2)如图2，于C，C关于x轴的对称点为D，交于 E，求的长； (3)若点P为x轴上的一个动点，连接，以为边做等边，当最短时，求Q纵坐标 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】（1）过点B作于点H，根据等边三角形的性质，可得 ，即可求解； （2）过点C作轴于点N，连接，交于点M，根据等边三角形和直角三角形的性质，可得，，即可求解； （3）连接，过点Q作轴于点K，根据，为等边三角形，可得到，从而得到，当轴时，最短，此时最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点H， ∵点A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形． ∴， ， ∴点B的纵坐标为4； （2）解：如图，过点C作轴于点N，连接，交于点M， ∵为等边三角形，于C， ∴ ，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴点C的纵坐标为6， ∵点C关于x轴的对称点为点D， ∴点D的纵坐标为； ∴轴，， ∴轴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点Q作轴于点K， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当最短时，最短， 当轴时，最短，此时最短， ∵点B的纵坐标为4， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， 即当最短时， Q点的纵坐标为． 23．（14分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 轴对称·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·江苏徐州·二模）下列数学符号中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，交于点，过点作于点．若，点恰好是的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在中，，垂直平分，是边的中线，若分别交，于点，点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中空白的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，则涂法有（     ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 6．（25-26七年级下·山东青岛市·期末）如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 7．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，，D是斜边的中点，E是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点G．已知下列哪条线段的长度可以求出的周长（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且有下列结论：①；②；③；④其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 12．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，将一块直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．已知，，若，，则的长为_____________． 13．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是“”，那么它的实际车牌号是：___． 14．（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 15．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为____． 16．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 18．（8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的，并写出点D，E，F的坐标； (2)直接写出以B，C，F，E为顶点的四边形的面积． 19．（10分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 20．（10分）如图，把一个长方形的纸片沿对角线折叠（长方形中，且，且，），重合部分为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 21．（12分）（25-26八年级下·北京密云·期末）已知正方形，射线交于点，点为线段上一点（不与点、重合），且，连接． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，过点作垂直交射线于点，取线段中点，连接． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 22．（12分）（25-26八年级下·广东佛山·期中）平面直角坐标系，A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形． (1)求 B 纵坐标； (2)如图2，于C，C关于x轴的对称点为D，交于 E，求的长； (3)若点P为x轴上的一个动点，连接，以为边做等边，当最短时，求Q纵坐标 23．（14分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $